Μας έφυγε το κλαπέτο

Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα  κλειστό δοχείο μεγάλης διατομής που κλείνεται αεροστεγώς με αβαρές έμβολο διατομής A1=10/3 cm2. Μέσα στο δοχείο υπάρχει νερό πυκνότητας ρν=1000kg/m3 που θεωρείται ιδανικό ρευστό. Πάνω στο έμβολο είναι προσαρτημένο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k=100 N/m, στο πάνω άκρο του οποίου είναι στερεωμένος δίσκος μάζας Μ που ισορροπεί ακίνητος. Στο πλαϊνό τοίχωμα του δοχείου σε κατακόρυφη απόσταση h1=1m από το έμβολο υπάρχει πολύ μικρή οπή η οποία φέρει βαλβίδα αντεπιστροφής κοινώς κλαπέτο, με αποτέλεσμα να επιτρέπεται μόνο η εκροή νερού από το δοχείο στην ατμόσφαιρα και να μην επιτρέπεται να εισχωρήσει νερό η αέρας στο δοχείο. Μια σφαίρα μάζας m=0,5kg συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με τον δίσκο έχοντας πριν την σύγκρουση ταχύτητα μέτρου υ1=4,5m/s. Αμέσως μετά την σύγκρουση ο δίσκος εκτελεί Α.Α.Τ. με σταθερά D=k, ενώ η σφαίρα απομακρύνεται. Πριν την κρούση η ταχύτητα εκροής  της φλέβας είναι υ=4√5m/s και το βεληνεκές S1=4√5m.

i) Βρείτε την μάζα Μ του δίσκου.

ii) Να βρείτε πως μεταβάλλεται η πίεση ακριβώς κάτω από το έμβολο σε συνάρτηση με το χρόνο και να παρασταθεί γραφικά.

iii) Να βρείτε στη διάρκεια μιας ταλάντωσης επί πόσο χρονικό διάστημα θα εκρέει νερό από την οπή.

iv) Να βρείτε πως μεταβάλλεται το βεληνεκές σε συνάρτηση με τη θέση y απομάκρυνσης της ταλάντωσης από τη θέση ισορροπίας και με το χρόνο t.

v) Nα βρείτε το μέγιστο ύψος που πρέπει να αφεθεί το σφαιρίδιο ώστε να μην κινδυνεύει να φύγει το έμβολο Α1 από το δοχείο και να εκρέει νερό συνεχώς χωρίς να διακόπτεται η ροή.

Δίνονται:

Η ατμοσφαιρική πίεση patm=105pa και το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας g=10m/s2.

  • Θεωρείστε t=0 τη στιγμή που ξεκινά η ταλάντωση. Για την ταλάντωση θετική φορά θεωρείται η προς τα πάνω και η αρχική φάση έχει πεδίο τιμών 0≤φ0<2π rad.
  • Το έμβολο στην πάνω πλευρά του είναι σε επαφή με την ατμόσφαιρα. Το εμβαδό του δοχείου είναι πολύ μεγαλύτερο από το εμβαδό της οπής όποτε η στάθμη είναι πρακτικά ακίνητη και το έμβολο συνεχώς σε ισορροπία.
  • Θεωρείστε ότι δεν υπάρχουν μεταβατικά φαινόμενα και συνεχώς αποκαθίσταται μόνιμη ροή και η ταχύτητας εκροής μπορεί να υπολογιστεί από την εξίσωση Bernoulli στη γνωστή μορφή της.

ημθ=2/4,5→θ=0,146π rad

Απάντηση

σε pdf ή σε word

Loading

Subscribe
Ειδοποίηση για
34 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Χριστόφορος Κατσιλέρος
Αρχισυντάκτης

Χρήστο , πολύ δυνατή.
Διαβάζοντάς τη , μου έφυγε η βαλβίδα αντεπιστροφής (κοινώς κλαπέτο).
Πολύ πρωτότυπα τα iii) και iv).
Συγχαρητήρια!

Διονύσης Μάργαρης
10/02/2021 8:44 ΠΜ

Καλημέρα Χρήστο.
Πράγματι “μας έφυγε το κλαπέτο”!!!
Επί της ουσίας, φοβάμαι ότι υπάρχει ένα “προβληματάκι”.
Η εξίσωση Bernoulli προϋποθέτει μόνιμη ροή και όχι επιταχυνόμενη. Εκεί χρειάζεται την γενικευμένη εξίσωση, αλλά και πάλι, δεν υπάρχει αυτόματη απόκτηση της ταχύτητας εκροής, με βάση τη στιγμιαία τιμή πίεσης. Προϋποθέτει χρονικό διάστημα επιτάχυνσης.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Ευχαριστώ Χρήστο.
Την διαβάζω.

