by 
Στο Θέμα Γ΄ των Πανελλαδικών Εξετάσεων 2023, ζητάμε 3 ρυθμούς μεταβολής:
Ένας με «Δέλτα», δύο με «Ντε».
Διορθώνοντας γραπτά μαθητών Υγείας, παρατήρησα μεγάλη αποτυχία σε αυτό το θέμα.
Είναι ίδια η γνώση όμως των μαθητών Υγείας με τους μαθητές Θετικών, στα Μαθηματικά;
Μήπως οι ρυθμοί έχουν γίνει κατανοητοί σε προηγούμενες τάξεις και δεν υπάρχει δικαιολογία;
Στους μαθητές προτιμώ των εφαπτομένη. Είναι ο καλύτερος τρόπος να καταλάβουν το όριο. Το βιβλίο ακολουθεί τη λογική Κασσέτα και ορίζει την ταχύτητα μόνο σε ομαλή κίνηση. Προσωπικά λέω στις μαθητές ένα γεωμετρικό παράδειγμα του τι σημαίνει τείνει στο μηδέν και τους λέω και ότι “με ανώτερα μαθηματικά αποδεικνύεται ότι η στιγμαία ταχύτητα είναι εφαπτόμενη στον τροχιά” αφού τους δείξω ένα βιντεάκι που παίρνει όλο και μικρότερο Δt ώστε η ευθεία που ενώνει δύο σημεία της τροχιάς να τείνει στην εφαπτομένη. Δεν τους δίνω ορισμό στιγμιαίας ταχύτητας μόνο περιγραφή.
Γεια σου Μπάμπη.
Η εφαπτομένη είναι εξαιρετική. Δεν είναι το πρώτο που χρησιμοποιούσα.
Ακολουθούσε μια και έπρεπε να ακουστεί το “γιατί”. Γιατί η ταχύτητα δεν αλλάζει σημαντικά όταν το διάστημα είναι μικρότατο.
Τα Μαθηματικά πάντοτε έπονται της ιδέας.
Έχω αρχείο Geogebra που έχω αναρτήσει εδώ και που χρησιμοποιούσα.
Τα παιδιά μπορούσαν να κουνήσουν τον μεταβολέα και να δούν το όριο.
Υπάρχουν πολλές προσεγγίσεις για κάθε τι.
Καλησπέρα Κωνσταντίνε, δεν μας ενδιαφέρουν οι στιγμιαίοι ρυθμοί μεταβολής;
Δεν καταλαβαίνω τι ακριβώς θέλεις να πεις;
Αυτό θέλει να πει Στάθη:
Σημειώσεις καθηγητή Μπροδήμα, Πανεπιστήμιο Πατρών.
Απόσπασμα:
Ως συνάρτηση μπορεί να πάρει μεγάλες τιμές.
Όμως άλλο αυτό και άλλο η λυκειακή εκδοχή και παρουσίαση.
Γιάννη εξακολουθώ να μην καταλαβαίνω. Το Δt παίρνει μικρές τιμές όχι το Δy όταν ορίζεται η στιγμιαία τιμή ενός φυσικού μεγέθους.
Γεια σας Σταθη και Γιαννη.Για στιγμιαιους ρυθμους μεταβολης μιλαω.Ο τροπος με τον οποιο ο καθενας απο εμας στην Α και στην Β Λυκειου εισαγει τους μαθητες του στις νεες αυτες μαθηματικες εννοιες διδασκοντας φυσικη και με ποιο τροπο τα απλοποιει,ειναι προσωπικη του υποθεση. Εγω απλως εγραψα ποια ειναι τα σωστα Μαθηματικα σε σχεση με τις ποσοτητες που εμφανιζονται στην εκφραση f'(x)=dy/dx για να βοηθησω τους συναδλελφους. Αν εχουμε μια συναρτηση y=f(x) (αντιστοιχως x=f(t) ),με ολα τα καλα του θεου δηλ συνεχης παραγωγισιμη κλπ σε καποιο ανοιχτο διαστημα,τοτε το διαφορικο dy ειναι συναρτηση δυο μεταβλητων και οριζεται dy(x,ξ) =: f'(ξ)(x-ξ)= f'(ξ)Δx=f'(ξ)dx
Aυτο σημαινει οτι η εξισωση f'(ξ)=dy(x,ξ) /dx η οποια ειναι ο στιγμιαιος ρυθμος μεταβολης στο σημειο x=ξ ειναι το πηλικο δυο ποσοτητων οι οποιες δεν ειναι απειροστες,Μπορει να ειναι οσο μεγαλες θελεις και το πηλικο τους δινει την κλιση στο σημειο x=ξ
με απολυτη ακριβεια.Αρα το dx δεν ειναι αναγκαστικα μικρο. Αν το dx ειναι μικρο τοτε το διαφορικο dy μπορει να ειναι πολυ κοντα στο Δy οποτε τοτε με καλη ακριβεια εχουμε Δy=f'(ξ)(x-ξ) ή f(x)-f(ξ)=f'(ξ)(x-ξ) ή f(x)=f(ξ)+ f'(ξ)(x-ξ) που ειναι η εξισωση της εφαπτομενης στο σημειο (ξ,f(ξ)) και αρα με καλη προσεγγιση εχουμε κανει μια γραμμικοποιηση της συναρτησης για μια μικρη περιοχη γυρω απο το ξ. Αν θελουμε πιο μεγαλη ακριβεια πρεπει να χρησιμοποιησουμε και ανωτερας ταξεως παραγωγους οποτε τοτε εχουμε μια σειρα Taylor γυρω απο το ξ.
