Ευχαριστώ Χρήστο.
Παρουσίαζα πάντοτε τρεις αποδείξεις, εκτός αν μιλούσα σε παιδιά της Θετικής, οπότε και μια τέταρτη. Κάνοντας πλάκα και μια πέμπτη, γεωμετρική. Σπάνια όμως.
Αυτή είναι η δεύτερη κατά σειρά (ημετέρας) προτίμησης απόδειξη.
Η αντιπαθέστερη (γούστα είναι αυτά) αυτή με τη διακρίνουσα.
Άριστα, Γιάννη, εξαιρετική προσέγγιση!
(την έδινα χιουμοριστικά στους μαθητές, δεν “συμμορφώθηκα” μέχρι το “τέλος”,
“σιγά που το νερό στο δοχείο γνωρίζει αν συνεχίζει πιο κάτω να υπάρχει νερό ή τούβλα, νερό είναι δεν τα ξέρει και όλα,
για κάποιο μέσον του ύψους, που κάποιοι Φυσικοί είπανε, ψάχνει, ό,τι καταφέρει…”)
Γιάννη συγχαρητήρια για την άσκηση.
Βέβαια αν το ύψος της στήλης του ρευστού είναι μεγαλύτερο από το ύψος του βάθρου μάλλον το συμπέρασμα είναι προφανέστερο!
Ευχαριστώ Μιχάλη.
Δεν ισχύει τότε. Φαίνεται στη φράση “Μακάρι να μπορούσαμε να ανοίξουμε τρύπα στη μέση”.
Αν το δοχείο ήταν ψηλότερο μπορούμε να ανοίξουμε τρύπα στη μέση. Εκεί το y θα ήταν όχι μόνο το ελάχιστο αλλά ακριβώς μηδέν. Τότε η τρύπα κοντά στον πάτο δεν θα αντιστοιχούσε με το ελάχιστο y.
Καλησπέρα Γιάννη.
Έλεγα κι εγώ μα γιατί δεν παίρνει το ψ από την ελεύθερη επιφάνεια οπότε θα βγάλει ,με σταθερό άθροισμα όρων γινομένου, ότι ψ=130/2=75cm άρα, μια τρύπα στον …αέρα (βάθρο), επομένως η οπή όσο γίνεται χαμηλότερα δηλαδή πλάι στον πάτο. Όμως γιατί να είναι max τότε;
Έξυπνο λοιπόν το μοίρασμα σε 2Η και ο άγνωστος ψ που έβαλες .
Γεια σου Γιάννη.
Προφανώς έξυπνη η λύση σου αλλά κάπως Κυριακοπούλεια. Και επειδή πλησιάζουν οι εξετάσεις αλλά και πιθανόν υπάρχουν παιδιά που δεν έχουν μια άλλη λύση στο μυαλό τους, ας τους δώσουμε μια πιο κοντινή τους.
Ευχαριστώ Άρη.
Δίδασκα αυτή τη λύση που μου αποδίδεις μαζί με τις άλλες.
Είναι βολικότερη και καλύτερη.
Μαθαίνω (ως μαθητής) σημαίνει “συναντώ κάτι που δεν ήξερα και δεν είχα σκεφτεί”.
Δυστυχώς πολλοί μαθητές έχουν την τάση να θέλουν με όσα έμαθαν να απαντούν.
Δυσαρεστούνται όταν αυτό δεν επιβεβαιώνεται.
Ρωτούσα:
-Τι είναι στροφική κίνηση;
-Είναι….. ένα σημείο παραμένει….
-Ποιο είναι αυτό;
-Το κέντρο μάζας.
-Όχι είναι όποιο θέλουμε εμείς.
Σε λιγότερο από ένα λεπτό έβλεπαν την προσομοίωση. Οι αντιδράσεις δυο λογιών:
Κάποια παιδιά είχαν ζωγραφισμένη στα πρόσωπα μια ικανοποίηση που έμαθαν κάτι.
Άλλα μια δυσαρέσκεια.
-Εμείς μάθαμε για το κέντρο μάζας.
Τους έλεγα για το ευθυμογράφημα του Σαπρανίδη όπου ρωτούσαν μαθητές:
-Πως σκοτώθηκε ο Καραϊσκάκης;
-Σε μάχη με τους Πέρσες.
