by 
Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα κλειστό δοχείο μεγάλης διατομής που κλείνεται αεροστεγώς με αβαρές έμβολο διατομής A1=10/3 cm2. Μέσα στο δοχείο υπάρχει νερό πυκνότητας ρν=1000kg/m3 που θεωρείται ιδανικό ρευστό. Πάνω στο έμβολο είναι προσαρτημένο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k=100 N/m, στο πάνω άκρο του οποίου είναι στερεωμένος δίσκος μάζας Μ που ισορροπεί ακίνητος. Στο πλαϊνό τοίχωμα του δοχείου σε κατακόρυφη απόσταση h1=1m από το έμβολο υπάρχει πολύ μικρή οπή η οποία φέρει βαλβίδα αντεπιστροφής κοινώς κλαπέτο, με αποτέλεσμα να επιτρέπεται μόνο η εκροή νερού από το δοχείο στην ατμόσφαιρα και να μην επιτρέπεται να εισχωρήσει νερό η αέρας στο δοχείο. Μια σφαίρα μάζας m=0,5kg συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με τον δίσκο έχοντας πριν την σύγκρουση ταχύτητα μέτρου υ1=4,5m/s. Αμέσως μετά την σύγκρουση ο δίσκος εκτελεί Α.Α.Τ. με σταθερά D=k, ενώ η σφαίρα απομακρύνεται. Πριν την κρούση η ταχύτητα εκροής της φλέβας είναι υ=4√5m/s και το βεληνεκές S1=4√5m.
i) Βρείτε την μάζα Μ του δίσκου.
ii) Να βρείτε πως μεταβάλλεται η πίεση ακριβώς κάτω από το έμβολο σε συνάρτηση με το χρόνο και να παρασταθεί γραφικά.
iii) Να βρείτε στη διάρκεια μιας ταλάντωσης επί πόσο χρονικό διάστημα θα εκρέει νερό από την οπή.
iv) Να βρείτε πως μεταβάλλεται το βεληνεκές σε συνάρτηση με τη θέση y απομάκρυνσης της ταλάντωσης από τη θέση ισορροπίας και με το χρόνο t.
v) Nα βρείτε το μέγιστο ύψος που πρέπει να αφεθεί το σφαιρίδιο ώστε να μην κινδυνεύει να φύγει το έμβολο Α1 από το δοχείο και να εκρέει νερό συνεχώς χωρίς να διακόπτεται η ροή.
Δίνονται:
Η ατμοσφαιρική πίεση patm=105pa και το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας g=10m/s2.
- Θεωρείστε t=0 τη στιγμή που ξεκινά η ταλάντωση. Για την ταλάντωση θετική φορά θεωρείται η προς τα πάνω και η αρχική φάση έχει πεδίο τιμών 0≤φ0<2π rad.
- Το έμβολο στην πάνω πλευρά του είναι σε επαφή με την ατμόσφαιρα. Το εμβαδό του δοχείου είναι πολύ μεγαλύτερο από το εμβαδό της οπής όποτε η στάθμη είναι πρακτικά ακίνητη και το έμβολο συνεχώς σε ισορροπία.
- Θεωρείστε ότι δεν υπάρχουν μεταβατικά φαινόμενα και συνεχώς αποκαθίσταται μόνιμη ροή και η ταχύτητας εκροής μπορεί να υπολογιστεί από την εξίσωση Bernoulli στη γνωστή μορφή της.
ημθ=2/4,5→θ=0,146π rad
Απάντηση
Πρόδρομε, εγώ μιλάω για μόνιμη ροή και συ μου παραπέμπεις πείραμα, που λέει τι; Ότι πιέζοντας το μπουκάλι, βγαίνει νερό!
Να το συζητήσουμε;
Μήπως πρέπει να είναι ξεκάθαρο ότι διδάσκουμε μόνιμη ροή, άρα οφείλουμε να παραθέτουμε σταθερή, ανεξάρτητη του χρόνου, ταχύτητα ροής σε κάθε σημείο μιας ρευματικής γραμμής;
Μια από τις πρώτες αναρτήσεις, με αυτό το πρόβλημα:
Μόνιμη και μη μόνιμη στρωτή ροή.
