by 
Θέλουμε να φτιάξουμε μια δεξαμενή από δεδομένη λαμαρίνα. Κλειστή πάνω και κάτω.
Θέλουμε συγκεκριμένο βάρος δεξαμενής, δηλαδή συγκεκριμένη ολική επιφάνεια.
Ο ένας μάστορας προτείνει κυλινδρική δεξαμενή.
Ο άλλος σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου.
Αν υποθέσουμε ότι και οι δύο θα κάνουν τις βέλτιστες επιλογές στις διαστάσεις, ποια δεξαμενή θα έχει μεγαλύτερο όγκο;
Η διαίσθηση μας λέει ότι η κυλινδρική θα είναι ο νικητής αλλά μπορούμε να το αποδείξουμε;
Μετά την όποια απόδειξη γράψουμε, μπορούμε να δώσουμε άλλη που αποφεύγει όλα τα αλγεβρικά που γράψαμε;
Μια απάντηση χωρίς Άλγεβρα:
Καλημέρα Γιάννη, ενδιαφέρον πρόβλημα!
Και μια “ανίερη” αλγεβρική λύση 🙂 :
Καλημέρα και πάλι.
Πολύ ωραίο πρόβλημα και ΕΞΑΙΡΕΤΙΚΗ η λύση του Χρήστου!
Καλημέρα Χρήστο και Βασίλη.
Όντως καταπληκτική η λύση του Χρήστου.
Ένα βίντεο με γεωμετρική προσέγγιση των μέσων και συσχετισμός τους:
https://www.youtube.com/watch?v=70gYUkR3wtk
Καλησπέρα, Μια διαφωνία για το Vmax του παραλληλεπιπέδου,
Ο Χρήστος αυθαίρετα παίρνει α=β=γ για Vmax στο οποίο διαφωνώ
Καλημέρα σας
Για τον κ. Χριστόπουλο από τις σημειώσεις.
Καλημέρα παιδιά.
Το ότι είναι κύβος αποδεικνύεται και χωρίς Άλγεβρα:
Έστω ότι η βέλτιστη κατασκευή έχει μία βάση που δεν είναι τετράγωνο.
Αν όμως η κατασκευή μας είναι κύβος δεν μπορούμε να προχωρήσουμε στο βήμα 2.
Καλημέρα παιδιά! Σε αυτά που γράφω εφ’ οσον διαφωνειτε ,που έχω κανει λαθος;
Καλημέρα Γιώργο.
Δεν το βρήκα ακόμα αλλά αν μια λύση που δεν έχει πράξεις αλλά είναι λογική αλληλουχία διαφωνεί με άλλη, συνήθως είναι η σωστή.
Δηλαδή στήνω τη δεξαμενή που προτείνεις με βάση την α,β. και ύψος γ=β.
Κατασκευάζω άλλη με ύψος γ και βάση τετράγωνη που έχει εμβαδόν α*β.
Η νέα βάση έχει μικρότερη περίμετρο και επομένως η παράπλευρη και η συνολική επιφάνεια είναι μικρότερη.
Με την επιφάνεια που περισσεύει κατασκευάζω προσθήκη και έχω τελικά δεξαμενή με ίδια επιφάνεια και μεγαλύτερο όγκο.
Αυτό σημαίνει ότι η πρότασή σου δεν ήταν η βέλτιστη.
Ας δούμε την πρότασή σου:
Βρίσκουμε καλύτερη με ίδια επιφάνεια.
Γιάννη και εγώ σύμφωνα με την λογική καί την εμπειρία περίμενα κύβο. Έκανα αυτές τις πράξεις και περίμενα να βγει α=β=γ αλλά δεν βγήκε!
Σε αυτα που γραφεις δεν διαφωνώ. Αλλά που έχω κάνει το λάθος;
Γιώργο θα ανιχνεύσουμε το λάθος απλά.
Θέλω συνολική επιφάνεια 6 τ.μ.
Προτείνω κύβο με πλευρά 1 μ που έχει όγκο 1 κ.μ.
Πάμε να φτιάξουμε κάτι άλλο με επιφάνεια 6 τ.μ. και να δούμε αν θα ξεπεράσουμε το 1 κ.μ.
Δεν γίνεται.
Αν εφαρμόσεις όσα έγραψες για τα 6 τ,μ. θα βρούμε το λάθος.
Αυτό που με ενδιαφέρει είναι που ξέφυγε ένα 2 στον υπολογισμό του α στην απόδειξη που κάνω!
Όλα τα άλλα που γραφεις συμφωνώ.
Δεν μπορώ να καταλάβω που είναι το λάθος στην απόδειξη που κάνω!
Ίσως επειδή στη β’ μια σχεση που γράφω τα β,γ δεν είναι ανεξάρτητα του α. Θα το δω…..
Kαλημερα Γιαννη. Το προβλημα αυτο ειναι ισοδυναμο με το προβλημα.: Kυκλος και ορθογωνιο εχουν ισες περιμετρους. Ποιο εχει μεγαλυτερο εμβαδον? θα πρεπει καποιος μαθητης να ειναι σε θεση να αποδειξει αυτην την ισοδυναμια.
Κατοπιν η απαντηση στο προβλημα που θετεις προκυπτει αμεσα αφου για καθε πρισμα κατασκευαζω ισου υψους κυλινδρο με βαση ισης περιμετρου ,ο οποιος προφανως εχει μεγαλυτερο ογκο.Διοτι ο κυκλος εχει μεγαλυτερο εμβαδον απο το πολυγωνο.Το οτι ο κυβος εχει μεγαλυτερο ογκο απο ολα τα παραλληλεπιπεδα,ειναι ασχετο με το προβλημα που θετεις.