by 
Ένα σώμα αμελητέων διαστάσεων, αφήνεται να ολισθήσει κατά μήκος ενός λείου κεκλιμένου επιπέδου τη γωνία κλίσης θ του οποίου μπορούμε να μεταβάλλουμε.
Σε κάθε περίπτωση (για κάθε τιμή του μέτρου της γωνίας θ) η οριζόντια απόσταση που θα διανύσει το σώμα μέχρι να φθάσει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου είναι σταθερή και ίση με d, όπως στο σχήμα. Να προσδιορίσετε τη γωνία θ στην οποία το χρονικό διάστημα της καθόδου του σώματος μέχρι και τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου είναι το ελάχιστο.
Δίνεται ότι ημ(2φ) = 2ημφσυνφ.
Καλημέρα Μίλτο,
Όμορφη ιδέα.
Εναλλακτικά, αφού ζητάμε μόνο τη γωνία, μπορούμε να απαντήσουμε και ποιοτικά:
Η επιτάχυνση στη διεύθυνση του κεκλιμένου είναι α=g∙ημφ και μας ενδιαφέρει η μεγιστοποίηση της οριζόντιας συνιστώσας της, που είναι:
αx=α∙συνφ = α∙ημφ∙συνφ, κλπ.
Καλημέρα Διονύση και σ’ ευχαριστώ για το σχόλιο και για την εναλλακτική σου απάντηση (η οποία λύνει όμορφα και σύντομα το ερώτημα, αλλά δεν προσδιορίζει τον ελάχιστο αυτό χρόνο – κάτι που δεν ζητούσε βέβαια η άσκηση!).
Εξαιρετικό πρόβλημα και αρκετά απλό ώστε να είναι επιλύσιμο απο έναν μαθητή της Α Λυκείου. Χωρίς την τριγωνομετρική ταυτότητα νομίζω ότι η παραγώγιση της ημθ*συνθ είναι αναπόφευκτη (ή όπως γράφεται). Καλή Συνέχεια!
Χρόνια Πολλά σε όλους!
Καλημέρα Βασίλη, εναλλακτικά,
για το μέγιστο της παράστασης ημθσυνθ
μόνο με μαθηματικά μέχρι Α´ Λυκείου:
Καλημέρα παιδιά και Χρόνια Πολλά.
Άλλη μία με γνώσεις μικρής τάξης:
Οι όροι ημ^2φ και συν^2φ έχουν σταθερό άθροισμα.
Το γινόμενό τους είναι μέγιστο όταν είναι ίσοι.
ημφ=συνφ=>x=y.
Άρα ισοσκελές τρίγωνο και γωνία 45 μοίρες.
Καλημέρα και σε εσάς κ. Πολίτη και σε εσάς κ. Κυριακόπουλε. Σας ευχαριστώ πολύ αν και πιστεύω ότι για την ημθ*συνθ είναι πιο απλό να παραγωγίσουμε. Καλή Συνέχεια και Χρόνια Πολλά!
Είναι πιο απλό όμως τα παιδιά της Υγείας δεν θα μάθουν ποτέ παραγώγους.
Τα παιδιά της Α΄ και Β΄ τάξης δεν ξέρουν παραγώγους,
Έτσι μέρος της δουλειάς μας είναι να μετασχηματίζουμε λύσεις σε άλλες προσιτές σε παιδιά. Παράδειγμα το θεώρημα μέγιστης ισχύος.
Είναι πολύ εύκολο να παραγωγίσεις. Σκέφτεσαι όμως:
-Υπάρχει λύση προσιτή σε παιδιά της Β΄ Λυκείου;
Αν δεν κάνεις τέτοια θα καταλήξεις να λες:
-Αποδεικνύεται με ανώτερα Μαθηματικά ότι…..
Κάποτε είχε πέσει σε Εξετάσεις για προσλήψεις στο Δημόσιο ένα θέμα που μου αρέσει πολύ. Το τραίνο και η γάτα.
Οι οδηγίες έγραφαν ότι κάθε Αλγεβρική λύση θα μηδενιστεί. Έπρεπε επομένως να επινοήσει κάποιος λύση με Πρακτική Αριθμητική.
