by 
Το πρόβλημα έθεσε ο Γιάννης Παπακωνσταντίνου πριν περίπου ένα χρόνο.
Ας το διατυπώσω πάλι, με μικρές τροποποιήσεις:
Ανοίξτε το αρχείο interactive physics “Σκαλοπάτι”. Θα δώσετε όποια ταχύτητα θέλετε σε μια σφαίρα. Αυτή κυλίεται χωρίς ολίσθηση.
Όταν οι ταχύτητες είναι μικρές, αυξάνεται η ταχύτητα της σφαίρας κατά την προγείωση από το σκαλοπάτι στο πάτωμα.
Αυτό δεν συμβαίνει σε μεγάλες ταχύτητες.
Γιατί;
Ποιο είναι το όριο;
Παραπάνω μίλησα για την γεωμετρία.
Αν δούμε το πρόβλημα στην περίπτωση μιας σφαίρας ακτίνας R=2,5m, τότε με βάση την ακτίνα καμπυλότητας, βρίσκουμε ότι η ελάχιστη ταχύτητα της σφαίρας για να χαθεί η επαφή, χωρίς να αυξηθεί το μέτρο της ταχύτητας είναι ίση με 5m/s.
Ας πάρουμε τώρα το σχήμα όπου η σφαίρα εγκαταλείπει το σκαλοπάτι τη στιγμή t=0 και τη στιγμή t το κέντρο της έχει μετατοπισθεί οριζόντια κατά x και κατακόρυφα κατά y, εκτελώντας οριζόντια βολή.
Τότε από την εξίσωση της τροχιάς βρίσκουμε την εξίσωση (1).
Με βάση το σχήμα, για να μην έχουμε επαφή της σφαίρας με το σκαλοπάτι, θα πρέπει για κάθε x να ισχύει:
d ≥ y → R-α ≥ y →
που καταλήγει στην εξίσωση (2):
Δίνοντας την ανίσωση στο wolfram αφού αντικαταστήσουμε g=10 και R=2,5 η ανίσωση που μας ενδιαφέρει παίρνει τελικά τη μορφή:
Βλέπουμε δηλαδή αυτό να ισχύει για ταχύτητα μέτρου μεγαλύτερου ή ίσου με 5m/s…
Γεια σου Γιάννη.
Στο Σε ποια θέση εγκαταλείπει το ημισφαίριο; και στο τμήμα «ένα άλλο πρόβλημα» υπάρχει πράγματι η απάντηση για το ποια ακτίνα καμπυλότητας εννοούσες. Βρίσκεις εκεί την ακτίνα καμπυλότητας στο ανώτατο σημείο του ημικυκλίου και απαιτείς να είναι μεγαλύτερη από την ακτίνα του ώστε να ακολουθήσει μια άλλη (παραβολική) τροχιά που περιβάλλει το ημικύκλιο.
Στο τμήμα «παρατήρηση» όμως νομίζω ότι η αντιστοιχία με το προηγούμενο διασφαλίζει μόνο ότι η σφαίρα θα πέσει σε απόσταση μεγαλύτερη του h=ύψος του σκαλοπατιού, το αντίστοιχο της ακτίνας του παγόβουνου. Η Ν που εμφανίζεται εδώ τι σχέση έχει με την επεξεργασία για το ημισφαίριο;
Υ.Γ. Η σφαίρα στην δουλειά του Δημήτρη έχει πολλές διαφορές π.χ. υπάρχει κύλιση, το βάρος δεν παίζει σημαίνοντα ρόλο κλπ.
Όχι Άρη. Αν περιβάλλει το τόξο κύκλου τότε αίρεται η επαφή, δεν υπάρχει Ν και η x ταχύτητα παραμένει η ίδια.
Είναι απλή Γεωμετρία.
Ο Δημήτρης έλυσε το πρόβλημα “Μελετήσατε την κίνηση”. Είναι γενικότερο και δεν χρειάζεται να προηγηθεί του προβλήματος “Με ποια ταχύτητα και πάνω πρέπει να βληθεί ώστε να διατηρηθεί η x ταχύτητα;”
Η κύλιση δεν επηρεάζει το δεύτεο πρόβλημα διότι αίρεται η επαφή. Αν διατηρηθεί η x ταχύτητα τότε κατά την προσγείωση πάλι δεν ολισθαίνει.
Αναζητώ πάντα την συντομότερη λύση.
Σωστά είναι αυτά Διονύση.
Δεν πολυχρειάζονται. Βλέπεις από το σχήμα σου ότι αν η παραβολή περιβάλλει τον κύκλο, δεν υπάρχει επαφή. Αυτό δεν χρειάζεται αλγεβρική απόδειξη. Είναι θέμα απλής Γεωμετρίας.
Δεν είπα Γιάννη ότι χρειάζεται.
Το έδωσα σαν μια λύση που δεν εμπλέκει την ακτίνα καμπυλότητας, παρά μόνο την Γεωμετρία της σφαίρας.