by 
Σε ένα στεφάνι αμελητέας μάζας στερεώνουμε σημειακή μάζα m σε σημείο της περιφέρειάς του.
Το αφήνουμε ελεύθερο.
Το στεφάνι δεν ολισθαίνει στο έδαφος και κάποια στιγμή το μαζάκι φτάνει κάτω.
Αφού δεν έχω ολίσθηση, η ταχύτητα του μαζακιού όταν φτάνει κάτω είναι μηδέν.
Μηδέν και η κινητική του ενέργεια.
Μηδέν είναι όμως και η κινητική ενέργεια του στεφανιού λόγω αμελητέας μάζας.
Δεν διατηρείται η ενέργεια;
Γιάννη είμαι έξω και το κινητό δεν μου βγάζει την εικόνα. Το βράδυ θα το δω στον υπολογιστή.
Κωνσταντίνε αυτό είχα σκεφτεί αρχικά.
Όμως εμπόδισα την ολίσθηση ασκώντας τεράστια δύναμη.
Φαίνεται στις προσομοιώσεις αλλά και στο χαρτί.
Απλά στο χαρτί έχει φασαρία, φασαρία που δεν θέλησα να κάνω γιατί δεν είναι εκεί η ουσία.
Όταν το x τείνει στο μηδέν τότε η 3/x^2 τείνει στο μηδέν.
Το x^2 τείνει στο άπειρο. Όμως το γινόμενο είναι το 3.
Εδώ τι έχουμε;
Μάζα Μ (στεφανιού) που τείνει στο μηδέν, ταχύτητα στεφανιού που τείνει στο άπειρο αλλά κινητική ενέργεια στεφανιού ίση με ρίζα(m.g.R). Η κινητική ενέργεια είναι το όριο του γινομένου δύο συναρτήσεων. Της Μ και της V. Βρίσκουμε το όριο εύκολα.
Σ’ αυτό μοιάζει με την κρούση τοίχου-μπαλακιού.
Πάντως δεν βλέπει την φυγόκεντρο μόνη της επειδή εξουδετερώνεται από την συνιστώσα της δύναμης από την στεφάνη. Στο κατώτερο σημείο βλέπει το έδαφος να κινείται ως προς αυτόν άρα έχουμε ολίσθηση.
Γιώργο δεν βλέπει φυγόκεντρο διότι δεν αλλάζει προσανατολισμό.
Σχεδιάζω τη δύναμη που βλέπει:
Ολίσθηση αποκλείεται αν ασκήσουμε τη δύναμη που βλέπεις και είναι όσο το βάρος ενός πλοίου.
Βλέπει δηλαδή την D’ Alembert, το βάρος και μια δύναμη από το στεφάνι οι οποίες έχουν μηδενική συνισταμένη.
Όμως τέτοια ανάλυση είναι δύσκολη και θα την απέφευγα.
Το θέμα είναι απλό. Η ενέργεια διατηρείται διότι είναι γινόμενο μιας συνάρτησης που τείνει στο μηδέν επί μία που τείνει στο άπειρο. Έτσι δεν εξαρτάται από τη μάζα του στεφανιού. Όταν αυτή τείνει στο μηδέν η ενέργεια δεν έχει κανένα λόγο να αλλάξει.
Εμείς κάνουμε το λάθος να λέμε:
μάζα τείνει στο μηδέν => κινητική ενέργεια που τείνει στο μηδέν.
Λάθος διότι ορ(1/x*x) του x τείνοντος στο μηδέν είναι 1 και όχι μηδέν ή άπειρο.
Μαθηματικότερα:
Η ιστορία μοιάζει με την παρακάτω:
Ένας κουβάς περιέχει 10 λίτρα ιδανικού υγρού.
Τον αδειάζουμε στο πάτωμα.
Πόσος είναι ο όγκος του νερού όταν το ύψος του γίνει αμελητέο;
θα πούμε ότι μηδενίστηκε ο όγκος;
Κάτι παρόμοιο:
Καλησπέρα
Έγραφε κάποτε ο αείμνηστος Βαγγέλης Κορφιάτης :
” … Οι προσεγγίσεις γίνονται πάντα στον τελικό τύπο. Από αυτόν δεν επιτρέπονται εξαγωγή συμπερασμάτων για άλλα φυσικά μεγέθη … Μπορούμε όμως να εξάγομε για οποιοδήποτε φυσικό μέγεθος ένα τελικό τύπο και μετά να κάνουμε τις προσεγγίσεις μας … ”
Είναι όντως ένα παιχνίδι με πράξεις μηδενός και απείρου [ δ(x) ].
Ή και αλλιώς προσοχή τον μαθηματικό υπολογισμό των ορίων απροσδιόριστων εκφράσεων.
Τα σημειακά αντικείμενα και τα χωρίς μάζα στερεά απαιτούν σεβασμό του κανόνα :”οι προσεγγίσεις πάντα στον τελικό τύπο”.
Καλησπέρα Μήτσο.
Τα παράδοξα αυτού του τύπου έχουν αφετηρία τέτοια παιγνίδια με το μηδέν και το άπειρο.
Γιάννη εχεις δίκιο. Μου φανηκε προφανες οτι ροπη αδρανειας στεφανιου μηδεν προυποθετει κινητικη ενεργεια στεφανιου μηδεν. Δεν μου φανηκε λογικο η γωνιακη ταχυτητα να μπορει να γινει εξωπραγματικα μεγαλη,ομως γινεται, μονο γυρω απο την γωνιακη περιοχη οπου η μαζουλα σχεδον ακουμπαει κατω.Πολυ ωραιο προβλημα και δυσκολο.
Καλησπέρα Γιάννη, καλησπέρα σε όλους τους συμμετέχοντες στην κουβέντα.
Το συμπέρασμά σου Γιάννη, είναι πολύ σωστό και τον λάκο, πολλοί δεν είδαμε…
Και ο λάκος ήταν η διατύπωση “Σε ένα στεφάνι αμελητέας μάζας “.
Όχι ένα στεφάνι μηδενικής μάζας, αλλά αμελητέας!!!
Ας προσέχαμε…
καλησπέρα σε όλους
μερικές φορές σας “χάνω”,
ίσως είμαι κοντά στον Διονύση, τον Κωνσταντίνο και τον Μήτσο
(μου θύμισε ένα 4ο θέμα του 2005, το είχα σχολιάσει τότε εκπροσωπώντας της ΕΕΦ)
το μπαλάκι συγκρούεται με την στεφάνη που από εκφώνηση δεν ολισθαίνει, άρα είναι ένα “σώμα” με το έδαφος, επομένως συγκρούεται με ολόκληρη της Γη, σαν πλαστική κρούση, η οποία οφείλει να αυξήσει την εκ περιστροφής κινητική της ενέργεια κατά mgh, άρα με σχεδόν μηδενική αλλαγή της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της
Καλησπέρα παιδιά.
Βαγγέλη έχεις το θέμα. Δεν το θυμάμαι.
Γιάννη “κέντησες”!!!
Πολύ ενδιαφέρον το “πινγκ-πονγκ” επιχειρημάτων.
Πολύ ωραία ανάρτηση!!