by 
Υποθέσατε ότι δύο ελαστικές μπάλες κινούμενες στον τρισδιάστατο χώρο συγκρούονται και ανακρούονται.
Φυσικά διατηρούνται και η ορμή και η κινητική ενέργεια του συστήματος.
Οι μπάλες δίνουν σκιές σε κάποιο επίπεδο. Οι σκιές φαίνεται να συγκρούονται και αυτές.
Αν υποθέσουμε ότι οι σκιές έχουν μάζες ανάλογες των μαζών των σφαιρών, τότε για το σύστημά τους σε κάθε περίπτωση:
- Διατηρείται η κινητική ενέργεια.
- Διατηρείται η ορμή.
- Διατηρούνται η ορμή και η κινητική ενέργεια.
- Δεν διατηρείται ούτε η ορμή, ούτε η κινητική ενέργεια.
Βεβαίως Γιάννη, με το επίπεδο όπου κινούνται οι σκιές.
Πολύ ωραίο Μπάμπη!
Λες αυτό που δείχνει η προσομοίωση:
Για όσους δεν έχουν το i.p.:
Οι προβολές είναι κολλημένες και ξαφνικά κινούνται αντίθετα.
Απάντηση για την ορμή έδωσε ο Άρης:
“Αν P1 και P2 είναι η ολική ορμή του συστήματος των σφαιρών πριν και μετά την κρούση τα διανύσματα αυτά είναι συγγραμμικά, ίδιας φοράς και ίσου μέτρου άρα οι προβολές τους στο επίπεδο θα έχουν μέτρα p1=P1συνφ και p2= P2συνφ ίσα μεταξύ τους θα ανήκουν στην ίδια ευθεία και θα έχουν την ίδια φορά.”
Η απάντηση του Επστάιν για την ενέργεια είναι η αντίστροφη αυτής του Μπάμπη:
Απάντηση λιγότερο έξυπνη, με περισσότερη Στερεομετρία:
Αυτό είναι παράδειγμα!!!
Μια εικόνα χίλιες λέξεις και τι λέξεις; Αποστομωτικές….
Ο άνθρωπος δεν παίζεται!
Το βιβλίο του Thinking Physics είναι εκπληκτικό.
Εκπληκτικό και το Relativity Visualized.
Δες πως παρουσιάζει την αύξηση της μάζας με την ταχύτητα:
Μόλις διασταυρώνονται δίνει μια γροθια ο ένας στο γάντι του άλλου:
(Εκδόσεις Κάτοπτρο, Μετάφραση Αλέκος Μάμαλης, εικονογράφηση Γιώργος Καραμέτος)
Ο Φίλλιπος προβλέπει ότι θα νικήσει τον αργοκίνητο Ναθαναήλ του οποίου η γροθιά κινείται με μικρή ταχύτητα μια και ο χρόνος τρέχει αργά για τον Ναθαναήλ.
Ακριβώς τα αντίστροφα προβλέπει ο Ναθαναήλ.
Εμείς όμως βλέπουμε ισοδυναμία.
Αν έκαναν οι δύο δίδυμοι σωστές προβλέπεψεις έπρεπε να προβλέψουν ισοδυναμία. Πως όμως γίνεται αυτό;
Ο Φίλιππος έπρεπε να σκεφτεί ότι η γροθιά του Ναθαναήλ είναι μεν αργοκίνητη, όμως έχει μεγαλύτερη μάζα λόγω κίνησης.
Ο Ναθαναήλ το ίδιο έπρεπε να σκεφτεί.
Επίσης η σχέση μαζών πρέπει να έχει ομοιότητες με αυτή των χρόνων!!
Kαλησπερα Γιαννη. Πολυ ωραιο προβλημα δεν το ειχα υπ οψιν μου. Μια καπως πιο τεχνικη αλλα κομψη αποδειξη της διατηρησεως των ορμων των σκιων ειναι η εξης;
H προβολη Π ενος διανυσματος ως γνωστον απο την γραμμικη αλγεβρα ειναι γραμμικη απεικονιση.Γραμμικη απεικονιση σημαινει
α). Π(v+u)=Π(v)+Π(u)
β). Π(λv)=λΠ(v)
για καθε διανυσμα u,v και για καθε βαθμωτο λ.
1.Αρα λογω της ιδιοτητας α) της γραμμικοτητας η προβολη του αθροισματος των ορμων ισουται με το αθροισμα των προβολων των ορμων
2.Ειναι προφανες οτι η προβολη της ορμης της μπαλας και η ορμη της σκιας της μπαλας ταυτιζονται.
3.Αρα λογω του 2.η προβολη του αθροισματος των ορμων ισουται με το αθροισμα των ορμων των σκιων.
4.Ομως το αθροισμα των ορμων πριν την κρουση ισουται με το αθροισμα των ορμων μετα την κρουση.
