by 
Στο Θέμα Γ΄ των Πανελλαδικών Εξετάσεων 2023, ζητάμε 3 ρυθμούς μεταβολής:
Ένας με «Δέλτα», δύο με «Ντε».
Διορθώνοντας γραπτά μαθητών Υγείας, παρατήρησα μεγάλη αποτυχία σε αυτό το θέμα.
Είναι ίδια η γνώση όμως των μαθητών Υγείας με τους μαθητές Θετικών, στα Μαθηματικά;
Μήπως οι ρυθμοί έχουν γίνει κατανοητοί σε προηγούμενες τάξεις και δεν υπάρχει δικαιολογία;
Ε ναι, εγώ τί είπα;
Γράφω:
Η τιμή του διαφορικού παριστάνεται από την αγκύλη.
Όμως αυτά δεν είναι αυτά που θα πεις σε ένα παιδί 15 χρονών.
Μπορείς να του πεις ότι όσο μικραίνει το Δx τόσο μικραίνει η διαφορά μεταξύ εστιγμένης εφαπτομένης και μπλε καπύλης.
Και αυτά όχι στην αρχή. Τα Μαθηματικά έπονται της ιδέας.
Η προσέγγιση με το i.p και η γεωμετρική προσέγγιση αν η τροχιά είναι καπυλόγραμμη πρέπει (κατά τη γνώμη μου) να προηγηθούν.
Ναι Γιάννη αυτο ακριβως ειπες το καταλαβα απο την αρχη αφου ειδα και τον υπολογισμο που εχεις κανει και το βρηκες ισο με 12. Αλλο θελω να τονισω οτι το διαφορικο dy ειναι το ιδιο για ολους και για φυσικους και για μαθηματικους και για καθηγητες Πανεπιστημιου και για καθηγητες Λυκειου.Δεν υπαρχει αλλο διαφορικο αναλογα με την περιπτωση.Τωρα το τι θα πει κανεις στα παιδια και πως θα το παρουσιασει ωστε να μην τα μπερδεψει ειναι αλλη συζητηση στην οποια δεν μπηκα καθολου.Αν μπορεσεις να μου εξηγησεις σε αυτα που εγραψα που ακριβως θα μπορουσε να υπαρχει διαφωνια (οχι απο εσενα),ή τι δεν εξηγω καλα σε παρακαλω πες μου γιατι δεν εχω καταλαβει.
Τα έξτρα βιβλία που είχαμε στο Γυμνάσιο (Αλεξόπουλος λ.χ.), χωρίς να επικαλεστούν τις έννοιες ορίου και παραγώγου, παρουσίαζαν το dA ως μια απειροελάχιστη μεταβολή του Α. Στο Α΄έτος, στο βιβλίο Αλεξόπουλου, διαφοροποιείται η παρουσίαση χωρίς όμως να συμβολιστεί με dy το Δy ενώ πρωτοβλέπουμε τον συμβολισμό dx στο ολοκλήρωμα.
Ακολουθούν ασκήσεις στις οποίες το dx είναι μια μικρότατη μεταβολή. Π.χ. το εμβαδόν μιας στεφάνης είναι 2πx.dx και αυτή την έκφραση ολοκληρώνουμε.
Το εμβαδόν μια στεφάνης δεν θα μπορούσε να γραφεί ως 2πxΔx αν το Δx δεν ήταν μικρότατο.
Οι χειρισμοί συνεχίζονται για χρόνια και ο ορισμός του διαφορικού παραγκωνίζεται και ξεχνιέται. Ιδίως μάλιστα αν σε βιβλία Μαθηματικών το διαφορικό ορισθεί ως df=f΄(x).dx. Όταν δηλαδή πάρει τη θέση ενός συμβολισμού αντί μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών της οποίας υπολογίζουμε το όριο στην περίπτωση όπως αυτή που έθεσες με τη ρίζα.
Έτσι η ουσία (το διαφορικό αξίζει όταν παίρνει μικρότατες τιμές) παρακάμπτει τον ορισμό του.