Καλησπέρα σε όλους. Με αφορμή την ανάρτηση του Χρήστου, και με δεδομένο ότι προσεγγιστικά ισχύει ο νόμος του Bernoulli, έβαλα δικά μου δεδομένα και υπολόγισα την ταχύτητα εκροής από την οπή όπως παρακάτω
Καλησπέρα σε όλους.
Διονύση, Γιάννη και Πρόδρομε ευχαριστώ για τα σχόλια και τις παρατηρήσεις.
Διαισθητικά πιστεύω ότι γίνεται αυτό που αναφέρει ο Πρόδρομος πολύ γρήγορα.
Όμως δεδομένου ότι προβληματιζομαστε καθηγητές κατά πόσο είναι νόμιμη η χρήση της Bernoulli μάλλον δεν κρίνεται κατάλληλη. Όπως είπε ο Διονύσης θα πρέπει να πατάει γερά η θεωρία που διδάσκουμε.
Θα προσθέσω ότι θεωρούμε απευθείας μόνιμη ροή και αυτόματη απόκτηση της ταχύτητας εκροής, με βάση τη στιγμιαία τιμή πίεσης.
Καλημέρα παιδιά.
Μάλλον κάτι δεν διατυπώνω σωστά και δεν γίνεται αντιληπτή η διαφωνία μου.
Πρόδρομε εκφράζω αντιρρήσεις για την ισχύ της εξίσωσης Bernoulli και μου απαντάς «κοίτα πώς λύνεται: Έστω ότι ισχύει η εξίσωση Bernoulli…» και μου δίνεις τις εξισώσεις που θα προκύψουν!!!
Χρήστο, τι σημαίνει ότι «πολύ γρήγορα.» αποκαθίσταται; Πού χρησιμοποιείται η φράση αυτή;
Έστω το δοχείο του σχήματος. Ανοίγουμε την τάπα και «πολύ γρήγορα αποκαθίσταται μόνιμη ροή»! Αυτό λέμε. Γιατί το λέμε και τι εννοούμε;
Μόλις ανοίξουμε την τάπα ακολουθεί μια επιταχυνόμενη κίνηση, την οποία ΔΕΝ μελετάμε. Την αφήνουμε να περάσει και μόλις έχουμε σταθερή ταχύτητα ροής, εφαρμόζουμε την εξίσωση Bernoulli! Και πράγματι η μόνιμη ροή «αποκαθίσταται πολύ σύντομα».
Να δώσω κάτι ανάλογο; Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση, υπάρχουν μεταβατικά φαινόμενα, τα αφήνουμε να περάσουν και μετά δίνουμε την εξίσωση x=Α∙ημ(ωt)…
Άρα κατά την εφαρμογή της εξίσωσης Bernoulli, πρέπει η ταχύτητα εξόδου να είναι σταθερή, να μην μεταβάλλεται.
Αλήθεια παιδιά, αν υπολογίζεται ταχύτητα εκροής η οποία μεταβάλλεται με το χρόνο, σύμφωνα με την εξίσωση:
που έβγαλε παραπάνω ο Πρόδρομος, έχουν τελειώσει τα «μεταβατικά φαινόμενα»;
Τι ακριβώς έγινε «πολύ γρήγορα»;
Η γραφική παράσταση που δίνεις Πρόδρομε, δείχνει σταθερή ταχύτητα ροής όπου έχει αποκατασταθεί μόνιμη ροή;
Και να το κλείσω, λέγοντας και κάτι τελευταίο.
Πράγματι θα υπάρχει μια αυξομείωση στην ταχύτητα εκροής, αλλά η μελέτη της ξεφεύγει από τις δυνατότητες και το πλαίσιο της διδασκαλίας μας, αλλά και των πραγμάτων που πρόκειται (και ΠΡΕΠΕΙ) να εξετασθούν.