Όταν τους εξηγούσαν ότι οι Πέρσες δεν είχαν σχέση:
-Εμείς έχουμε φτάσει μέχρι τους Μηδικούς πολέμους.
Ο Σαπρανίδης καταλήγει:
Του χρόνου θα μάθουν ότι σκοτώθηκε από Βησιγότθους.
Άλλη φορά ήταν μια μπάλα που τσουλούσε σε κινούμενο λεωφορείο. Η ταχύτητα του λεωφορείου ήταν 10 m/s και της μπάλας 12 m/s.
-Ποια η ταχύτητα του ανώτερου σημείου της μπάλας;
-Διπλάσια, δηλαδή 24 m/s.
Όταν έμαθαν ότι ήταν 14 m/s πάλι τα ίδια αντιφατικά. Ικανοποίηση από τους πραγματικούς μαθητές, απογοήτευση από όσους θεωρούν ότι πρέπει να διδάσκεις όσα ήδη ξέρουν και να επιβεβαιώνονται.
Το ίδιο συμβαίνει και εδώ. Διδάσκεται κατά κόρον η μέθοδος με την διακρίνουσα χωρίς να είναι η απλούστερη. Αποφεύγεται το «σταθερό άθροισμα, άρα μέγιστο γινόμενο όταν είναι ίσοι». Δεν αποκλείω την ύπαρξη συναδέλφων που νομίζουν ότι θέλει απόδειξη. Τα έχω δει όλα τόσα χρόνια.
Επέλεξα να λέω σε κάθε μάθημα κάτι που και απλό είναι και δεν το έχουν συνηθίσει.
Ιδίως αν είναι καλύτερο από την διακρίνουσα.
Δεν υπάρχει τίποτε από τα περιστατικά που αναφέρεις που να μην τα έχουμε συναντήσει όσοι κουβαλάμε 40 χρόνια στα λύκεια.
Είμαι, γενικά, οπαδός του αφήστε όλα τα λουλούδια να ανθίσουν. Φυσικά αυτό μπορεί να ισχύει και στην ποικιλομορφία των λύσεων των ασκήσεων.
Αλλά υπάρχει και το «κάθε πράγμα στον καιρό του».
Μόλις ξεκινά το μωρό να πίνει μόνο του νερό από το παγουρίνο του δεν σκέφτεται κανείς την επόμενη φορά να δοκιμάσει να του δώσει να πιει με κολονάτο ποτήρι, όσο καλαίσθητο και αν είναι το τελευταίο.
Αλλά ίσως υπάρχουν και κάποιοι περιορισμοί λόγω συνθηκών. Αν την ώρα που είναι έτοιμο να φύγει το καρφί από το οποίο είναι δεμένο το σχοινί ενός ορειβάτη, δεν είναι η πιο κατάλληλη ώρα να τραγουδήσει το «κυκλάμινο, κυκλάμινο στου βράχου την σχισμάδα» ούτε να θαυμάσει ένα παρακείμενο εντελβάϊς, αν κάνει ορειβασία στις Άλπεις.
Άρη προφανώς δεν είναι η τελευταία στιγμή ώρα για τσαχπινιές.
Γενικώς όμως. Ειδικώς;
Για τους μαθητές μου ήταν μία από τις τρεις ισόκυρες λύσεις του ίδιου προβλήματος.
Υποθέτω πως κάποιοι υιοθέτησαν αυτήν ως αποτελεσματικότερη.
Δεν είναι μια πρωτοτυπία που σκέφτηκα τώρα να παρουσιάσω.
Φαντάσου να παρουσίαζα μόνο αυτήν και να έλεγα σε έναν συνάδελφο που αναρτούσε την διακρίνουσα:
-Δεν είναι ώρα για πειραματισμούς παραμονές Εξετάσεων.
Δεν ευθύνομαι για την μαζική επιλογή της διακρίνουσας. Φαντάζομαι πως επεκράτησε. Θεώρημα μέγιστης ισχύος, μέγιστη θερμοκρασία σε “ευθύγραμμη” μεταβολή κ.λ.π. Δεν είναι όμως ούτε η μόνη, ούτε η ευκολότερη, ούτε η αποτελεσματικότερη.
Υ.Γ.
