κυκλική κίνηση, οριζόντια βολή και …τριγωνομετρία

Ένα σώμα αμελητέων διαστάσεων αφήνεται ελεύθερο από την κορυφή λείου τεταρτοκυκλίου ακτίνας R . Το σώμα φτάνει στην βάση του τεταρτοκυκλίου και έπειτα εκτελεί οριζόντια βολή απο ύψος Η. Εάν θ η γωνία που σχηματίζεται η ταχύτητα του σώματος με το οριζόντιο επίπεδο όταν φτάνει στο έδαφος ,θα αποδείξουμε ότι   H/R=(1/συν²θ)-1

Εφαρμόζουμε ΘΜΚΕ για να βρούμε την ταχύτητα του σώματος στην βάση του τεταρτοκυκλίου.

Kτελ-Καρχ= mgR

0,5mu²=mgR

u= (2gR)^1/2

Η ταχύτητα u έχει έπειτα  τον ρόλο της u_o άρα u_o= (2gR)^1/2

Για την κατακόρυφη ταχύτητα που έχει όταν φτάνει στο έδαφος ισχύει u=gt=g(2H/g)^1/2=(g²2H/g)^1/2=(2Hg)^1/2

Για την γωνία θ ισχύει : εφθ= gt/u_o= (2Hg)^1/2/(2gR)^1/2=(H/R)^1/2

Υψώνοντας στο τετράγωνο προκύπτει

εφ²θ= Η/R  ή  ημ²θ/συν²θ=Η/R

Ισχύει η τριγωνομετρική ταυτότητα  ημ²θ+συν²θ=1

Συνεπώς προκύπτει : (1-συν²θ)/συν²θ=H/R

(1/συν²θ)- (συν²θ/συν²θ)=Η/R

H/R=(1/συν²θ)-1

Να αποδειχθεί επίσης πως ισχύει Χmax=2R(εφθ)^1/2 όπου Xmax το βεληνεκες

Λύση

Ισχύει : Χmax= t u_o =(2gR)^1/2 (2H/g)^1/2 (1)

Ισχύει εφθ=H/R ή  εφθ R=Η (2)

Από (1) και (2) προκύπτει Xmax=(2gR)^1/2 (2εφθR/g)^1/2= (2^1/2)² (R^1/2)² (εφθ)^1/2=2R(εφθ)^1/2

Κάποια plus…..

• Επεκτείνοντας το θα προέκυπτε πως Xmax (συνθ)^1/2=2 R (ημθ)^1/2 
• Εαν μας δινόταν η  γωνία πχ 45 μοίρες τότε θα προέκυπτε  Χmax=2R