Γιάννη σορρυ για την πολυλογια.Το διαφορικο της ανεξαρτητης μεταβλητης dx ειναι μια μεταβολη του x. To μικραινεις και το μεγαλωνεις οσο θελεις. Οταν σε αυτο το διαστημα μηκους dx η συναρτηση f(x) θελεις να μην εχει προλαβει να αλλαξει,κρατας το dx μικρο.Αυτο το κανεις παντα οταν θελεις να ολοκληρωσεις.Οι χειρισμοι ομως στα μαθηματικα δεν γινονται ενστικτωδως.Το dx δεν ειναι δογμα οτι παντα ειναι απειροστο.Οταν θελουμε να βρουμε ρυθμο μεταβολης που δεν ειναι σταθερος και λεμε βρισκω Δy/Δx ,δεν εχω ακριβεια,μικραινω το Δχ,ξαναδιαιρω,θελω πιο πολυ ακριβεια,το μικραινω κι αλλο,ξαναδιαιρω,…και στο τελος λεω το μικραινω παρα πολυ μεχρι να γινει dx,ε αυτο το τελευταιο ειναι λαθος,ποτε δεν πρεπει να το πουμε σε μαθητες.Η δουλεια πρεπει να γινει μονο με το Δx to oποιο τεινει στο μηδεν και στο οριο αυτο ,το πηλικο Δy/Δx δινει την σωστη τιμη .Δεν χρειαζεται να μιλησουμε για dy/dx. Η εκφραση κλιση=dy/dx ειναι ακριβης εκφραση δεν ειναι προσεγγιστικη,δεν χρειαζεται οριο και τα διαφορικα δεν ειναι απειροστες ποσοτητες.Δεν βλεπω κανενα παιδαγωγικο λογο για τον οποιον πρεπει να αντιμετωπιζω τα διαφορικα αυτα σαν πολυ μικρες ποσοτητες;.Καλυτερα στις μικρες ταξεις να μην τα αναφερω καθολου,Στην Γ Λυκειου τα παιδια σημερα μαθαινουν περισσοτερα μαθηματικα απ οτι μαθαιναμε εμεις οταν ημασταν πρωτοετεις και τα ξεκαθαριζουν αυτα τα πραγματα με τους μαθηματικους τους.. Αλλα εν παση περιπτωσει αν καποιος θελει να πει στους μαθητες του για μικρο dx ή μικρο dt εγω δεν εχω αντιρρηση το ξαναεγραψα.Αυτο παντως που δεν ισχυει ειναι οτι για να δωσει η διαιρεση dy/dx την σωστη τιμη της κλισης ή η διαιρεση dx/dt την σωστη τιμη της ταχυτητας,πρεπει αναγκαστικα το dt και to dx να ειναι απειροστες ποσοτητες κατι το οποιο ειναι λαθος.Οταν καποιος δεν γνωριζει ο ιδιος το σωστο πως θα το εκλαικευσει και θα το απλοποιησει αναλογως με το ακροατηριο στο οποιο απευθυνεται?
Κωνσταντίνε πως βοηθάει αυτό έναν μαθητή Α΄Λυκείου στην κατανόηση του ρυθμού μεταβολής;
Τι σχέση έχει με το θέμα της ανάρτησης;
Δε διαφωνώ ότι θα μπορούσε να αποτελέσει το θέμα μιας ανάρτησης, με τίτλο
“Το διαφορικό όχι του αυτοκινήτου” ή “Διαφορά διαφορικού και μεταβολής” ή “Ας μάθουμε το διαφορικό” ή …
Εσύ πως θα εξηγήσεις στους μαθητές σου:
Ότι το Δt δε χρειάζεται να τείνει στο μηδέν;
Ανδρεα αυτα περιπου που κανεις με την συναρτηση ριζα x,τα εγραψε νωριτερα ο Γιαννης για την x τετραγωνο, οχι διαφοριζοντας για να βρει το διαφορικο dy.αλλα πιο σωστα απο την σχεση ορισμου του dy :
dy(ξ,Δx)=f'(ξ)Δx ή dy(4,-0,02)= -f'(4)0,02=-0,005. (εχεις κανει λαθος στις πραξεις).
Aνδρεα οποιο και αν ειναι το θεμα της αναρτησης εγω στο πρωτο πρωτο σχολιο μου εγραψα καποια στοιχειωδη μαθηματικα οχι για τους μαθητες αλλα για εμάς,τα οποια μαλλον δεν καταλαβες,διοτι εφερες αντιρρησεις.και εχουμε κλεισει τωρα πεντε μερες να τα συζηταμε.
