by 
Το αριστερό έμβολο έχει διατομή 100 cm2 και το δεξί 500 cm2. Ο σωλήνας σύνδεσης έχει διατομή 1 cm2.
Ασκούμε στο αριστερό έμβολο σταθερή δύναμη 20 Ν.
Ποιες είναι οι τελικές ταχύτητες των εμβόλων;
Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα, είναι καλό για όλους…
Kαλησπερα Γιάννη. Η πρωτη προταση της απαντησης ειναι προφανης?Πως την δικαιολογουμε?
Πολύ καλή Γιάννη. Το μπερνουλίζειν θέλει προσοχή.
Ευχαριστώ Αποστόλη.
Κωνσταντίνε λίγο δύσκολα στήνεται δικαιολόγηση.
Αρχικά υπάρχει για ελάχιστο χρονικό διάστημα μια επιτάχυνση.
Αυτή μηδενίζεται σε ελάχιστο χρονικό διάστημα. Φυσικά με αυτές τις διατομές.
Αν λ.χ. οι τρεις διατομές ήταν ίσες, τότε το υγρό θα εκινείται με σταθερή επιτάχυνση.
Τώρα όμως μάζα νερού μπαίνει με μεγάλη ταχύτητα και επομένως μεγάλη κινητική ενέργεια. Ενέργεια που δεν μπορεί να αυξάνεται επ’ άπειρον.
Πολύ πιο εύκολο είναι το αντίστροφο πρόβλημα:
-Ποια δύναμη πρέπει να ασκούμε ώστε το νερό να εισέρχεται με σταθερή ταχύτητα ίση με 2m/s ;
Τότε, ακολουθώντας την ίδια ακριβώς πορεία, καταλήγουμε στον ίδιο τύπο όμως υπολογίζουμε την δύναμη (20 Ν).
Φαίνεται ότι υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ των επιθυμητών ταχυτήτων και των δυνάμεων που τις προκαλούν. Όταν υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία καταλαβαίνουμε ότι όπως μια σταθερή ταχύτητα 2 m/s απαιτεί δύναμη 20 Ν, έτσι και μια δύναμη 20 Ν θα προκαλούσε ταχύτητα 2 m/s.
Καλησπέρα σε όλους.
Γιάννη κάτι δεν μου “κολλάει” στο πρόβλημα. Σε κάποια στοιχειώδη μετακίνηση των εμβόλων αν αυτά κινούνται με σταθερές ταχύτητες η κινητική ενέργεια του συστήματος (έμβολα, ρευστό) μειώνεται, ενώ προσφέρεται ενέργεια μέσω του έργου της F. Αδύνατο!!
Εκτός αν κάτι δεν κατάλαβα καλά…
Εδω προφανως θεωρεις οτι η ταχυτητα στο σωληνακι ειναι πολυ μεγαλυτερη απο τις ταχυτητες στους μεγαλους σωληνες.Ομως οταν μια στοιχειωδης μαζα εισερχεται στο σωληνακι και αποκτα κινητικη ενεργεια dK,ταυτοχρονα μια αλλη στοιχειωδης μαζα περναει απο το σωληνακι στον δεξιο σωληνα και χανει κινητικη ενεργεια.Aρα πως ισχυει Fdx=dK? Eχω μπερδευτει λιγο.
Αυτό το “παράδοξο” Σπύρο το είχα και εγώ απορία πριαν από χρόνια.
Το λάθος που έκανα τότε ήταν ότι θεώρησα ότι το νερό κινείται “εν σώματι” και στα δύο δοχεία. Αυτό δεν συμβαίνει στο δεξί δοχείο. Το νερό κοντά στο έμβολο κινείται με την μικρότατη ταχύτητα των 0,004m/s. Το νερό όμως που εισβάλει κινείται με ταχύτητα 2 m/s. Το νερό αυτό έχει μια “ανοργάνωτη” κινητική ενέργεια. Αν θεωρήσουμε ότι απουσιάζει κάθε ιξωδες, τότε θα έχουμε ρεύματα νερού σε νερό εσαεί. Συνεχώς εισβάλλει τέτοιο νερό.
Για να μην δεχτώ ερώτηση του τύπου “Το νερό που εισβάλλει δεν συγκρούεται με το έμβολο;” έκανα τον σωλήνα να μη σημαδεύει δεξιά αλλά πάνω.