Υπάρχουν δύο δρόμοι:
Ο πρώτος: Προκειμένου να δημιουργήσουμε συνδυαστική άσκηση με ταλάντωση ή κάτι άλλο, ΔΕΝ εφαρμόζουμε την θεωρία, κάνουμε τις “προσεγγίσεις” που θεωρούμε ότι επιτρέπονται και προχωράμε. Αλλά τότε γίνεται πλήρης ταύτιση μιας μόνιμη και μιας μη μόνιμης ροής…
Ο δεύτερος: Μένουμε πιστοί στην θεωρία, αυτήν διδάσκουμε επιμένοντας στα λεπτά σημεία της (όπως το παραπάνω περί μη μόνιμης ροής), έστω και αν δώσουμε προβλήματα “εύκολα”.
Η προσωπική μου απάντηση είναι ότι δεν είναι αυτοσκοπός η κατασκευή πολύπλοκων προβλημάτων…
Καλημέρα Διονύση. Γράφεις
Προκειμένου να δημιουργήσουμε συνδυαστική άσκηση με ταλάντωση ή κάτι άλλο, ΔΕΝ εφαρμόζουμε την θεωρία, κάνουμε τις “προσεγγίσεις” που θεωρούμε ότι επιτρέπονται και προχωράμε. Αλλά τότε γίνεται πλήρης ταύτιση μιας μόνιμη και μιας μη μόνιμης ροής…
Όταν στην εκφώνηση αναφέρεται ότι ισχύουν οι προσεγγίσεις που επιτρέπονται, και ότι ισχύει προσεγγιστικά ο νόμος Bernoulli ,τότε μπορούμε να προσεγγίσουμε τη λύση του προβλήματος, εφαρμόζοντας αυτές.
Στην προσεγγιστική λύση που έδωσα παραπάνω, όχι με τα δεδομένα του Χρήστου, αλλά με δικά μου που είναι και συνήθη, βγάζω
Η διακύμανση της πίεσης ακριβώς κάτω από το έμβολο, καθώς και της ταχύτητας εκροής, είναι σε πολύ μικρή περιοχή τιμών, όπως φαίνονται παραπάνω.
Θεωρούμε σε τέτοια προβλήματα εκροής υγρού από πολύ μικρή οπή, ότι η στάθμη του υγρού στο δοχείο , στο μικρό χρονικό διάστημα που μελετάμε την εκροή, δεν μεταβάλλεται ουσιωδώς.
Η κινητική ενέργεια του υγρού που εξέρχεται, οφείλεται στη μικρή μείωση της δυναμικής ενέργειας του υγρού στο δοχείο, και δεδομένου ότι το έμβολο ισορροπεί, δεν μεταβάλλεται η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος.
Έχω την αίσθηση ότι ισχύουν οι προσεγγίσεις που κάνω!
Ως προς το χρόνο που απαιτείται για τα μεταβατικά φαινόμενα, αυτά νομίζω ότι παρέρχονται πολύ γρήγορα, και η πίεση στο σημείο Ε (κάτω ακριβώς από το έμβολο), καθώς και η ταχύτητα εκροής, ”παρακολουθούν” την ταλάντωση άμεσα, χωρίς χρονική καθυστέρηση.
Η περιοχή κοντά στην οπή, είναι αυτή της επιταχυνόμενης κίνησης, με τις διακυμάνσεις της ταλάντωσης.
Θεωρώ ότι όταν εφαρμόζουμε το νόμο του Bernoulli στην άσκηση αυτή , δεν
εννοούμε ότι μια στοιχειώδης μάζα dm ”ταξίδεψε” από το Ε έως την οπή, αλλά
είναι μια ”ισοδύναμη” κίνηση , που μας δίνει τη δυνατότητα υπολογισμού της
ταχύτητας εκροής. Η περιοχή των επιταχυνόμενων κινήσεων είναι πολύ κοντά στην οπή, και οι αυξομειώσεις της πίεσης λόγω της ταλάντωσης, μεταφέρονται
”ακαριαία” θα έλεγα στην περιοχή κοντά στην οπή, και διαμορφώνουν την
ταχύτητα εκροής.