Αυτό είναι πιο δύσκολο από το να λύσεις ένα σύστημα 3 εξισώσεων με τρεις αγνώστους.
Kαλημερα Γιαννη. Καποτε εκανα μαθηματικα σε ενα παιδι Α’ Λυκειου,απουσιολογος,πολυ καλος.Ειχε μια μικρη αδερφουλα Δημοτικο.Στο τελος του μαθηματος πριν φυγω ,η μαμα μου ειπε να ριξω μια ματια σε ενα προβλημα που ειχαν βαλει στην μικρη για την επομενη μερα στο σχολειο. Δεν ειχα ιδεα με ΄ποια μεθοδο να της το εξηγησω.Με αλγεβρα βεβαιως ηταν απλουστατο.Επρεπε να δω το βιβλιο της και πως τα κανουνε.Δεν μπορουσα να απαντησω αμεσως.Επειδη βιαζομουνα ειπα στην μαμα οτι θα παω σπιτι θα κοιταξω το βιβλιο της και θα την παρω τηλεφωνο λιγο αργοτερα.Οποτε οταν εφυγα η μαμα σκεφτηκε… Ωραιος καθηγητης ειναι αυτος που δεν μπορει να λυσει ενα προβλημα Δημοτικου!
Γενικά Κωνσταντίνε αυτό είναι δύσκολο.
Άλλο να κυνηγάς με τόξο και άλλο με εξελιγμένη καραμπίνα.
Πολύ σωστά κ. Κυριακόπουλε. Υπάρχουν πολλοί αξιόλογοι τρόποι, χωρίς να χρησιμοποιήσουμε ανώτερα μαθηματικά, να λύσουμε μια άσκηση. Δεν σημαίνει ότι επειδή κατέχουμε έναν πιο εξελιγμένο τρόπο, οι υπόλοιποι που κάνουμε κατα την διάρκεια της φοίτησής μας στο σχολείο είναι μπακάλικοι. Μάλιστα ο Λογισμός θεμελιώθηκε απο τον Νέυτωνα (και τον Leibniz) απο την ανάγκη επίλυσης προβλημάτων που δεν μπορούσαν να λυθούν με τα εως τότε στοιχειώδη μαθηματικά. Για τον λόγο αυτό έχουν την ανάλογη πολυπλοκότητα και είναι προτιμότερο να μην χρησιμοποιούνται σε προβλήματα που μπορούν να λυθούν με πιο εύκολους τρόπους. Δεν χρειάζεται για ένα πρόβλημα που απαιτεί έναν πολύ ελαφρύ νόμο του Νέυτωνα, να πάρουμε την Λαγκρανζιανη και την Χαμιλτονιακή μηχανική, ούτε για ένα πρόβλημα σαν το εν λόγω να πάρουμε παραγώγους (παρόλο που βγαίνει πιο εύκολα αν δεν μας δίνεται η ταυτότητα). Αυτά απο μένα, καλή συνέχεια!
Αυτό με την μέγιστη ισχύ ανήκει στην κατηγορία που μπορούμε να παίξουμε με διακρίνουσα. Όταν μπορούμε να κάνουμε κάτι παρόμοιο πρέπει να ξεχάσουμε απολύτως τα πάντα. Ούτε τιμές ούτε τίποτα, κατευθείαν μέγιστο ή ελάχιστο
Το ωραίο όμως είναι να βρεις λύση συντομότερη από αυτήν με τη διακρίνουσα.
Χωρίς παράγωγο.
Η μέθοδος με τη διακρίνουσα είναι πλέον τυποποιημένη.
Όπως και αυτή με την παράγωγο.
Καλησπέρα Γιάννη.
Αφού έβαλες το πρόβλημα . . .! 🙂
Κοντά στις 4 όμορφες αποδείξεις σου εδώ: Μέγιστη ισχύς σε αντίσταση. Μία ακόμη απόδειξη:
Όμορφη Θρασύβουλε.
Σκέφτηκα την πρώτη από τις αποδείξεις.
Σταθερό άθροισμα=> μέγιστο γινόμενο όταν είναι ίσοι οι δύο όροι.
Έχει κάτι από Γεωμετρία.