by 
Μια ομογενής και συμπαγής σφαίρα 40 kg αφήνεται ακίνητη σε επαφή με το σημείο Α ημισφαιρίου που παρουσιάζει με τη σφαίρα συντελεστές τριβής 4/7.
Η σφαίρα κάποια στιγμή βρίσκεται σε επαφή με το κατώτερο σημείο Β του ημισφαιρίου.
Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι 10 m/s2.
- Ολισθαίνει η σφαίρα;
- Βρείτε την ταχύτητα του κέντρου της σφαίρας στην κατώτερη θέση.
- Βρείτε την κάθετη αντίδραση στην κατώτερη θέση.
- Βρείτε το πλήθος των περιστροφών της σφαίρας.
Καλημέρα Γιάννη στη καινούργια χρονιά
και ας το πάμε μήνα μήνα …καλό μήνα.
Το ‘πες και το ‘καμες, μετά τριβής για να κυλάει!
Πάντως συγχώρα μου την επανάληψη της εκ (παλαιόθεν) απορίας μου
διατυπωμένη ολίγον διαφορετικά…”γιατί δεν τονίζουμε ότι οι περιστροφές,
σε καμπύλες διαδρομές βρίσκονται με τη σχέση Ν=Scm/2πr όπου r του κυλιόμενου
ή έστω Ν=φ/2π όπου φ=Scm/r ”
Μου είχες πει τότε πως… “θέλει απόδειξη (νομίζω)” και βλέπω όντως εδώ μια απλή κι ωραία απόδειξη ξεκινώντας από την χαρακτηριστική της κύλισης υ=ωr για να φτάσεις στην φ=Scm/r… την οποία υ=ωr αποδεικνύουμε σχολικά στον ευθ/μο δρόμο έτσι υ=ds/dt=dφr/dt =ωr.
Προσπαθώ να δικαιολογήσω το ότι από παλιά χρησιμοποιούσα κατ’ευθείαν τη σχέση Ν=Scm/2πr όπως θα κάναμε και στον ευθ/μο δρόμο.
Kαλημερα Παντελή και καλή χρονιά.Γραφω και εγω την γνωμη μου στην ερωτηση σου. Η σχεση Ν=S/2πr οπου S το μηκος της τροχιας που διαγραφει το κεντρο του τροχου δεν ειναι προφανης,θελει αποδειξη και επισης ειναι δευτερευον συμπερασμα που δεν ειναι σημαντικο.Η σχεση Ν=S/2πr ειναι γεωμετρικα προφανης μονο οταν η επιφανεια πανω στην οποια γινεται η κυλιση ειναι επιπεδη οποτε τοτε το S ισουται με το μηκος νηματος που ξετυλιγεται απο την περιφερεια του τροχου καθως αυτος κυλιεται.Αν η επιφανεια καμπυλωθει τοτε σε αυτον τον αριθμο στροφων αρκει να προσθεσουμε αλγεβρικα τον αριθμο στροφων που οφειλονται στην καμπυλοτητα.Το οτι το τελικο αποτελεσμα τελικα ισουται με S/2πr οπου S το μηκος της τροχιας που διαγραφει το κεντρο του τροχου,ειναι ενα ανευ ιδιαιτερης σημασιας αποτελεσμα,ενας μαθηματικος θα το ονομαζε πορισμα,ουτε καν θεωρημα,απο το οποιο δεν πρεπει να ξεκινησουμε σε καμια περιπτωση για να λυσουμε την ασκηση.
Καλή χρονιά Κωνσταντίνε και σ’ευχαριστώ για την απάντηση
που είναι βέβαια γνωστή μου και από δική σου γραφή.
Έθεσα την απορία μου και σε σχέση και με την …σχέση υ=ωr από την οποία ξεκινά ο Κυρ εφαρμόζοντας την σε καμπύλη τροχιά …
Προσπαθώ την πολυπλοκότητα της ανάλυσης να περιορίσω και υπ’όψιν πως σκέφτομαι με βάση ότι το κυλιόμενο είναι ομογενές γιατί αλλιώς το Scm που γράφω πάει περίπατο
Ευχαριστώ Πρόδρομε.
