by 
Στη διάταξη του παραπάνω σχήματος, η αγώγιμη ομογενής ράβδος ΟΑ έχει μήκος 2L, μάζα M και ωμική αντίσταση ανά μονάδα μήκους λ, και μπορεί να περιστρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο περί την αγώγιμη άρθρωση Ο χωρίς τριβές. Η ανωτέρω ράβδος μπορεί επίσης να γλιστράει χωρίς τριβές επί οριζόντιου αγώγιμου οδηγού, περιστρεφόμενη περί την άρθρωση Ο. Οι δύο οριζόντιοι αγώγιμοι οδηγοί απέχουν κατά γL (0 < γ < 2) και έχουν αμελητέα ωμική αντίσταση, όμως, μεταξύ τους εμφανίζεται ωμική αντίσταση ίση προς R. Η όλη διάταξη βρίσκεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης B με τη φορά του σχήματος (φορά προς τα πάνω ως προς το επίπεδο της διάταξης).
Αρχικά η όλη διάταξη ισορροπεί έτσι ώστε η ράβδος να σχηματίζει ορισμένη γωνία με την κάθετο ΟΓ στους δύο οδηγούς που διέρχεται από τη θέση της άρθρωσης Ο, ευρισκόμενη στον χώρο μεταξύ των δύο οδηγών. Κάποια χρονική στιγμή (t = 0) η ράβδος δέχεται ώθηση στο άκρο της Α, κάθετα στον κύριο άξονά της και εντός του επιπέδου κίνησής της, και περαιτέρω, διαπιστώνεται ότι ακινητοποιείται όταν εγκαταλείπει οριακά τον οδηγό επί του οποίου βαίνει στο σημείο Ε.
Να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα συναρτήσει των δεδομένων μεγεθών της άσκησης και μόνον. Δίνεται: Η ροπή αδράνειας ομογενούς ράβδου ως προς άξονα περιστροφής διερχόμενο από το κέντρο μάζας της ΙCM = 1/12 ML2.
Η συνέχεια στο παρακάτω σύνδεσμο
Και μόλις τώρα είδα ότι με πρόλαβε ο Κωνσταντίνος πιο κάτω
(Καλημέρα Κωνσταντίνε).
Το είδα Βαγγέλη, το ίδιο λέμε.
Καλημέρα.
Παρατήρησε το δεξιό σχήμα μου. Η σκιασμένη επιφάνεια είναι υποτίθεται η συνολική επιφάνεια του κυκλικού δακτυλίου, που όμως εκτείνεται πέραν της περιοχής του πεδίου.
Έτσι η “συνολικά διαθέσιμη” ροή διέρχεται μόνο από ένα τμήμα της συνολικής επιφάνειας του δακτυλίου.
Στο δεξιά πάνω σχήμα το τμήμα αυτό είναι πιο μεγάλο (S2) από ό,τι στο κάτω (S1). Η “μετωπική επιφάνεια” όμως (η προβολή τους σε επίπεδο κάθετο στις δυναμικές γραμμές) των δύο αυτών τμημάτων είναι ίδια.
… απ’ ότι φαίνεται δεν είναι τόσο προφανές … αλλά για να κλείσουμε με αυτό το θέμα (το ξέρω ότι η μαγνητική ροή είναι scalar, με αδύνατο σημείο όμως το πρόσημο) … όσο παράξενο κι αν σου φαίνεται οι ηλεκτρολόγοι μηχανικοί έχουν δώσει μια παραπάνω υπόσταση στην πολύ σημαντική έννοια της μαγνητικής ροής κι αυτό γίνεται με την εισαγωγή της έννοιας του flux tube για το μαγνητικό πεδίο (flux tube μπορεί να οριστεί για κάθε σωληνοειδές πεδίο στην πραγματικότητα), και δύο από τις ιδιότητες του εν προκειμένω “μαγνητικού σωλήνα ροής” είναι οι εξής: (α) ότι η ροή μέσα από κάθε τομή του σωλήνα, όπως και να κόβει η τελευταία τον σωλήνα είναι η ίδια (αυτό ακριβώς δείχνει η εξίσωση Φ_S tot = 0 => …) και (β) ότι οι μαγνητικές δυναμικές γραμμές δεν διαπερνούν ποτέ τα τοιχώματα του σωλήνα ροής … άρα