by 
Στο Θέμα Γ΄ των Πανελλαδικών Εξετάσεων 2023, ζητάμε 3 ρυθμούς μεταβολής:
Ένας με «Δέλτα», δύο με «Ντε».
Διορθώνοντας γραπτά μαθητών Υγείας, παρατήρησα μεγάλη αποτυχία σε αυτό το θέμα.
Είναι ίδια η γνώση όμως των μαθητών Υγείας με τους μαθητές Θετικών, στα Μαθηματικά;
Μήπως οι ρυθμοί έχουν γίνει κατανοητοί σε προηγούμενες τάξεις και δεν υπάρχει δικαιολογία;
Καλησπέρα Ανδρέα. Θα ήθελα στη συζήτηση που προηγήθηκε να συνεισφέρω και τη δική μου άποψη . Ο Leibniz ορίζει τον τελεστή διαφοράς Δ και τον τελεστή διαφόρησης d. Ο τελεστής d αντιστοιχίζει μια απείρως μικρή μεταβλητή dx [διαφορικό] σε μια πεπερασμένη μεταβλητή x. Έστω πχ η συνάρτηση v=1/x και θέλουμε να υπολογίσουμε τη Δv από χ=1 έως χ= 3 δηλαδή για Δχ=2 , Δv=f( x+ Δx) -f(x)=1/3-1/1=-2/3 . Επομένως για Δχ=2 Δv=-2/3 =-0.666666667. Με τη βοήθεια της παράγωγου dv=f'(x) dx με τα ίδια δεδομένα προκύπτει dv=-1.2=-2 δηλαδή έχουμε σημαντική απόκλιση από την πραγματική διαφορά Δv . Ξανά από χ=1 έως χ=1,001 δηλαδή για Δχ= 0.001, Δv=1/1.001 -1/1 = -0.000999001, αλλά αν δουλέψουμε με την παράγωγο dv=-1.0.001=-0.001. Η σχέση με την παράγωγο δίνει τώρα αποτελέσματα που προσεγγίζουν καλυτέρα την τωρινή πραγματική διαφορά Δv. Για χ πολύ κοντά στο 0 μπορεί η παράγωγος να είναι πχ ίση με μια δύναμη του 10 με εκθέτη ν=200 δηλαδή πολύ μεγάλη , ενώ αν το dx είναι ίσο με μια δύναμη του 10 με εκθέτη ν=-300 ,το dψ θα προκύψει ίσο με μια δύναμη του 10 με έκθετη ν=-100 . Τόσο το dx όσο και το dψ είναι εξαιρετικά μικρά. To συμπέρασμα ειναι ότι στη σχέση dv=f'(x) dx τα dv και dx ειναι απειρoστά [απειροστικός λογισμός ] . Έστω η συνάρτηση ψ=αχ+β τότε Δψ=αΔχ επομένως θα ισχύει και dψ=αdx. Δεν ειναι Δχ=dχ ούτε Δψ=dψ αλλά Δψ/Δχ=dψ/dx. Άλλωστε το Δ ειναι τελεστής διαφοράς και το d ειναι τελεστής διαφόρησης.
Καλησπερα.O Leibniz οντως θεωρουσε τις ποσοτητες dx .dy απειροστες.Απο τοτε εχουν περασει πανω απο τρεις αιωνες και στα συγχρονα μαθηματικα οι ποσοτητες αυτες εχουν αλλο νοημα. Σε ολα τα συγχρονα πανεπιστημιακα συγγραματα ειναι πεπερασμενες ποσοτητες οχι απειροστες. To συμπέρασμα σας ότι στη σχέση dv=f'(x) dx τα dv και dx ειναι απειρoστά,ειναι λαθος.Το οτι οταν το dx ειναι πολυ μικρο,τοτε το dv ειναι πολυ κοντα στο Δv,ειναι σωστο αλλα ασχετο με αυτο που συζηταμε.
Καλησπέρα. Οι σκέψεις σας ειναι σεβαστές, εγώ περιορίστηκα σε κάτι που σχετίζεται μόνο με τη διδασκαλία της φυσικής, αλλά οφείλω κάποιες διευκρινίσεις .Συμφωνώ ότι κανένα Δχ η Δψ δεν ειναι απειροστό όσο μικρό και να ειναι σύμφωνα με τον ορισμό του Leibniz ,αφού βάζει τη φράση άπειρα μικρό . Τα σύμβολα dx και dψ παριστάνουν κατά Leibniz απειροστά αφού συνδέονται με την ακριβή τιμή της παραγώγου όπως αυτή οριακά προκύπτει. Αυτό φαίνεται προσεγγιστικά παίζοντας με τα νούμερα όπως έκανα προηγουμένως. Το ίδιο σύμβολο dx κατά Leibniz παριστάνει απειροστό στην διαδικασία ολοκλήρωσης .
Καλησπέρα Σταύρο (εκ παραδρομής σε έγραψα στο αρχικό σχόλιο Κώστα). Σε ευχαριστώ για την παρέμβαση. Δεν είναι καθόλου “άσχετη με τη συζήτηση”, η οποία αφορά τη σύγχυση, που προκαλούν στους μαθητές τα σχολικά βιβλία από την χρήση άλλοτε του Δ και άλλοτε του d. Εκφράσεις τέτοιες είναι λίγο υποτιμητικές για συναδέλφους που αφιερώνουν χρόνο για να συνεισφέρουν σε μια συζήτηση την άποψή τους.
Μου έδωσες μάλιστα και μια ιδέα:
Δεν ξέρω αν συμφωνείς.