5.Αρα η προβολη του αθροισματος των ορμων πριν την κρουση ισουται με την προβολη του αθροισματος των ορμων μετα την κρουση. (γιατι?)
6.Αρα λογω του 3. το αθροισμα των ορμων των σκιων πριν την κρουση ισουται με το αθροισμα των ορμων των σκιων μετα την κρουση. (ΟΕΔ)
Αυτη ειναι μια διατυπωση οπως θα την βλεπαμε σε καποιο βιβλιο μαθηματικων.
Και λιγες σημειωσεις απο το ΜΙΤ.
https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/cc829145eee5220b2024424bcb14c263_MIT18_06SCF11_Ses3.6sum.pdf
Ευχαριστώ Κωνσταντίνε.
Και κατι ακομα.Δεν συμφωνω με την αποδειξη του Αρη.(Γεια σου Αρη).Εχεις αποδειξει οτι οι προβολες δυο ισων διανυσματων ειναι ισα διανυσματα κατι το οποιο ειναι τελειως προφανες διοτι η προβολη ειναι συναρτηση η αλλοιως μονοτιμη απεικονιση. Πρεπει να αποδειξεις οτι το αθροισμα των προβολων των ορμων πριν την κρουση ισουται με το αθροισμα των προβολων των ορμων μετα την κρουση που ειναι και το ζητουμενο.
Εκανα μια διορθωση στην διατυπωση του βηματος 3.της αποδειξης.
H προβολη Π ενος διανυσματος ως γνωστον απο την γραμμικη αλγεβρα ειναι γραμμικη απεικονιση.Γραμμικη απεικονιση σημαινει
α). Π(v+u)=Π(v)+Π(u)
β). Π(λv)=λΠ(v)
για καθε διανυσμα u,v και για καθε βαθμωτο λ.
1.Αρα λογω της ιδιοτητας α) της γραμμικοτητας η προβολη του αθροισματος των ορμων ισουται με το αθροισμα των προβολων των ορμων
2.Ειναι προφανες οτι η προβολη της ορμης της μπαλας και η ορμη της σκιας της μπαλας ταυτιζονται.
3.Αρα λογω του 2.το αθροισμα των προβολων των ορμων ισουται με το αθροισμα των ορμων των σκιων.
4.Ομως το αθροισμα των ορμων πριν την κρουση ισουται με το αθροισμα των ορμων μετα την κρουση.
5.Αρα η προβολη του αθροισματος των ορμων πριν την κρουση ισουται με την προβολη του αθροισματος των ορμων μετα την κρουση. (γιατι?)
6Αρα λογω των 1.και 3. το αθροισμα των ορμων των σκιων πριν την κρουση ισουται με το αθροισμα των ορμων των σκιων μετα την κρουση. (ΟΕΔ)
Αυτη ειναι μια διατυπωση οπως θα την βλεπαμε σε καποιο βιβλιο μαθηματικων.
Και λιγες σημειωσεις απο το ΜΙΤ.
https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/cc829145eee5220b2024424bcb14c263_MIT18_06SCF11_Ses3.6sum.pdf
Κατα την γνωμη μου Γιαννη η αποδειξη της διατηρησεως της ορμης των σκιων ειναι μαλλον δυσκολοτερη απο την αποδειξη της μη διατηρησεως της ενεργειας η οποια γινεται με ενα αντιπαραδειγμα.Ο Επσταιν για τις ορμες τι γραφει? Πρεπει υποχρεωτικα να γραφει κατι διοτι εχει και το ενδεχομενο 4 ως πιθανο το οποιο πρεπει να το απορριψει. “4.Δεν διατηρείται ούτε η ορμή, ούτε η κινητική ενέργεια.” Χωρις την αποδειξη για τις ορμες δεν μπορουμε να επιλεξουμε το ενδεχομενο 2.
Σε ολα τα συγχρονα βιβλια Μαθηματικων,οι λεξεις “Απεικονιση,Μετασχηματισμος,Συναρτηση” σημαινουν το ιδιο πραγμα.
Καλημέρα Γιάννη.Ευχαριστώ για την υπόδειξη. Σήμερα που είδα το σχήμα του Επσταιν κατάλαβα ποιο επίπεδο εννοούσες.Αλλά με την υπόδειξή σου (περι γωνιών) το σκέφτηκα καλύτερα και είδα ότι απόδειξη παρόμοια με του Θρασύβουλου δεν στέκει επειδή τα διανύσματα θέσης και ταχύτητας δεν είναι συγγραμμικά με την διάκεντρο.
Όσον αφορά τις ορμές νομίζω ότι ο Κωνσταντίνος δίνει μια πλήρη εξήγηση.
Καλημέρα Κωνσταντίνε.
Γράφει αυτό με την προβολή που εγραψε ο Άρης.. Σε λίγο θα ανεβάσω εικόνα.
Η απάντηση του Επστάιν για την ορμή: