Δυνάμεις και ορμές σε ένα σύστημα

Λίγα … προκαταρκτικά!

Πριν την προσπάθεια της επίλυσης, υπενθυμίζεται ότι για το ιδανικό ελατήριο (το οποίο θεωρούμε ότι έχει αμελητέα μάζα), ισχύει ο νόμος του Hooke  F=k∙Δl, όπου F η δύναμη που του ασκείται και Δl η παραμόρφωσή του. Αλλά τότε με βάση το 3^ο νόμο του Νεύτωνα ένα παραμορφωμένο ελατήριο, ασκεί στα άκρα του (στα σώματα με τα οποία συνδέεται) δύναμη με μέτρο:

|F_ελ|= F_ελ=k∙Δl.

Εξάλλου για να παραμορφώσουμε ένα ελατήριο απαιτείται να ασκήσουμε στο ένα άκρο του (αν το άλλο είναι δεμένο σε σταθερό σημείο, άλλως και στα δυο του άκρα του), μια δύναμη, η οποία μετακινεί το σημείο εφαρμογής της, παράγοντας έτσι έργο, το οποίο μετρά την ενέργεια που μεταφέρεται στο ελατήριο και αποθηκεύεται σε αυτό, με την μορφή της δυναμικής ενέργειας. Αποδεικνύεται ότι η δυναμική ενέργεια ενός παραμορφωμένου ελατηρίου δίνεται από την εξίσωση:

Και τώρα η άσκηση….

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο σύρεται από ένα παιδί, ένα αμαξίδιο μάζας Μ=20kg. Πάνω στο καρότσι υπάρχει ένα σώμα Σ, μάζας m=10kg, το οποίο δεν παρουσιάζει τριβές με το αμαξίδιο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=240Ν/m και φυσικού μήκους l_ο=0,8m, όπως  στο σχήμα.  Σε μια στιγμή t_ο το ελατήριο έχει μήκος l₁=1,3m, το αμαξίδιο και το σώμα Σ έχουν την ίδια  ταχύτητα u=2m/s, ενώ το μέτρο της  δύναμης που ασκεί το παιδί είναι F=150Ν.

i) Να υπολογιστούν για την στιγμή αυτή:

Α) η ενέργεια του ελατηρίου καθώς και οι δυνάμεις που ασκεί  στο σώμα Σ και στο αμαξίδιο.

Β)  η ορμή και ο ρυθμός μεταβολής της ορμής:

α) του σώματος Σ,  β)  του αμαξιδίου,  γ) του συστήματος αμαξίδιο-σώμα Σ.

ii) Την παραπάνω στιγμή t_ο το παιδί σταματά να τραβάει το αμαξίδιο. Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της ορμής κάθε σώματος, αμέσως μετά την κατάργηση της δύναμης F.

iii) Μετά από λίγο τη στιγμή t₁ το αμαξίδιο κινείται προς τα δεξιά με ταχύτητα υ₁=1m/s. Για την στιγμή αυτή:

α) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του σώματος Σ την στιγμή αυτή.

β) Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της ορμής κάθε σώματος.