Σε κάποιους μαθητές έλεγα άλλες δύο λύσεις, με τη συμβουλή να ακολουθήσουν μία από τις τρεις ισόκυρες λύσεις.
Αν και η ωρα ειναι καπως περασμενη θα ηθελα με την σειρα μου να πω οτι η σκεψη σου Γιαννη ειναι οντως πολυ καλη !
Το θεμα με το δοχειο πανω σε μια βαση με ειχε απασχολησει στο προσφατο παρελθον . Ειχα κανει μια αναλυση του θεματος με χρηση τριωνυμου διακρινουσα ιση με το μηδεν κλπ . Βεβαια για να εχουμε οπη μεσα στο δοχειο …. Ειχα εξετασει και την περιπτωση που αναφερεις και εσυ δηλαδη το υψος της βασης να ειναι μεγαλυτερο απο το υψος του νερου στο δοχειο ….
Προσπαθησα τωρα να το εξετασω για αυτη την περιπτωση ακομη πιο αναλυτικα οποτε ας προσθεσω και μια σκεψη ακομη ….. 🙂
Καλημέρα Κώστα.
Ευχαριστώ.
Σωστή λύση.
Υπάρχει άλλη μία την οποία σε ελάχιστους έλεγα με τη συμβουλή να μην τη γράψουν.
Είναι (μετά την εξαγωγή της σχέσης του βεληνεκούς) καθαρά γεωμετρική.
Γράφουμε ημιπεριφέρεια με διάμετρο το Η+h. Η μεγαλύτερη οριζόντια από την οπή που τέμνει την ημιπεριφέρεια άγεται από οπή κοντά στον πάτο.
Το διπλάσιο της καθέτου είναι το βεληνεκές.
Λύση εύκολη, όμως εξηγήσεις πολλές και βαριές. Είναι για μαθητές άλλων εποχών.
by 
Γιάννη πολύ ευφυές να σπάσεις την ολική απόσταση σε 2Η και να δημιουργήσεις μια εύκολα διαχειρίσιμη εξίσωση.
Ευχαριστώ Χρήστο.
Παρουσίαζα πάντοτε τρεις αποδείξεις, εκτός αν μιλούσα σε παιδιά της Θετικής, οπότε και μια τέταρτη. Κάνοντας πλάκα και μια πέμπτη, γεωμετρική. Σπάνια όμως.
Αυτή είναι η δεύτερη κατά σειρά (ημετέρας) προτίμησης απόδειξη.
Η αντιπαθέστερη (γούστα είναι αυτά) αυτή με τη διακρίνουσα.
Άριστα, Γιάννη, εξαιρετική προσέγγιση!
(την έδινα χιουμοριστικά στους μαθητές, δεν “συμμορφώθηκα” μέχρι το “τέλος”,
“σιγά που το νερό στο δοχείο γνωρίζει αν συνεχίζει πιο κάτω να υπάρχει νερό ή τούβλα, νερό είναι δεν τα ξέρει και όλα,
για κάποιο μέσον του ύψους, που κάποιοι Φυσικοί είπανε, ψάχνει, ό,τι καταφέρει…”)
Ευχαριστώ Βαγγέλη.
Όντως το νερό αδιαφορεί για τα υποκείμενα.
Γιάννη συγχαρητήρια για την άσκηση.
Βέβαια αν το ύψος της στήλης του ρευστού είναι μεγαλύτερο από το ύψος του βάθρου μάλλον το συμπέρασμα είναι προφανέστερο!
Ευχαριστώ Μιχάλη.
Δεν ισχύει τότε. Φαίνεται στη φράση “Μακάρι να μπορούσαμε να ανοίξουμε τρύπα στη μέση”.
Αν το δοχείο ήταν ψηλότερο μπορούμε να ανοίξουμε τρύπα στη μέση. Εκεί το y θα ήταν όχι μόνο το ελάχιστο αλλά ακριβώς μηδέν. Τότε η τρύπα κοντά στον πάτο δεν θα αντιστοιχούσε με το ελάχιστο y.
Καλησπέρα Γιάννη.
Έλεγα κι εγώ μα γιατί δεν παίρνει το ψ από την ελεύθερη επιφάνεια οπότε θα βγάλει ,με σταθερό άθροισμα όρων γινομένου, ότι ψ=130/2=75cm άρα, μια τρύπα στον …αέρα (βάθρο), επομένως η οπή όσο γίνεται χαμηλότερα δηλαδή πλάι στον πάτο. Όμως γιατί να είναι max τότε;
Έξυπνο λοιπόν το μοίρασμα σε 2Η και ο άγνωστος ψ που έβαλες .
Ευχαριστώ Παντελή.
Είναι βολικό το μοίρασμα.
Τελείωσα άλλη μία παρόμοια.
Γεια σου Γιάννη.
Προφανώς έξυπνη η λύση σου αλλά κάπως Κυριακοπούλεια. Και επειδή πλησιάζουν οι εξετάσεις αλλά και πιθανόν υπάρχουν παιδιά που δεν έχουν μια άλλη λύση στο μυαλό τους, ας τους δώσουμε μια πιο κοντινή τους.
https://ibb.co/w7QfBHM
Ευχαριστώ Άρη.
Δίδασκα αυτή τη λύση που μου αποδίδεις μαζί με τις άλλες.
Είναι βολικότερη και καλύτερη.
Μαθαίνω (ως μαθητής) σημαίνει “συναντώ κάτι που δεν ήξερα και δεν είχα σκεφτεί”.
Δυστυχώς πολλοί μαθητές έχουν την τάση να θέλουν με όσα έμαθαν να απαντούν.
Δυσαρεστούνται όταν αυτό δεν επιβεβαιώνεται.
Ρωτούσα:
-Τι είναι στροφική κίνηση;
-Είναι….. ένα σημείο παραμένει….
-Ποιο είναι αυτό;
-Το κέντρο μάζας.
-Όχι είναι όποιο θέλουμε εμείς.
Σε λιγότερο από ένα λεπτό έβλεπαν την προσομοίωση. Οι αντιδράσεις δυο λογιών:
Κάποια παιδιά είχαν ζωγραφισμένη στα πρόσωπα μια ικανοποίηση που έμαθαν κάτι.
Άλλα μια δυσαρέσκεια.
-Εμείς μάθαμε για το κέντρο μάζας.
Τους έλεγα για το ευθυμογράφημα του Σαπρανίδη όπου ρωτούσαν μαθητές:
-Πως σκοτώθηκε ο Καραϊσκάκης;
-Σε μάχη με τους Πέρσες.
Όταν τους εξηγούσαν ότι οι Πέρσες δεν είχαν σχέση:
-Εμείς έχουμε φτάσει μέχρι τους Μηδικούς πολέμους.
Ο Σαπρανίδης καταλήγει:
Του χρόνου θα μάθουν ότι σκοτώθηκε από Βησιγότθους.
Άλλη φορά ήταν μια μπάλα που τσουλούσε σε κινούμενο λεωφορείο. Η ταχύτητα του λεωφορείου ήταν 10 m/s και της μπάλας 12 m/s.
-Ποια η ταχύτητα του ανώτερου σημείου της μπάλας;
-Διπλάσια, δηλαδή 24 m/s.
Όταν έμαθαν ότι ήταν 14 m/s πάλι τα ίδια αντιφατικά. Ικανοποίηση από τους πραγματικούς μαθητές, απογοήτευση από όσους θεωρούν ότι πρέπει να διδάσκεις όσα ήδη ξέρουν και να επιβεβαιώνονται.
Το ίδιο συμβαίνει και εδώ. Διδάσκεται κατά κόρον η μέθοδος με την διακρίνουσα χωρίς να είναι η απλούστερη. Αποφεύγεται το «σταθερό άθροισμα, άρα μέγιστο γινόμενο όταν είναι ίσοι». Δεν αποκλείω την ύπαρξη συναδέλφων που νομίζουν ότι θέλει απόδειξη. Τα έχω δει όλα τόσα χρόνια.
Επέλεξα να λέω σε κάθε μάθημα κάτι που και απλό είναι και δεν το έχουν συνηθίσει.
Ιδίως αν είναι καλύτερο από την διακρίνουσα.
Φυσικά η λύση που παραθέτεις είναι πολύ καλή.
Γεια σου Γιάννη.
Δεν υπάρχει τίποτε από τα περιστατικά που αναφέρεις που να μην τα έχουμε συναντήσει όσοι κουβαλάμε 40 χρόνια στα λύκεια.
Είμαι, γενικά, οπαδός του αφήστε όλα τα λουλούδια να ανθίσουν. Φυσικά αυτό μπορεί να ισχύει και στην ποικιλομορφία των λύσεων των ασκήσεων.
Αλλά υπάρχει και το «κάθε πράγμα στον καιρό του».
Μόλις ξεκινά το μωρό να πίνει μόνο του νερό από το παγουρίνο του δεν σκέφτεται κανείς την επόμενη φορά να δοκιμάσει να του δώσει να πιει με κολονάτο ποτήρι, όσο καλαίσθητο και αν είναι το τελευταίο.
Αλλά ίσως υπάρχουν και κάποιοι περιορισμοί λόγω συνθηκών. Αν την ώρα που είναι έτοιμο να φύγει το καρφί από το οποίο είναι δεμένο το σχοινί ενός ορειβάτη, δεν είναι η πιο κατάλληλη ώρα να τραγουδήσει το «κυκλάμινο, κυκλάμινο στου βράχου την σχισμάδα» ούτε να θαυμάσει ένα παρακείμενο εντελβάϊς, αν κάνει ορειβασία στις Άλπεις.
Έτσι σκέφτομαι φίλε.
Άρη προφανώς δεν είναι η τελευταία στιγμή ώρα για τσαχπινιές.
Γενικώς όμως. Ειδικώς;
Για τους μαθητές μου ήταν μία από τις τρεις ισόκυρες λύσεις του ίδιου προβλήματος.
Υποθέτω πως κάποιοι υιοθέτησαν αυτήν ως αποτελεσματικότερη.
Δεν είναι μια πρωτοτυπία που σκέφτηκα τώρα να παρουσιάσω.
Φαντάσου να παρουσίαζα μόνο αυτήν και να έλεγα σε έναν συνάδελφο που αναρτούσε την διακρίνουσα:
-Δεν είναι ώρα για πειραματισμούς παραμονές Εξετάσεων.
Δεν ευθύνομαι για την μαζική επιλογή της διακρίνουσας. Φαντάζομαι πως επεκράτησε. Θεώρημα μέγιστης ισχύος, μέγιστη θερμοκρασία σε “ευθύγραμμη” μεταβολή κ.λ.π. Δεν είναι όμως ούτε η μόνη, ούτε η ευκολότερη, ούτε η αποτελεσματικότερη.
Υ.Γ.
Σε κάποιους μαθητές έλεγα άλλες δύο λύσεις, με τη συμβουλή να ακολουθήσουν μία από τις τρεις ισόκυρες λύσεις.
Χαιρετω !
Αν και η ωρα ειναι καπως περασμενη θα ηθελα με την σειρα μου να πω οτι η σκεψη σου Γιαννη ειναι οντως πολυ καλη !
Το θεμα με το δοχειο πανω σε μια βαση με ειχε απασχολησει στο προσφατο παρελθον . Ειχα κανει μια αναλυση του θεματος με χρηση τριωνυμου διακρινουσα ιση με το μηδεν κλπ . Βεβαια για να εχουμε οπη μεσα στο δοχειο …. Ειχα εξετασει και την περιπτωση που αναφερεις και εσυ δηλαδη το υψος της βασης να ειναι μεγαλυτερο απο το υψος του νερου στο δοχειο ….
Προσπαθησα τωρα να το εξετασω για αυτη την περιπτωση ακομη πιο αναλυτικα οποτε ας προσθεσω και μια σκεψη ακομη ….. 🙂
Καλημέρα Κώστα.
Ευχαριστώ.
Σωστή λύση.
Υπάρχει άλλη μία την οποία σε ελάχιστους έλεγα με τη συμβουλή να μην τη γράψουν.
Είναι (μετά την εξαγωγή της σχέσης του βεληνεκούς) καθαρά γεωμετρική.
Γράφουμε ημιπεριφέρεια με διάμετρο το Η+h. Η μεγαλύτερη οριζόντια από την οπή που τέμνει την ημιπεριφέρεια άγεται από οπή κοντά στον πάτο.
Το διπλάσιο της καθέτου είναι το βεληνεκές.
Λύση εύκολη, όμως εξηγήσεις πολλές και βαριές. Είναι για μαθητές άλλων εποχών.