by 
Το πρόβλημα έθεσε ο Γιάννης Παπακωνσταντίνου πριν περίπου ένα χρόνο.
Ας το διατυπώσω πάλι, με μικρές τροποποιήσεις:
Ανοίξτε το αρχείο interactive physics “Σκαλοπάτι”. Θα δώσετε όποια ταχύτητα θέλετε σε μια σφαίρα. Αυτή κυλίεται χωρίς ολίσθηση.
Όταν οι ταχύτητες είναι μικρές, αυξάνεται η ταχύτητα της σφαίρας κατά την προγείωση από το σκαλοπάτι στο πάτωμα.
Αυτό δεν συμβαίνει σε μεγάλες ταχύτητες.
Γιατί;
Ποιο είναι το όριο;
Δημήτρη ακριβώς αυτό είναι το αποτέλεσμα.
Η απόδειξη όμως είναι πολύ απλή:
Όταν φτάνει στη γωνία η επαφή αίρεται αν Ν=0. Δηλαδή αν το βάρος είναι ίσο με την κεντρομόλο.Δηλαδή m.g=m.υ^2/R=>υ=ρίζα(g.R).
Μόλις με πρόλαβε ο Δημήτρης – γεια σου Δημήτρη- θυμόμουνα την δουλειά του από το βιβλίο του Loney.
Γεια σου Άρη.
Το θέμα είναι απλό. Υπάρχει ένας κύκλος με ακτίνα R. Αν η ταχύτητα είναι μεγαλύτερη από ρίζα(gR) τότε το κέντρο διαγράφει παραβολή που υπέρκειται του κύκλου αυτού. Δεν ακουμπάει στη μύτη, η Ν δεν γίνεται λοξή, η σφαίρα δεν επιταχύνεται στον άξονα x.
Έτσι που τα λες φαίνονται να είναι τα πράγματα, Γιάννη μου, αλλά η απορία του Διονύση
«“Η ακτίνα καμπυλότητας είναι για μικρή ταχύτητα ίση με την ακτίνα του κύκλου.” Ποιος είναι αυτός ο κύκλος; Πώς τον βρίσκεις;» με τρώει και εμένα.
Πρέπει να δείξουμε ότι ο κύκλος που δίνει την ακτίνα καμπυλότητας εφάπτεται της κυκλικής τροχιάς που αναφέρεις στη γωνία του σκαλοπατιού άρα ταυτίζονται οι δυο κύκλοι, ή κάπου κάνω λάθος;
Καλημέρα Άρη.
Ένα σώμα βάλλεται οριζόντια με ταχύτητα υ=ρίζα(gR).
Την στιγμή της εκτόξευσης έχει επιτάχυνση g. Η ακτίνα καμπυλότητας είναι ίση με R.
Ένα σώμα βάλλεται με μεγαλύτερη ταχύτητα Έχοντας επιτάχυνση ίση με g έχει την στιγμή της εκτόξευσης μεγαλύτερη ακτίνα καμπυλότητας.
Η τροχιά που διαγράφει το κέντρο του είναι η κόκκινη γραμμή Αυτό σημαίνει ότι δεν ακουμπά στη γωνία και δεν δέχεται την Ν.
Αν η ταχύτητα ήταν μικρότερη από ρίζα(gR) η ακτίνα καμπυλότητας θα ήταν μικρότερη από R. Θα διέγραφε την πράσινη γραμμή αν δεν υπήρχε το σκαλοπάτι. Όμως υπάρχει. Έτσι διαγράφει τμήμα του κίτρινου κύκλου παραμένοντας για ένα χρονικό διάστημα σε επαφή με τη μύτη του σκαλοπατιού. Δέχεται την λοξή Ν και επιταχύνεται στον άξονα x.
Καλημέρα Γιάννη, καλημέρα σε όλους.
Δημήτρη πολύ σαφής η λύση.
Λύση που οδηγεί και σε αυτό που έλεγε ο Γιάννης για την “κυκλική κίνηση”.
Χθες βράδυ ρωτούσα ποια είναι η ακτίνα του κύκλου.