είναι πάντα παράλληλες προς τα τοιχώματα … από την στιγμή που υπάρχει αυτή η έννοια του σωλήνα ροής … η ροή δεν είναι απλώς ένα νούμερο αλλά κάτι που έχει και προσανατολισμό και κατεύθυνση στον χώρο (πολύ απτό παράδειγμα η προσανατολισμένη μαγνητική ροή στο εσωτερικό ενός σιδηρομαγνήτη) … στα μαγνητικά κυκλώματα (που δεν κάνουν σε τμήματα φυσικής) επίσης συμπεριφερόμαστε την μαγνητική ροή όπως τα ρεύματα στα ηλεκτρικά κυκλώματα (με μέτρο, προσανατολισμό και φορά!) … για το επαγωγικό φαινόμενο διαμέσου του δαχτυλιδιού όμως δεν ενδιαφέρει το τμήμα του flux tube που είναι παράλληλο στην επιφάνεια του δαχτυλιδιού μόνο εκείνο που τη διαπερνά εγκάρσια … το ίδιο περίπου σκεπτικό το έχουμε δει σε μαθήματα διάδοσης ηλεκτρομαγνητικού κύματος, όπου κατά την πλάγια πρόσπτωση του επίπεδου κύματος στην επίπεδη διαχωριστική επιφάνεια δύο μέσων, αν θες να υπολογίσεις την transmitted energy or power σε ενδιαφέρει το τμήμα της ηλεκτρομαγνητικής ενέργειας που διαπερνά εγκάρσια τη διαχωριστική επιφάνεια όχι αυτό που είναι παράλληλο προς τη διαχωριστική … (εδώ πέρα ξανατονίζω ότι μας ενδιαφέρει μόνο το μαγνητικό πεδίο εντός του ιδανικού σωληνοειδούς χάρην απλοποίησης του προβλήματος!) … τα σχήματα που παρατέθηκαν παρακάτω δεν ξέρω σε τι εξυπηρετούν ακριβώς αφού η άσκηση αναφέρεται σε ιδανικό σωληνοειδές …
… αυτό που θέλω να τονίσω είναι ότι για τον υπολογισμό της ροής διαμέσου του δαχτυλιδιού (όσον αφορά στον υπολογισμό του επαγωγικού φαινομένου) δεν ενδιαφέρει η επιφάνεια S2 (της απάντησης) η οποία μπορεί να μεγαλώνει ή να μικραίνει ανάλογα με το πώς είναι προσανατολισμένο το σωληνοειδές σε σχέση με τον άξονα συμμετρίας του δαχτυλιδιού … ενδιαφέρει η προβολή της εγκάρσιας διατομής S1 πάνω στο επίπεδο του δαχτυλιδιού και η προβολή αυτή είναι μικρότερη από την τομή S2 … για το δούμε και πιο διαισθητικά … αν η γωνία θ -> π/2 τότε η μαγνητική ροή διαμέσου του δαχτυλιδιού (έστω και ως νοητής οντότητας αν μας χαλάει χωροταξικά) θα πρέπει να τείνει στο μηδέν, αφού οι μαγνητικές δυναμικές γραμμές καθίστανται σχεδόν παράλληλες προς την επιφάνεια του δαχτυλιδιού … η διόρθωση του ότι δεν θέλω την S2 αλλά την προβολή της S1 πάνω στο επίπεδο του δαχτυλιδιού (που είναι μικρότερη της S2) επιτυγχάνεται με τον παράγοντα cosθ
(όσον αφορά στον υπολογισμό του επαγωγικού φαινομένου) … αυτό δεν χρειάζεται καν το αφαιρώ
Αυτα που γραφεις δεν εχουν καμμια σχεση με αυτο που συζηταμε. Η ροη ειναι ανεξαρτητη του cosθ και ειναι μαθηματικος ο λογος.
https://en.wikipedia.org/wiki/Magnetic_flux
Καλησπέρα Παντελεήμονα,
Α) Κατ’ αρχήν μην μπερδεύεσαι με το “… αν η γωνία θ -> π/2 …“, διότι όσο μεγαλώνει η θ, τα άκρα του δακτυλιδιού θα ακουμπήσουν κάποια στιγμή στις σπείρες του σωληνοείδούς. Αν θέλουμε το δακτυλίδι να περιβάλλει το σωληνοειδές, η θ δεν μπορεί να είναι μικρότερη από τοξσυν(r/R).