Αυτα ισχυουν και αυτα μαθαμε ολοι στο πρωτο ετος σε μαθημα με τιτλο Απειροστικος Ι ή Αναλυση Ι ή οπως λεμε στα Ελληνικα Calculus. 🙂 Tωρα ο καθε καθηγητης εχει την δικη του μεθοδο να παρουσιασει τους στιγμιαιους ρυθμους μεταβολης σε μαθητες.Εχω και εγω την μεθοδο μου αλλα δεν εκρινα σκοπιμο να την εκθεσω.
Εγραψα απλώς αυτα τα οποια ειναι αναγκαια συνθηκη να γνωριζει καθε καθηγητης για να μπορεσει να κανει μια πετυχημενη εκλαικευση.
Ασκηση (προς ολους): Nα υπολογισετε προσεγγιστικα την τριτη ριζα του 29 χρησιμοποιωντας διαφορικα και κανοντας μια γραμικοποιηση της συναρτησης τριτη ριζα του x γυρω απο το x=3
Γυρω απο το x=27 ηθελα να πω.
Στάθη έγραψε λίγο πιο πριν τι εννοούσε.
Το λένε και οι σημειώσεις του καθηγητή πιο σύντομα.
Το διαφορικό είναι μια συνάρτηση δύο μεταβλητών. Έτσι:
dx(xo)(Δx)=x΄ (xo).Δx=Δx
Η τιμή του είναι ίση με την τιμή του Δx.
Εχει κανει ενα τυπογραφικο λαθος στο 6.Θελει df(x0,Δx)=f'(x0)Δx
Εγω προτιμω να γραφω το διαφορικο df ως συναρτηση των x0,x και οχι των x0,Δx.αν και ειναι περιπου το ιδιο.
Καλησπέρα συνάδελφοι. Γιάννη πολύ ωραία η ιδέα σου με το i.p. και ίσως αξίζει να αφιερώσουμε μια διδακτική ώρα για να το δώσουμε. Αρκεί να έχουμε διαδραστικό πίνακα στην τάξη, γιατί στο εργαστήριο που έχει προτζέκτορα δε χωράνε 26 με 27 παιδιά. Στην προσομοίωση έχεις περιγράψει μια ομαλά επιταχυνόμενη με α = 10m/s^2, uo = 0, xo =0. για όποιον θέλει την έφτιαξα και ΕΔΩ με κουμπί ακρίβειας για να παίξουμε…
Χαράλαμπε, ευχαριστώ για τη συμμετοχή.
Ο Κωνσταντίνος επιμένει
“Παντως το οτι το dt παριστανει ενα πολυ μικρο Δt δεν ειναι σωστο”.
Ας δούμε την παρακάτω ανάλυση και το κίτρινο κείμενο που επεσήμανα:
Και βέβαια επιμένω ! Γιατί άλλο διακόσιες ενενήντα ,άλλο τριακόσιες! 🙂
Γεια σου Ανδρέα.
Η προσομοίωσή σου είναι πληρέστερη από τη δική μου.
Δεν υπάρχει λόγος διαφωνίας με τον Κωνσταντίνο. Επικαλείται τον ορισμό του διαφορικού ως συνάρτηση δύο μεταβλητών. Αυτά που λέει βρίσκω με άλλα σύμβολα στο απόσπασμα που παρέθεσα.
Εμείς χρησιμοποιούμε το διαφορικό και κατά τη χρήση του έχουμε (ορθότατα φυσικά) την περίπτωση απειροελάχιστης μεταβολής. Λόγου χάριν dr απομάκρυνση από το κέντρο της γης και έργο F(r).dr ώστε μα υπολογίσουμ,ε το συνολικό έργο.
Όμως η χρήση που κάνουμε και ο ορισμός του είναι δυο διαφορετικά πράγματα.
Διαφορετικό πράγμα επίσης είναι η παρουσίαση του df στα παιδιά, παιδιά που δεν θα βοηθήσουμε παρουσιάζοντας τον ορισμό μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών.
Δηλαδή:
Η τιμή του διαφορικού παριστάνεται από την αγκύλη.
Φυσικά δεν πολυχρησιμοποιούμε αυτή την μορφή του διαφορικού.
Ανδρέα αυτα που γραφει αυτος ειναι περιπου τα ιδια με αυτα που γραφω εγω και το σχημα που ανεβασες ειναι ολοιδιο με το δικο μου που εγραψες πριν οτι ειναι λαθος. οι μεταβολες Δx=dx ,Δy,dy ειναι προφανες οτι δεν ειναι απειροστες μεταβολες.Μαλιστα το διαφορικο dy μπορει να ειναι μεγαλυτερο και απο το Δy στην περιπτωση που η συναρτηση στρεφει τα κοιλα κατω.Τα κιτρινα που εχεις υπογραμισει λενε οτι οταν το dx ειναι πολυ μικρο,τοτε η διαφορα μεταξυ της τιμης που παιρνεις αν χρησιμοποιησεις την ιδια την καμπυλη ή αν χρησιμοποιησεις την ευθεια,ειναι πολυ μικρη και αυτο σημαινει οτι για μικρες τιμες του dx εχεις κανει μια γραμμικοποιηση,πραγματα που εγραψα εγω πιο πανω. Δεν βλεπω να μπορουμε να συνεννοηθουμε οποτε αστο.
Γιαννη αυτο που δειχνει η αγκυλη ειναι ειναι το dy και δεν ειναι απειροστο. Το dx ειναι ισο με το Δx και ειναι ισο με 3. Η κλιση στο σημειο x=2 ισουται με df/dx=12/3=4.Αυτα λενε ολα τα βιβλια μαθηματικων του πλανητη. Τι αλλο να πω?