Καλή Χρονιά.
Καλημέρα Παντελή και Καλή Χρονιά.
Παρέθεσα μια λύση που θα δείξει σε ένα μαθητή το γιατί ισχύει αυτό.
Το ότι δεν είναι προφανής φάνηκε από τους διαλόγους του 2020.
Καλημέρα Κωνσταντίνε.
Ευχαριστώ Γιάννη
θα υπακούσω αν χρειαστεί
Καλή χρονιά Γιάννη. Πολύ καλή, με το πρώτο ερώτημα να ξεχωρίζει για τη γεωμετρική του προσέγγιση και το τέταρτο για τους λόγους που μας ταλαιπώρησε …
Καλή Χρονιά Αποστόλη.
Είπα στον Παντελή ότι η άσκησή του μπορεί να γίνει βάρβαρη.
Ανέλαβα τον εκβαρβαρισμό.
Γιάννη, καλή χρονιά με ΥΓΕΙΑ.
Πολύ καλή για αυτά που αναδεικνύει (και με στοιχειώδη γεωμετρία, που όλοι οι «παλιοί» συμπαθούμε ιδιαίτερα).
Για το πολυσυζητημένο τελευταίο ερώτημα, με τις γνωστές αντιπαραθέσεις, αρκεί να πάρουμε έναν επίπεδο δρόμο και να τον καμπυλώσουμε προς τα πάνω ή προς τα κάτω για να φανεί ότι χάνει ή κερδίζει σε γωνία και σε περιστροφές. Αν μετράμε το τόξο του κέντρου νομίζω ότι απαιτείται απόδειξη.
Να είσαι καλά
Καλή Χρονιά Ντίνο.
Ευχαριστώ.
Καλημέρα Γιάννη και καλή χρονιά! Πολύ ωραία η παρουσίαση του θέματος ιδιαίτερα το α΄ερώτημα και και η αντιπαράθεση με την λανθασμένη λύση στο δ΄.
Μια άλλη προσέγγιση
Η ταχύτητα του κέντρου μάζας βρίσκεται
υcm = ωr, αλλά και
υcm = ΩR
Άρα ωr = ΩR
ω = R/r Ω
dθ = R/r dφ ή
θ = R/r φ
θ = 3,5/0,2 . π/3
θ = 35π/6 rad
Ευχαριστώ Ανδρέα.
Όταν είδα το θέμα του 2020 αυτή τη λύση έκανα.
Έγραψα εδώ την λύση που βλέπεις για να “εξουδετερωθεί” η λογική με το τόξο ολίσθησης. Την επιφάνεια που “βάφουμε” με το ρολό.
Καλημέρα Γιάννη και καλή χρονιά με υγεία.
Να πω και εγώ με τη σειρά μου ότι το θέμα είναι πολύ καλό για να ξεχωρίσει αρκετές έννοιες:
Τα υψάκια που χρησιμοποιούμε για το έργο του βάρους, την ακτίνα που χρειάζεται η κεντρομόλος δύναμη…. για να μην πούμε για το τελευταίο πολύπαθο ερώτημα που τόσος ντόρος έγινε…
Ωραιότατο ξεκαθάρισμα λοιπόν. Να είσαι καλά.
Καλημέρα Γιάννη και καλή χρονιά!
Πολύ ωραία άσκηση!
Σκέφτηκα ότι θα είχε ενδιαφέρον να υπολογιστεί η χρονική διάρκεια
καθεμιάς περιστροφής της σφαίρας μέχρι την κατώτερη θέση του ημισφαιρίου.
Αλλά και τον συνολικό χρόνο, την περίοδο της ταλάντωσης.
Φιλικά,
Θ.Π.