B) Επί της ουσίας τώρα, ο ίδιος σωστά έδειξες, ότι η ζητούμενη ροή Φ είναι ίδια, είτε στην επιφλανεια S₂, είτε στην επιφάνεια S₁ = πr², της απάντησης. Δηλαδή:
Φ = Β∙S₂ = B∙S₁
Η S₂ είναι έλλειψη και όχι κυκλικός δίσκος όπως γράφεις (πλάγια τομή επιπέδου με κυλινδρική επιφάνεια).
Γράφεις επίσης “… η διόρθωση του ότι δεν θέλω την S₂ αλλά την προβολή της S₁ πάνω στο επίπεδο του δαχτυλιδιού …“.
Τί τη θέλεις την “προβολή στο επίπεδο του δακτυλιδιού“;
Αν θέλεις να δουλέψεις με προβολές, τότε σου χρειάζεται η προβολή της επιφάνειας κάθετα στις δυναμμικές γραμμές.
Το αντίθετο λοιπόν ισχύει,
η S₁ είναι ή προβολή της S₂ κάθετα στις δυναμικές γραμμές:
S₁ = S₂συνθ.
Οπότε η ζητούμενη ροή είναι:
Φ = Β∙S₂ = ΒS₂συνθ = ΒS₁
ή
Φ = Β∙S₁ = ΒS₁
Ποιος ειναι ο αξονας συμμετριας του δαχτυλιδιου?Το δαχτυλιδι εχει απειρους αξονες συμμετριας αφου καθε διαμετρος ειναι και αξονας συμμετριας
Κατ’ αρχήν μην μπερδεύεσαι με το “… αν η γωνία θ -> π/2 …“, διότι όσο μεγαλώνει η θ, τα άκρα του δακτυλιδιού θα ακουμπήσουν κάποια στιγμή στις σπείρες του σωληνοείδούς. Αν θέλουμε το δακτυλίδι να περιβάλλει το σωληνοειδές, η θ δεν μπορεί να είναι μικρότερη από τοξσυν(r/R) … δεν νομίζω ότι παίζει αυτό ρόλο στο επιχείρημα του τι πρέπει να γίνεται όταν θ -> π/2 …
… ας κάνουμε μία παραλλαγή του προβλήματος που να είναι όμως συμβατή με την αρχική άσκηση … ας ξεχάσουμε το δαχτυλίδι και ας θεωρήσουμε απλώς το (άπειρο) επίπεδο στο οποίο κείται αυτό … επίσης ας ξεχάσουμε το σωληνοειδές κι ας το αντικαταστήσουμε με μία κυλινδρική δέσμη ομογενούς μαγνητικού πεδίου (πεπερασμένης διατομής όπως στην αρχική άσκηση και είπαμε ότι δεν ενδιαφερόμαστε για τα του πεδίου εκτός του σωληνοειδούς) υπό γωνία θ με την μοναδιαία κάθετο στο επίπεδο του δαχτυλιδιού … τώρα ξεκάθαρα δεν έχουμε τον χωρικό περιορισμό που έχει το αρχικό πρόβλημα (κι επίσης η επιφάνεια διαμέσου της οποίας με ενδιαφέρει η ροή είναι “απείρως” μεγαλύτερης έκτασης από την χωρική έκταση του πεδίου, όποια κι αν είναι η γωνία θ) κι επιπλέον μπορώ ελεύθερα να παίξω με την γωνία θ στο διάστημα [0, π/2] … αν πάω να εφαρμόσω τον νόμο του Gauss στον κλειστό όγκο που ορίζει η εγκάρσια διατομή της δέσμης (όπως δηλ. η S1 στην λύση), η επιφάνεια που αποκόπτει η δέσμη από το άπειρο επίπεδο (όπως δηλ. η S2 στην λύση) και η παράπλευρη επιφάνεια του σωλήνα ροής (όπως και στη λύση), τότε θα βρίσκω ότι η ροή διαμέσου της S2 είναι πάντοτε ίση με τη ροή που υπολογίζω με βάση την επιφάνεια S1 και το αυτό ισχύει ακόμη κι αν πάρω θ -> π/2 … όταν όμως πάρω θ -> π/2 η S2 εκφυλίζεται σε μία άπειρης έκτασης λωρίδα που οριοθετείται από το σωληνοειδές, αλλά το επίπεδο διαμέσου του οποίου θέλουμε να υπολογίσουμε τη ροή καθίσταται nearly parallel προς τις μαγνητικές δυναμικές γραμμές οπότε αναμένω nearly zero μαγνητική ροή διαμέσου του άπειρου επιπέδου … πώς γίνεται να έχω την αρχική “αρκετά” μη-μηδενική ροή στην τελευταία περίπτωση αν δεχτώ το αποτέλεσμα του νόμου του Gauss? (πιο μπακάλικα … έχεις μια δέσμη σωματιδίων που έχει ομοιόμορφη ροή σχεδόν πάνω στον άξονα ΟΧ και ρωτάς ποια είναι η ροή των σωματιδίων σχεδόν πάνω στον άξονα ΟΥ … τι απαντάς;) … υπενθυμίζεται ότι στο φαινόμενο της επαγωγής σημασία έχει ο σωστός χειρισμός της ροής και μόνον
Όπως ακριβώς το γράφεις Παντελεήμονα:
“Στο φαινόμενο της επαγωγής σημασία έχει ο σωστός χειρισμός της ροής”!
Συμφωνώ.
–Η λυση σου στην ερωτηση 2 του 1ου θεματος ειναι Λαθος διοτι αποτελεσμα που εχεις βρει με το cosθ ειναι Λαθος.
Επισης η ερωτηση 4 του 1ου θεματος ειναι Λαθος διοτι αν θεωρησεις μια αρμονικη ταλαντωση με περιοδο Τ=4s και θεωρησεις τις χρονικες στιγμες t1=1s , t2=2s , t3=3s τοτε ολες οι σχεσεις που εχεις δωσει στις πιθανες απαντησεις α,β,γ,δ καταληγουν σε αοριστια αρα μαθηματικα δεν ειναι σωστες.
– Επισης η λυση που εχεις δωσει στην πρωτη ερωτηση του 1ου θεματος ειναι αστεια διοτι το προβλημα αυτο λυνεται σε μια σειρα αρκει να παρατηρησουμε οτι οι στιγμιαιες ταχυτητες των ακρων της ραβδου εχουν συνιστωσες καθετες στην ραβδο με μετρα ισα με υ/2 και συνιστωσες κατα μηκος της ραβδου.με μετρα ισα με υcos(π/6), οποτε στιγμιαια η ραβδος κανει στροφικη κινηση με γωνιακη ταχυτητα (υ/2)/(L/2)=υ/L και μεταφορικη κινηση κατα μηκος της, με ταχυτητα υcos(π/6).Απο τα υπολοιπα θεματα του διαγωνισματος δεν διαβασα τι παιζει αλλα δεν εχει σημασια. Ι strongly recommend σε καθε μαθητη να μην το διαβασει.
Με αφορμή τα σχόλια που έγιναν να το διαλευκάνουμε ακόμη περισσότερο (αλλά μάλλον η διαλεύκανση δεν κάνει ακόμη για μαθητές!): λοιπόν θα χρησιμοποιήσω την ηλεκτρολογομηχανιστική σκοπιά η οποία είναι πιο συμπαθητική …
Παραθέτω δύο γνωστές από την κλασσική ηλεκτροδυναμική εξισώσεις: (δεν ξέρω αν υπάρχει δυνατότητα αναγραφής μαθηματικών τύπων στα σχόλια?)
Ι = surface_integral{J.dS}
Φ_Β = surface_integral{Β.dS}
κατά την ηλεκτρολογομηχανιστική σκοπιά λοιπόν και για λόγους εποπτείας γίνεται η εξής αντιστοίχιση:
η μαγνητική ροή <-> ηλεκτρικό ρεύμα … αυτό μάλιστα φέρει το όμορφο όνομα “μαγνητικό ρεύμα”
μαγνητική επαγωγή <-> πυκνότητα ηλεκτρικού ρεύματος … πράγματι οι μηχανικοί το λένε μαγνητική επαγωγή στα μικρότερα έτη, αλλά πυκνότητα μαγνητικού ρεύματος στα μεταλύτερα έτη (π.χ. όταν ασχολούνται με ηλεκτρικές μηχανές)
τι μας λέει ο νόμος του Faraday: ότι επαγωγική ΗΕΔ αναπτύσσεται όταν έχουμε χρονικά μεταβαλλόμενο “μαγνητικό ρεύμα” …
έχουμε και λέμε … το “ιδανικό” σωληνοειδές λειτουργεί ως μία ομογενής δέσμη “μαγνητικού ρεύματος” στην κατεύθυνση που σχηματίζει γωνία θ με τον άξονα του δαχτυλιδιού, το δαχτυλίδι συνιστά “την κυκλική διατομή” αν θέλετε διαμέσου της οποίας θέλουμε να βρούμε το “μαγνητικό ρεύμα” … ο νόμος του Gauss απλά μας λέει ότι αν θεωρήσω έναν κλειστό όγκο (εφόσον δεν υφίστανται πηγές ή καταβόθρες “μαγνητικού ρεύματος”), ότι εισέρχεται στον όγκο πρέπει να εξέρχεται (εγώ θα λεγα ότι αυτό μου θυμίζει τον κανόνα των ρευμάτων του Kirchhoff κι ελπίζω να σας το θυμίζει κι εσάς)