Αυτές είναι οι θέσεις μου και οι προσεγγίσεις μου, προκειμένου να εξηγήσω το φαινόμενο, που ούτως ή άλλως μπορούμε να το πραγματοποιήσουμε και πειραματικά…
Καλό μεσημέρι Πρόδρομε.
Συνεχίζεις να μιλάς για προσέγγιση, όταν εγώ μιλάω για μη μόνιμη ροή.
Το θέμα μας δεν είναι πρόβλημα προσέγγισης!
Τι είναι προσέγγιση;
Στο δοχείο που έδωσα στο σχήμα παραπάνω, η τελική ταχύτητα αποκτάται σε χρόνο 0,2s. Κάποιος λέει ότι δεν με ενδιαφέρουν αυτά τα 0,2s και προσεγγίζω την ροή σαν να ήταν σταθερή από την αρχή. Αυτή είναι αποδεκτή προσέγγιση.
Προσέγγιση είναι να πεις ότι η πίεση μεταβάλλεται αρμονικά λόγω ταλάντωσης, σύμφωνα με την εξίσωση που έδωσες παραπάνω:
Αλλά θεωρώ αμελητέες τις μεταβολές της πίεσης, οπότε θεωρώντας την σταθερή, τότε προσεγγίζω την ταχύτητα εκροής…
Αυτό είναι επιτρεπτό. Μπορούμε και να υπολογίσουμε, αν το σφάλμα που εισάγεται είναι μικρό ή μεγάλο και να δούμε αν είναι μια αποδεκτή ή όχι προσέγγιση και να την δεχτούμε ή όχι.
Αλλά όταν εξίσωση Bernoulli εφαρμόζεται (όπως την έχει το σχολικό βιβλίο) για μόνιμη ροή, δεν επιτρέπεται να εφαρμόζεται σε ροή που η ταχύτητα μεταβάλλεται χρονικά και μάλιστα βρίσκεις και εξίσωση χρονικής εξάρτησης…
Γράφαμε μαζί Πρόδρομε και τώρα διάβασα το 2ο σχόλιο…
Αυτή είναι η διαφορά μας…
Τα “μεταβατικά φαινόμενα” διαρκούν για πάντα αφού έχεις χρονοεξαρτώμενη πίεση και αντίστοιχα χρονοεξαρτώμενη ταχύτητα.
Δεν αποκαθίσταται ποτέ μόνιμη ροή!!!
καλησπέρα σε όλους.
Έκανα μια προσθήκη λέγοντας ότι η εξίσωση Bernoulli στη μορφή αυτή δεν είναι εν ισχύ.
Το μόνο εύκολο είναι να κατεβάσω την άσκηση καθώς έχει πρόβλημα. Αλλά κάτι βγήκε στο να θυμόμαστε τα όριά μας.
Έβαλα στην αρχή ότι
● Θεωρείστε ότι δεν υπάρχουν μεταβατικά φαινόμενα και συνεχώς αποκαθίσταται μόνιμη ροή και η ταχύτητας εκροής μπορεί να υπολογιστεί από την εξίσωση Bernoulli στη γνωστή μορφή της.
και στο τέλος της άσκησης κάνω το εξής σχόλιο.
Σχόλιο
Η εξίσωση Bernoulli στη γνωστή μορφή ισχύει για μόνιμη στρωτή ροή ιδανικού ρευστού. Ακόμη και σε ένα δοχείο μεγάλων διαστάσεων εάν ανοίξουμε μια οπή θα περάσει ένα μικρό χρονικό στάδιο μεταβατικών φαινομένων ώσπου να αποκατασταθεί μόνιμη ροή. Η σχέση για την ταχύτητα εκροής από το θεώρημα Torricelli υ=√2gh ισχύει με την προϋπόθεση ότι η στάθμη μένει πρακτικά σταθερή και η ροή είναι μόνιμη.