Ανδρεα και Σταυρο μια συζητηση ξεκιναει απο καπου και εξελισεται, Εγω ενεπλακην μονο για να εξηγησω οτι στην εκφραση dy=f'(x)dx τα dy,dx δεν ειναι απειροστα. Δεν εχει νοημα να λεμε συνεχεια οτι οταν το Δx τεινει στο μηδεν τοτε το Δy τεινει στο dy.Σωστο ειναι,αλλα το ειπαμε το ξαναειπαμε ειναι γραμμενο σχεδον στα μισα σχολια της αναρτησης,αλλα τελικα ειναι ασχετο με το σημειο της διαφωνιας.
Ο Κυριακοπουλος σε ενα σχολιο του εδω πιο πανω κανει εναν υπολογισμο πανω στην συναρτηση y=x^2 και τα νουμερα του ειναι
dy=12,dx=3 και f'(2)=dy/dx=12/3=4. Eιναι αυτα απειροστα?
Επισης βλεπω στο σχολιο του Σταυρου να γραφει οτι στη συνάρτηση ψ=αχ+β δεν ειναι Δχ=dχ ούτε Δψ=dψ.Αυτο φυσικα ειναι λαθος.Στην γραμμικη συναρτηση ψ=αx+β παντα ειναι Δx=dx και Δψ=dψ.
Καλημέρα Ανδρέα η πρόταση σου έχει μεγάλο ενδιαφέρον αλλά θέλω λίγο χρόνο για να την μελετήσω.
Καλησπέρα Κωνσταντίνε. Η συνάρτηση f λέγεται απειροστό σε μια περιοχή π[ξ,ε] αν ορf(x)=0 όταν x–.> ξ πχ η συνάρτηση f(x) =ημχ ειναι απειροστό στην περιοχή του μηδενός αφού ορ ημχ=0 αν χ—>0 . ΘΕΩΡΗΜΑ . Aν μια συνάρτηση f έχει όριο του χ–>ξ τον αριθμό λ τότε η f μπορεί να τεθεί ως f(x)=λ+α(χ) όπου α(χ) απειροστό στην περιοχή του ξ. Έστω ψ=f(x) συνάρτηση συνεχής και παραγωγίσιμη σε μια περιοχή του χ . Η μεταβολή Δψ της συνάρτησης που αντιστοιχεί σε μια μεταβολή Δχ της ανεξάρτητης μεταβλητής εξαρτάται από το σημείο χ και τη μεταβολή Δχ . Αν ορ(Δχ)=0 ορ Δψ/Δχ=f'(x) και επειδή τα Δψ ,Δχ ειναι απειροστά σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα ειναι Δψ/Δχ =f'(χ)+ε(Δχ) επομένως Δψ=f'(x)Δχ+ε(Δχ).Δχ . Η συνάρτηση ψ=f(x) που η μεταβολή της παίρνει την προηγουμένη μορφή λέγεται διαφορίσιμη σε μια περιοχή του χ . Επειδή το ε(Δχ)Δχ ειναι απειροστό ανώτερας τάξης το f'(χ).Δχ ειναι το πρωτεύον μέρος του απειροστού Δψ σε σχέση προς το Δχ δηλαδή απειροστό ισοδύναμο προς το Δψ. Στην περιοχή αυτή ο παράγοντας f'(x)Δχ , ορΔχ=0 καλείται διαφορικό και συμβολίζεται με το dψ=f'(x)Δχ .Παρόμοια για τη γραμμική συνάρτηση ψ=χ έχουμε dψ = f'(x)Δχ= x’Δx=Δχ , ορ Δχ=ο το Δχ καθίσταται διαφορικό της ψ και συμβολίζεται με το dx . Για όλες τις διαφορίσιμες συναρτήσεις χρησιμοποιούμε για να βρούμε τα διαφορικά τους τη μεταβολή Δχ την οποία πήραμε από την συνάρτηση ψ=χ επομένως dψ=f'(x) dx. Tο να εργαζόμαστε με τα διαφορικά dx και dψ αντί των διαφορών Δχ και Δψ σημαίνει ότι αντικαθιστούμε μια καμπύλη σε μια περιοχή ενός σημείου της με την εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείο αυτό. Αυτό νομίζω έχει ενδιαφέρον στο λύκειο για τη διαφορά Δ και d. Αυτή ειναι η δική μου θεώρηση σε περίληψη από το πανεπιστιμιακό μου βιβλίο την παραθέτω, αν θέλεις γράψε περιληπτικά από τις πηγές σου την δική σου θεώρηση.
Καλημέρα Ανδρέα συμφωνώ με τον συλλογισμό σου και κάνω μια πρόταση ερμηνείας . Τα Δψ,Δχ αφορούν την καμπύλη και τα dx,dψ αφορούν την ευθεία που εφάπτεται της καμπύλης στο σημείο της Π με συντεταμένες [χ,ψ] της οποίας η εξίσωση ειναι dψ =f'(x).dχ (1) . Μπορούμε βάζοντας στη (1) dx=Δχ να βρούμε το dψ=f'(x)Δχ σαν προσέγγιση του Δψ , η προσέγγιση αυτή ειναι καλύτερη όσο το Δχ λαμβάνεται ολοένα και μικρότερο δηλαδή αν Δχ–>0 τότε Δψ-dψ—>0. Στις προσεγγίσεις αυτές τα dx και τα dψ δεν ειναι απειροστά με την κυριολεκτική σημασία του όρου .Η σχέση Δψ=f'(x)dx+ε(Δχ)Δχ που μπορεί να αποδειχθεί , με λιγότερη ακρίβεια γράφεται Δψ=f'(χ)Δχ+ εΔχ , Δψ=dψ +εΔχ ,Δψ-dψ=εΔχ. Στη θεώρηση αυτή αρχή των αξόνων ειναι το σημείο Π.