… όμως για να βρούμε το “μαγνητικό ρεύμα” διαμέσου της διατομής που ορίζει το δαχτυλίδι θέλω να δω πώς ρέει το παραπάνω “μαγνητικό ρεύμα” κάθετα δια της διατομής (δεν με ενδιαφέρει ότι τμήμα του μαγνητικού ρεύματος πάει παράλληλα προς την επιφάνεια του δαχτυλιδιού – κυκλική διατομή … (εδώ χαριτολογώντας ας πούμε ότι ο νόμος του Gauss δεν ξέρει να κάνει τον προαναφερθέντα διαχωρισμό … αρκεί ότι εισέρχεται να εξέρχεται) … δεν με ενδιαφέρει ότι τμήμα του μαγνητικού ρεύματος πάει παράλληλα προς την επιφάνεια του δαχτυλιδιού – κυκλική διατομή ούτε καν για το επαγωγικό φαινόμενο στην τελική … αυτός είναι ο λόγος που τις προάλλες τόνισα ότι το ορθόν είναι να σπάσεις το κυλινδρικό μαγνητικό ρεύμα σου σε μια ροή που διαπερνά κάθετα το δαχτυλίδι-διατομή (αυτή μας ενδιαφέρει τελικώς για το επαγωγικό φαινόμενο) θεωρώντας την προβολή της επιφάνειας S1 πάνω στο επίπεδο του δαχτυλιδιού (ο νόμος του Gauss λέει μεν ότι ότι ρεύμα μπήκε στο δαχτυλίδι-διατομή βγήκε αλλά τι να το κάνω το μαγνητικό ρεύμα που πάει παράλληλα προς το επίπεδο του δαχτυλιδιού-διατομή;)
Μερικά τελευταία σχόλια:
(α) ομογενές μαγνητικό πεδίο σε όλο τον χώρο = σαν να έχεις ένα μαγνητικό ρεύμα σε όλο το χώρο, οπότε βάζοντας κλειστούς στατικούς βρόχους μέσα του, αυτό που έχει σημασία για την περίφημη “μαγνητική ροή” είναι ο σχετικός προσανατολισμός μεταξύ βρόχου και ρεύματος (το ρεύμα δεν το νοιάζει αν έσυ έχεις βάλει βρόχο μέσα του … ο βρόχος έχει το θεματάκι!)
(β) ομογενές μαγνητικό πεδίο σε περιορισμένο χώρο = σαν να έχεις ένα μαγνητικό ρεύμα σε περιορισμένο χώρο, βάζοντας όμως κλειστούς στατικούς βρόχους μέσα του έχει σημασία ΚΑΙ η σχετική γεωμετρία (πέραν απλώς του σχετικού προσανατολισμού) ρεύματος και βρόχου … είναι δυνατόν να βάλω τον βρόχο σε θέση τέτοια που να μην τον διαπερνά κανένα μαγνητικό ρεύμα (π.χ. ανεβάζοντας το κέντρο δαχτυλιδιού ακριβώς κατακόρυφα προς τα πάνω, σε κάποια φάση θα διακοπεί και το επαγωγικό φαινόμενο αφού δεν θα το διαπερνά κανένα μαγνητικό ρεύμα)
(γ) η παραπάνω αντιστοιχία με το ηλεκτρικό ρεύμα και την πυκνότητα ηλεκτρικού ρεύματος μπορεί να γενικευτεί σε οποιοδήποτε διανυσματικό πεδίο (όχι μόνο το Β) και το αντίστοιχο προς αυτό “πεδιακό ρεύμα”
Όποια … “διαλεύκανση” και να κάνεις Παντελεήμονα, η μαγνητική ροή μέσα από το δακτυλίδι θα πρέπει να σου προκύψει:
Φ = ΒS₁
διαφορετικά κάπου κάνεις λάθος.