Μας έφυγε το κλαπέτο

Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα  κλειστό δοχείο μεγάλης διατομής που κλείνεται αεροστεγώς με αβαρές έμβολο διατομής A₁=10/3 cm². Μέσα στο δοχείο υπάρχει νερό πυκνότητας ρ_ν=1000kg/m³ που θεωρείται ιδανικό ρευστό. Πάνω στο έμβολο είναι προσαρτημένο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k=100 N/m, στο πάνω άκρο του οποίου είναι στερεωμένος δίσκος μάζας Μ που ισορροπεί ακίνητος. Στο πλαϊνό τοίχωμα του δοχείου σε κατακόρυφη απόσταση h₁=1m από το έμβολο υπάρχει πολύ μικρή οπή η οποία φέρει βαλβίδα αντεπιστροφής κοινώς κλαπέτο, με αποτέλεσμα να επιτρέπεται μόνο η εκροή νερού από το δοχείο στην ατμόσφαιρα και να μην επιτρέπεται να εισχωρήσει νερό η αέρας στο δοχείο. Μια σφαίρα μάζας m=0,5kg συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με τον δίσκο έχοντας πριν την σύγκρουση ταχύτητα μέτρου υ₁=4,5m/s. Αμέσως μετά την σύγκρουση ο δίσκος εκτελεί Α.Α.Τ. με σταθερά D=k, ενώ η σφαίρα απομακρύνεται. Πριν την κρούση η ταχύτητα εκροής  της φλέβας είναι υ=4√5m/s και το βεληνεκές S₁=4√5m.

i) Βρείτε την μάζα Μ του δίσκου.

ii) Να βρείτε πως μεταβάλλεται η πίεση ακριβώς κάτω από το έμβολο σε συνάρτηση με το χρόνο και να παρασταθεί γραφικά.

iii) Να βρείτε στη διάρκεια μιας ταλάντωσης επί πόσο χρονικό διάστημα θα εκρέει νερό από την οπή.

iv) Να βρείτε πως μεταβάλλεται το βεληνεκές σε συνάρτηση με τη θέση y απομάκρυνσης της ταλάντωσης από τη θέση ισορροπίας και με το χρόνο t.

v) Nα βρείτε το μέγιστο ύψος που πρέπει να αφεθεί το σφαιρίδιο ώστε να μην κινδυνεύει να φύγει το έμβολο Α₁ από το δοχείο και να εκρέει νερό συνεχώς χωρίς να διακόπτεται η ροή.

Δίνονται:

Η ατμοσφαιρική πίεση p_atm=10⁵pa και το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας g=10m/s².

• Θεωρείστε t=0 τη στιγμή που ξεκινά η ταλάντωση. Για την ταλάντωση θετική φορά θεωρείται η προς τα πάνω και η αρχική φάση έχει πεδίο τιμών 0≤φ₀<2π rad.
• Το έμβολο στην πάνω πλευρά του είναι σε επαφή με την ατμόσφαιρα. Το εμβαδό του δοχείου είναι πολύ μεγαλύτερο από το εμβαδό της οπής όποτε η στάθμη είναι πρακτικά ακίνητη και το έμβολο συνεχώς σε ισορροπία.
• Θεωρείστε ότι δεν υπάρχουν μεταβατικά φαινόμενα και συνεχώς αποκαθίσταται μόνιμη ροή και η ταχύτητας εκροής μπορεί να υπολογιστεί από την εξίσωση Bernoulli στη γνωστή μορφή της.

ημθ=2/4,5→θ=0,146π rad

Απάντηση

σε pdf ή σε word