Πρόδρομος Κορκίζογλου

Καλημέρα Χρήστο. Πολύ καλή άσκηση, με την προϋπόθεση ότι ισχύει η εξίσωση Bernoulli, η οποία μπορεί να αναφέρεται στην εκφώνηση.
Έχω την αίσθηση ότι ισχύουν αυτά που έγραψες με μεγάλη προσέγγιση, αρκεί ο κύλινδρος να έχει μεγάλες διαστάσεις!
Η μεταφορά ορμής και ενέργειας από την κρούση στο έμβολο και αυτομάτως στο υγρό, εκφράζεται και βρίσκει “διέξοδο” στο υγρό που εκρέει από την οπή.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Χρήστο ιδιαίτερα πρωτότυπη.
Πάντα έχω φόβους με κλειστά δοχεία.
Όταν κλείσει το κλαπέτο θα μείνει στη θέση του το έμβολο;

Διονύσης Μάργαρης
10/02/2021 12:21 ΜΜ

Καλό μεσημέρι παιδιά.
Περίμενα Γιάννη, το σχόλιό σου, πάνω στο ζήτημα που έβαλα το πρωί, αλλά δεν το είδα.
Να υποθέσω ότι δέχεσαι αυτόματη εξάρτηση της ταχύτητας εκροής, με την στιγμιαία πίεση που επικρατεί;
Πρόδρομε, δεν μίλησα για την ορμή και την ενέργεια λόγω κρούσης.
Διάβασε το σχόλιό μου.

Τελευταία διόρθωση3 έτη πριν από Διονύσης Μάργαρης
Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης
Απάντηση σε  Διονύσης Μάργαρης

Διονύση εννοείς ότι με ανοιχτό το κλαπέτο υπάρχει επιταχυνόμενο νερό στον σωλήνα;

Διονύσης Μάργαρης
10/02/2021 12:59 ΜΜ

Είναι δυνατόν Γιάννη, η ταχύτητα εκροής να αλλάζει αρμονικά με το χρόνο, ακολουθώντας την ταυτόχρονη αρμονική μεταβολή της πίεσης στο κάτω άκρο του εμβόλου;
Η αύξηση της πίεσης (έστω στην τιμή p1) τη στιγμή t1, θα επιταχύνει το νερό και μετά από λίγο, τη στιγμή t2 θα έχουμε ταχύτητα εκροής υ2 η οποία θα καθορίζεται από την πίεση p1 και όχι από την πίεση p2

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης
Απάντηση σε  Διονύσης Μάργαρης

Σωστό αυτό.
Τώρα που αρχίζεις τέτοιους προβληματισμούς με κάνεις να σκέφτομαι μέχρι στάσιμο κύμα με κοιλία πίεσης στον πάτο.
Δύο πράγματα ίσως οδηγούν σε καλή προσέγγιση:
Το μικρό μήκος σωλήνα.
Η μεγάλη ταχύτητα διάδοσης της διαταραχής,
Δηλαδή σ’ αυτό που λες για τις στιγμές t1 και t2, μήπως είναι εντυπωσιακά παραπλήσιες;
Αν ναι τότε οι p1 και p2 είναι παραπλήσιες;
Η ταλάντωση αυτή με περίοδο π/5 είναι γρήγορη ή αργή ώστε να μην αναιρέσει το παραπλήσιον;

Διονύσης Μάργαρης
10/02/2021 2:18 ΜΜ

Γιάννη τη συζήτηση την κάνω, όχι για να βρούμε πόσο θα καθυστερήσει η ταχύτητα σε σχέση με την πίεση ή πώς η περίοδος θα αλλάξει το ένα ή το άλλο.
Νομίζω ότι πρέπει αυτό που διδάσκουμε να πατάει γερά στην θεωρία μας την οποία πρέπει και να αναδεικνύει. Εφαρμογές της ψάχνουμε.
Αν μιλάμε για εξίσωση Bernoulli και για μόνιμη ροή, αυτό νομίζω ότι πρέπει να προφυλαχθεί…

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης
Απάντηση σε  Διονύσης Μάργαρης

Θέλει προσοχή ο νόμος. Μόνιμη ροή ή εξαιρετική της προσέγγιση.

Πρόδρομος Κορκίζογλου

Διονύση διάβασα τη θέση σου.
Ας κάνουμε ένα πείραμα: παίρνουμε ένα πλαστικό μπουκάλι με νερό του ενός λίτρου , ανοίγουμε με μια καρφίτσα στο πλάι μια τρύπα, το καπάκι κλειστό και το νερό να εφάπτεται στο καπάκι, και πιέζουμε περιοδικά το μπουκάλι. Θα δούμε άμεσα να εκτινάσσεται νερό από την τρύπα , με τη συχνότητα που μεταβάλλουμε την πίεση.
Έτσι κι εδώ, οι περιοδικές μεταβολές της πίεσης από το έμβολο, μεταδίδονται άμεσα σε όλη τη μάζα του νερού, άρα και στην περιοχή κοντά στην τρύπα. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα να επιταχυνθεί σε dt χρόνο μια μικρή ποσότητα νερού κοντά στην τρύπα, και να εκτοξευθεί .
Το φαινόμενο αυτό θα μπορούσαμε να το προσεγγίσουμε με το εξής μοντέλο: αν έχουμε μικρά σφαιρίδια εφαπτόμενα σε μια ευθεία, και χτυπήσουμε την πρώτη, φεύγει αυτομάτως η τελευταία.
Κάτι ανάλογο νομίζω ότι συμβαίνει κι εδώ.
Φυσικά ισχύει κι αυτό που έγραψε ο Γιάννης, ότι δημιουργείται και στάσιμο κύμα, αλλά αυτό είναι άλλο θέμα.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Γεια σου Πρόδρομε.
Με δυσκολεύει το θέμα που βάζεις. Αν με το χέρι μου σπρώχνω το έμβολο με περιοδική δύναμη πολύ μικρής συχνότητας δεν έχω πρόβλημα.
Με μεγάλες συχνότητες δυσκολεύομαι.