Στο συγκεκριμένο πρόβλημα η πίεση κάτω από το έμβολο μεταβάλλεται συνεχώς με αποτέλεσμα να μην αποκαθίσται μόνιμη ροή σε όλη τη διάρκεια του φαινομένου. Για την ορθή αντιμετώπιση πρέπει να δουλέψουμε με την γενικευμένη εξίσωση Bernoulli
Διονύση γράφεις παραπάνω
Αυτή είναι η διαφορά μας…
Τα “μεταβατικά φαινόμενα” διαρκούν για πάντα αφού έχεις χρονοεξαρτώμενη πίεση και αντίστοιχα χρονοεξαρτώμενη ταχύτητα.
Δεν αποκαθίσταται ποτέ μόνιμη ροή!!!
Δηλαδή η λύση του θέματος δεν προσεγγίζεται; Όπως έγραψα παραπάνω, οι διακυμάνσεις της πίεσης είναι πολύ μικρές, με αποτέλεσμα να έχουμε και μικρές διακυμάνσεις και στην ταχύτητα εκροής.
Η ταχύτητα διάδοσης της πίεσης στο υγρό είναι της τάξης 1000+ m/s, όση και η ταχύτητα διάδοσης κύματος, άρα υπάρχει άμεση μετάδοσή της με αμελητέα χρονική καθυστέρηση, σε όλα τα σημεία του υγρού. Αυτό έχει ως συνέπεια να αποκριθεί άμεσα η περιοχή κοντά στην οπή και να διαμορφώσει την ταχύτητα με αμελητέα χρονική καθυστέρηση.
Ένα ανάλογο φαινόμενο είναι η ταλάντωση των διαφόρων σημείων μιας χορδής, όπου ταλαντώνουμε το άκρο της και το κύμα που δημιουργείται ταλαντώνει κάθε σημείο της , αφού φτάσει σε κάποιο σημείο, και μετά τη συντηρεί!
Αυτό πιστεύω ότι γίνεται κι εδώ. Η μεταβολή της πίεσης κάτω από το έμβολο, διαδίδεται σχεδόν άμεσα με την ταχύτητα διάδοσης του κύματος, και συντηρεί πια μια ”μόνιμη” κατάσταση κοντά στην οπή, διαμορφώνοντας έτσι και την ταχύτητα εκροής.
Θα αναφερθώ και πάλι σε ένα πείραμα που μπορεί να το κάνει ο καθένας μας:
παίρνουμε ένα πλαστικό μπουκάλι με νερό γεμάτο, ανοίγουμε με μια καρφίτσα μια τρύπα , βάζουμε το στόμα μας στο στόμιο και φυσάμε-ρουφάμε περιοδικά ! Τι θα δούμε; θα δούμε ότι το νερό που εξέρχεται από την οπή, ακολουθεί χωρίς καθυστέρηση την περιοδική εξωτερική πίεση που διαμορφώνουμε με το στόμα μας.
Επίσης δεν μίλησα για μόνιμη ροή, αλλά για προσεγγίσεις στο μέτρο του δυνατού!
Αρκεί οι διακυμάνσεις της πίεσης να μην είναι μεγάλες σε σχέση με την πίεση που αντιστοιχεί στην ισορροπία του εμβόλου.
Αυτές είναι οι θέσεις που πιστεύω ότι ισχύουν.
Χρήστο, εγώ θα άφηνα τα 3 πρώτα ερωτήματα και θα αφαιρούσα το 4ο
Η άσκηση είναι υπερπλήρης εννοιών και σκέψης με τα 3 πρώτα…εξαιρετική
Μην ξεχνάς “Ουκ εν τω πολλώ το ευ, αλλά εν τω ευ τω πολύ”
Μια συζήτηση, με σκοπό την αποσαφήνιση της μη μόνιμης ροής και του τρόπου αντιμετώπισής της:
Μια μη μόνιμη ροή
Διονύση καλημέρα. Διάβασα τη μη μόνιμη ροή που έγραψες παραπάνω, και καλά έκανες, δείχνοντας και τα όρια χρήσης της εξίσωσης Bernoulli στη μόνιμη ροή. Διάλεξες κατά κάποιο τρόπο, “ακραίο” παράδειγμα , όπου η ταχύτητα αυξάνεται με το χρόνο, αλλά και η πίεση, και φαίνεται καθαρά ότι τα μεγέθη αυτά αυξάνονται απότομα αφού εξαρτώνται από το τετράγωνο του χρόνου (t^2), και δεν ξέρω αν μπορεί να επιτευχθεί με πείραμα!