Στην λύση του Δημήτρη είναι φανερό, όταν οδηγούμαστε στην ακτίνα της σφαίρας, αφού όμως θεωρήσουμε πριν, ότι η σφαίρα δεν ολισθαίνει αλλά το κέντρο της αρχίζει να εκτελεί μια κυκλική τροχιά με κέντρο την ακίδα του σκαλοπατιού και χάνει την επαφή όχι όταν Ν=0 αλλά την εξίσωση της παραπάνω εικόνας που εμπλέκει Ν (R) και τριβή. Τότε οριακά φτάνουμε και στη γωνία φ=0, όπου δεν υπάρχει κύκλος και η Ν μηδενίζεται, όταν η κατακόρυφη ακτίνα φτάνει στο άκρο του σκαλοπατιού.
Ωραίο πρόβλημα…
Καλημέρα Διονύση.
Η ακτίνα του κύκλου είναι η ακτίνα καμπυλότητας. Υπολογίζεται από τη σχέση:
ακ=υ^2/r=>g=υ^2/r=>r=υ^2/g.
Για να είναι σε επαφή με τη μύτη του σκαλοπατιού πρέπει η ακτίνα r να είναι μικρότερη από την ακτίνα R της σφαίρας.
Καλημέρα Γιάννη.
“Η ακτίνα του κύκλου είναι η ακτίνα καμπυλότητας”
Η πρόταση δεν έχει περιεχόμενο.
Η απόδειξη του Δημήτρη αποδεικνύει ότι το κέντρο της σφαίρας μπορεί να εκτελεί κύκλο ακτίνας ίση με την ακτίνα της σφαίρας. Αυτή την ακτίνα ζήταγα χθες βράδυ…
Διονύση δεν αμφισβητώ την απόδειξη του Δημήτρη.
Λέω απλά ότι υπάρχει ευκολότερη με ελάχιστα Μαθηματικά.
Η πρόταση έχει περιεχόμενο. Ο κίτρινος κύκλος σχεδιάστηκε ώστε να έχει ακτίνα ίση με την ακτίνα καμπυλότητας όταν η βολή γίνεται με ταχύτητα ίση με ρίζα(gR). Δεν είναι μια υπαρκτή τροχιά.
Είναι μια γραμμή, τμήμα της οποίας διαγράφει το κέντρο της σφαίρας αν η ταχύτητα είναι μικρή. Είναι το τμήμα που επισημαίνω:
Αυτό είναι ένα τόξο κύκλου. Ο κύκλος έχει μία ακτίνα ίση με την ακτίνα της σφαίρας. Για να διαγράψει το κέντρο της σφαίρας τμήμα του κύκλου αυτού πρέπει υ^2/g<R.
“Αυτό είναι ένα τόξο κύκλου. Ο κύκλος έχει μία ακτίνα ίση με την ακτίνα της σφαίρας.”
Αυτήν την ακτίνα ζητούσα, αλλά δεν την έδινες χθες…
Το πρόβλημα μοιάζει με το:
Με ποια ταχύτητα πρέπει να βλεθεί ώστε να μην ακουμπήσει σε άλλο σημείο του κύκλου;
Διονύση έγραψα:
Ο κύκλος είναι κύκλος με ακτίνα ίση με την ακτίνα καμπυλότητας που έχουμε στην γωνία.
Δεν ήταν σαφές. Θα έπρεπε να προσθέσω με ποια ταχύτητα επιτυγχάνεται, δηλαδή την υ^2/g.
“Ο κύκλος είναι κύκλος με ακτίνα ίση με την ακτίνα καμπυλότητας που έχουμε στην γωνία.
Γιάννη για μένα, η πρόταση δεν έχει νόημα. Κάθε κύκλος έχει ακτίνα ίση με την ακτίνα καμπυλότητάς του!!!!
Όχι την ακτίνα καμπυλότητάς του.
Την ακτίνα καμπυλότητας που έχει αρχικά η τροχιά που γίνεται με ταχυτητα υ=ρίζα(gR). Δηλαδή:
Βλέπουμε ένα σώμα που βάλεται με ταχύτητα ίση με ρίζα(gR)=10m/s.
Η τροχιά του είναι η μαύρη γραμμή. Η ακτίνα καμπυλότητας στο ανώτερο σημείο είναι ίση με 10 m.
Σχεδιάστηκε με κόκκινο ένας κύκλος με ακτίνα 10 m. Ο κύκλος αυτός εφάπτεται της παραβολικής τροχιάς ακριβώς στο ανώτερο σημείο. Είναι το μόνο κοινό του σημείο με την τροχιά, η οποία “υπέρκειται” του κύκλου.
Μια σύντομη απάντηση δίνεται στο τέλος της ανάρτησης:
Σε ποια θέση εγκαταλείπει το παγόβουνο;