Το ρεζουμε ειναι οτι στiς εξισωσεις υ=dx/dt. a=dυ/dt, I=dq/dt… τα dx,dυ,dq,dt, δεν ειναι απειροστες ποσοτητες,οι εξισωσεις ειναι ακριβεις,οχι προσεγγιστικες,δεν περιεχουν καποιο οριο και δινουν το σωστο αποτελεσμα ειτε τα διαφορικα ειναι μεγαλα ειτε μικρα.Το καταλαβαινουμε αυτο ή θα το παμε παλι απο την αρχη?
Κωνσταντίνε καταλαβαίνω ότι πολλές φορές οι Μαθηματικοί παραξενεύονται με τη χρήση των Μαθηματικών που κάνουν οι Φυσικοί , οι Χημικοί, οι Μηχανικοί και άλλοι. Οι οποίοι (Φυσικοί κ.λπ) όμως καλά κάνουν τελικά.
Θα προσπαθήσω να δώσω παράδειγμα όσων είπα σε λίγα λεπτά.
Το παράδειγμα που εννοούσα:
Συμφωνω με ολα οσα εγραψες.Ητριτη μεθοδος δεν ειναι μπακαλική ειναι επισης αυστηρα μαθηματικα. Δεν ερχεται σε αντιθεση με αυτα που εχω γραψει εγω.
Αυτά μοιάζουν περίεργα και ανορθόδοξα σε έναν Μαθηματικό.
Ίσως τα θεωρεί “συμπτωματικά σωστά”.
Έτσι όμως κάναμε Μηχανική στην Α΄ Λυκείου, πυκνωτές στη Β΄ , εναλλασσόμενα στις Δέσμες, Επαγωγή και Μάξγουελ στις Δέσμες και τόσα άλλα.
Τα κάναμε στις κατευθύνσεις πριν μάθουν τα περί παραγώγων.
Και κυρίως τα κάνουμε όταν εμείς λύνουμε προβλήματα και η Γεωμετρία μας βοηθάει σε τρίγωνα με αμελητέες βάσεις, σε επιφάνειες που φουσκώνουν πολύ λίγο και βρίσκουμε την στοιχειώδη μεταβολή του όγκου και σε πάμπολες περιπτώσεις.
Σε μικρές τάξεις αυτή η ανορθόδοξη παραγώγιση-διαίρεση είναι μονόδρομος.
Ακόμα και όταν δεν είναι μονόδρομος είναι καλή τεχνική, τεχνική που έδωσε και πήρε το 1975 που ήμουν πρωτοετής.
Θα γραψω και εγω ενα παραδειγμα σε λίγο
Ναι δεν είπα ότι έρχεται σε αντίθεση.
Μάλλον και εσένα (όταν λύνεις πρόβλημα) σε βολεύει η τεχνική αυτή.
Απλά ξεκαθαρίζω ότι βολεύει το ντε τάδε να το δουλεύουμε ως απειροστή μεταβολή του τάδε.
Βρισκομαστε πανω στο επιπεδο xOy.Εστω ενα πεδιο Β=3rκ οπου r η αποσταση ενος σημειου απο την αρχη των αξονων. Nα βρεθει η ροη του μεσα απο τον μοναδιαιο κυκλο:
χ τετραγωνο +y τετραγωνο=1
Στην Λυση 1.το στοιχειο επιφανειας σε πολικες συντεταγμενες ειναι dA=rdrdφ και δουλευουμε μηχανικα.
Στην Λυση 2. θεωρουμε δακτυλιο παχους dr o οποιος αν ξετυλιχτει ειναι μακροστενο ορθογωνιo εμβαδου dA=2πrdr. (Σαν το δικο σου πιο πανω.)Εδω το dr ειναι αναγκαστικα απειροστο για προφανεις λογους.
Eνας φυσικος οπως και εγω,θα κανει την δευτερη λυση η οποια ομως ειναι επισης αυστηρη.Ο φυσικος δεν δινει στα διαφορικα διαφορετικο νοημα και ας κανει αλλους χειρισμους.
και η λυση