Στο παράδειγμα που έβαλα παραπάνω με δικά μου δεδομένα, έκανα μια λύση με χρήση του νόμου Bernoulli, υποθέτοντας ότι ισχύει, ενώ γνωρίζω ότι δεν ισχύει, και έβγαλα μια σχέση που δείχνει την εξάρτηση της ταχύτητας εκροής από την πίεση που διαμορφώνεται εξαιτίας της ταλάντωσης κάτω από το έμβολο, και διαδίδεται σχεδόν ακαριαία με την ταχύτητα του κύματος στο υγρό, και σύμφωνα με την αρχή του Pascal, σε όλη τη μάζα του υγρού.
Οι διακυμάνσεις της πίεσης κοντά στην περιοχή της οπής, επιταχύνουν .μια στοιχειώδη μάζα του υγρού , και επειδή από έξω έχουμε την ατμοσφαιρική πίεση και δύναμη, η απόκριση του υγρού κοντά στην οπή είναι άμεση και παρακολουθεί τις μεταβολές της πίεσης με τη συχνότητα της ταλάντωσης.
Μπορούμε με κατάλληλες τιμές των δεδομένων, να πούμε ότι η μεταβολή της ταχύτητας είναι περίπου αρμονική συνάρτηση του χρόνου κατά την έξοδο από την οπή.
Αυτά για μικρό χρονικό διάστημα που θεωρούμε ότι η στάθμη του νερού είναι αμετάβλητη.
Θεωρώντας ότι η πίεση κοντά στην οπή είναι Ρ=Ρ(εμβ.)+ρgh και παίρνοντας σε μια στοιχειώδη μάζα του υγρού τη δύναμη (Ρ-Ρατμ)•Αο=δm•a=ρΑο•δx•(du/dt)
βγάζω προσεγγιστικά για την ταχύτητα εκροής u=uo+A’•συνωt,
χωρίς χρήση Bernoulli.
Κάτι που συμφωνεί με το πείραμα.
Προσεγγίσεις έκανα προκειμένου να εκφράσω την ταχύτητα εκροής.
Δεν ισχυρίζομαι ότι σε μια μη μόνιμη ροή ισχύει ο Bernoulli όπως τη γνωρίζουμε στη μόνιμη ροή!
Αν όμως η εκφώνηση μου λέει ότι μπορώ να τον χρησιμοποιήσω, θα το κάνω…
Όχι όμως στο παράδειγμα που έκανες.
Καλή Κυριακή.
Καλημέρα Πρόδρομε.
Ο κλασικός νόμος Bernoulli διαφέρει από τον γενικευμένο κατά το ολοκλήρωμα.
Το ολοκλήρωμα είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου.
Το “πλάτος” του όρου θα πάρει ασήμαντες τιμές για μικρά ω και σημαντικές για μεγάλα.
Καλημέρα Χρήστο. Μας δίνεις πάντα ωραίες αναρτήσεις στα ρευστά και ακόμα και αν κάτι δεν καλύπτεται από τις προσεγγίσεις για τη Γ΄Λυκείου, αποτελεί πηγή χρήσιμου για όλους προβληματισμού. Προσωπικά κάθισα να ψάχνω τη γενικευμένη εξίσωση Bernoulli και την εξίσωση Euler…
Τα τρία πρώτα ερωτήματα, είναι πολύ διδακτικά και πιστεύω ότι μπορούν να γίνουν στα παιδιά χωρίς προβληματισμούς για την ορθότητα.
Κάτι παρόμοιο είχα βάλει το 2017, αλλά το δικό σου είναι σε άλλο επίπεδο.
Ταλάντωση και τάπα
Να είσαι καλά!