Σκέψου και πρακτικά:
Αν με σωληνάκι ενώσεις δύο σύριγγες δεν θα πρέπει να βάζεις δύναμη για να σπρώχνεις το έμβολο;
Το ιξώδες δεν μπορεί να εξηγήσει τέτοια δύναμη διότι με μεγαλούτσικες διατομές και κοντό σωλήνα σύνδεσης η δράση του είναι αμελητέα για το νερό.
Η δύναμη αυτή εξηγείται από την συνσχή αύξηση της κινητικής ενέργειας. Μιας ανοργάνωτης κινητικής ενέργειας.
Δεν χάνει κινητική ενέργεια αν το υγρό είναι ιδανικό.
Ακόμα και στην περίπτωση του νερού η απώλεια είναι μικρότατη.
Το ειβάλλον νερό συνεχίζει να κινείται με ταχύτητα πολυ κοντά (νερό) σ’ αυτήν που είχε μπάινοντας, ή ακριβώς αυτήν (ιδανικό υγρό).
Συνεχίζω το βράδυ….
Μαλλον καταλαβα απο την απαντηση που εδωσες στον Σπυρο. Προφανως αυτα που κανεις ειναι σωστα.Ομως υπαρχουν βηματα στην ασκηση που δεν ειναι τελειως προφανη και δημιουργουν καποιες αποριες.
Γιάννη στον πραγματικό κόσμο δεν υπάρχει κανένα παράδοξο. Έτσι είναι τα πράγματα. Ιξώδες τριβές στα έμβολα κ.λ.π. Όμως στο επίπεδο της μελέτης του Λυκείου (και όχι μόνο) νομίζω είναι απαγορευτική μια τέτοια συζήτηση. Επίσης το να αποδώσουμε την λύση του παράδοξου σε αύξηση της κινητικής ενέργειας στο δεξιό δοχείο σύντομα θα φτάσουμε σε άλλο παράδοξο όπου ρεύματα νερού θα κινούνται με εξωπραγματικές ταχύτητες. Με κάθε επιφύλαξη…
Καλό απόγευμα
Καλησπέρα Γιάννη, καλησπέρα σε όλους.
Γιάννη, άλλο ένα παράδειγμα “προβληματικού” Bernoulli!!!
Σπύρο, το ζήτημα της ενέργειας που θέτεις, δεν συναντάται μόνο εδώ. Ας δούμε το σχήμα όπου γεμίζουμε με νερό ένα δοχείο από μια δεξαμενή.
Το νερό κατά την μεταφορά του αυξάνει την κινητική του ενέργεια αφού ξεκινά από ηρεμία και καταλήγει στο δοχείο με κάποια ταχύτητα εκροής.
Αυτή η κινητική ενέργεια δεν εμφανίζεται πουθενά, διαχέεται σαν μια “άτακτη” κίνηση, μια συνεχή κίνηση ρευμάτων στο δοχείο.
Γεια σου Διονύση.
Σπύρο δεν θα συμφωνήσω.
Δεν θα φτάσουμε σε παράδοξα με εξωπραγματικές ταχύτητες.
Αυτές είναι 2m/s στον σωλήνα και κάποια χιλιοστά το δευτερόλεπτο τα έμβολα. Εντελώς ρεαλιστικές καταστάσεις.
Ας πάρουμε και την περίπτωση του νερού με ιξωδες:
Πόσο θα βγει η πτώση πίεσης με ταχύτητα 2m/s ;
Μερικά Pα ;
Η προσεγγιση επομένως είναι πάρα πολύ καλή.
Καλησπέρα σε όλους. Διονύση έχει ξανασυζητηθεί το θέμα και το θυμάμαι. Έχω την αίσθηση όμως ότι δεν πρόκειται για ίδια περίπτωση με αυτή που αναφέρεις αφού σε αυτή την περίπτωση το νερό που χύνεται δεν επηρεάζει τη ροή μέχρι την έξοδο και δεν ασχολούμαστε με αυτό. Στην άσκηση του Γιάννη όμως νομίζω ότι δεν ισχύει το ίδιο.
Η λύση που δίνει ο Γιάννης είναι η ίδια που θα δίναμε και στην περίπτωση που έλειπε το αριστερό δοχείο και το υγρό χυνόταν απλώς από το σωληνάκι στο περιβάλλον. Δηλαδή η ύπαρξη του αριστερού δοχείου δεν επηρεάζει τη λύση;