by 
Ο τροχός κυλίεται χωρίς ολίσθηση στο δάπεδο με ταχύτητα 1 m/s. Έχει ακτίνα R = 1m.
Πόση είναι η κεντρομόλος και πόση η επιτρόχιος επιτάχυνση του σημείου Γ;
Η απάντηση έχει γραφτεί και θα παρατεθεί όποια και αν είναι η εξέλιξη της συζήτησης.
Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα, είναι καλό για όλους…
Ο τροχός κυλίεται χωρίς ολίσθηση στο δάπεδο με ταχύτητα 1 m/s. Έχει ακτίνα R = 1m.
Πόση είναι η κεντρομόλος και πόση η επιτρόχιος επιτάχυνση του σημείου Γ;
Η απάντηση έχει γραφτεί και θα παρατεθεί όποια και αν είναι η εξέλιξη της συζήτησης.
Και προς Θεού μην πέσει ποτέ ερώτηση που θα ζητάει υπολογισμό της επιτροχίου επιτάχυνσης ενός σημείου κυλιόμενου τροχού!
Όχι ασκήσεις σαν αυτήν:
Ένα όχημα έχει λάστιχα διαμέτρου 0,8 m. Βρείτε την ταχύτητα και την κεντρομόλο επιτάχυνση ενός σημείου στο πέλμα του ελαστικού όταν το αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα 35 m/sec.
Αν όμως Γιάννη, έλεγε:
“Ένα όχημα έχει λάστιχα διαμέτρου 0,8 m. Βρείτε την ταχύτητα και την
κεντρομόλοεπιτάχυνσηενός σημείου στο πέλμα του ελαστικούτου σημείου επαφής του τροχού με το δάπεδο, όταν το αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα 35 m/sec.Θεωρείστε ότι ο τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει….”
Θα μπορούσε φέτος στο Δ2 αντί να ζητά το μέτρο της ταχύτητας των σημείων που απέχουν απόσταση R από το δάπεδο, δηλαδή να ζητά δύο φορές το ίδιο πράγμα,
να ζητούσε την επιτάχυνση του σημείου επαφής με το δάπεδο…
Προσωπικά μία απάντηση:
“Η επιτάχυνση στο σημείο επαφής έχει μέτρο υ^2/R, τη διεύθυνση της ακτίνας και φορά προς το κέντρο του δίσκου, θα με κάλυπτε απόλυτα, είτε την ονόμαζε κεντρομόλο, είτε επιτρόχια, είτε Μελπομένη…
Ξέρω πως διαφωνείς, αλλά αυτό εκτιμώ και το γράφω για να μην δημιουργούνται εντυπώσεις ….
Καλημέρα Θοδωρή.
Φυσικά το παιδί δεν θα τιμωρηθεί αν δεν ονομάσει την επιτάχυνση που υπολογίζει ή αν την ονομάσει λάθος.
Όμως οι εκφωνήσεις θεμάτων, τα κείμενα των βιβλίων και των σημειώσεων και η προφορική διδασκαλία πρέπει να προσέχουν τους όρους.
Η επιτάχυνση ενός σημείου υπολογίζεται με τη μέθοδο του σχήματος:
όμως δεν πρέπει να ονομάζουμε την κόκκινη “επιτρόχιο” και την πράσινη “κεντρομόλο”. Δεν πρέπει να λέμε λάθος τα πράγματα επειδή δεν θα στοιχίσει στα παιδιά.
Ακόμα πρέπει κάποτε να επανέλθουν οι σχετικές κινήσεις ώστε να μπορείς να πεις ότι “Είναι η κατά τον παρατηρητή Α κεντρομόλος”.
Ελλείψει σχήματος στο κινητό νόμιζα το Γ στο δάπεδο…
Αυτό Κώστα ήταν στη συζήτηση του 2009, μια πιο δύσκολη περίπτωση.
Συνάδεφοι καλημέρα
Με όλα ένα (ακτίνα, γωνιακή ταχύτητα και ταχύτητα εκ περιστροφής) και μηδενική γωνιακή επιτάχυνση βρίσκω
για το Γ (κυκλοειδής καμπύλη):
Ταχύτητα: Οριζόντια =1,5, κατακόρυφη=(ριζα3)/2, σύνολο (μέτρο)=ρίζα3
επιτάχυνση: Οριζόντια = (ριζα3)/2, κατακόρυφη=-0,5, σύνολο (μέτρο)=1
εφαπτομενική συνιστώσα επιτάχυνσης=-(ριζα2)/2) κατά μήκος της εφαπτομένης
κάθετη συνιστώσα επιτάχυνσης=(ριζα2)/2, κάθετη στην προηγούμενη προς το κοίλο της κυκλοειδούς
σύνολο (μέτρο)=1
Αναλύοντας την κίνηση
Αν χρησιμοποιήσουμε το κέντρο Κ ως σημείο για την περιγραφή της μεταφορικής κίνησης τότε
Το Κ δεν επιταχύνεται, η ταχύτητα του Γ όπως και προηγουμένως (άθροισμα απόλυτης του Κ και σχετικής του Γ ως προς Κ) και η σχετική επιτάχυνση του Γ ως προς Κ (κεντρομόλος με κατεύθυνση προς το Κ) συμπίπτει με την απόλυτη επιτάχυνσή του, δηλ. α=1. Το ίδιο και για το Α.
Αν χρησιμοποιήσουμε ως σημείο αναφοράς το Α.
Τότε η κίνηση μετατρέπεται σε αμιγώς περιστροφική περί αυτό (ταχύτητα Α μηδενική). Η κεντρομόλος επιτάχυνση του Γ (ως προς Α)= ρίζα3 με κατεύθυνση προς το Α. Για τον υπολογισμό της επιτάχυνσης του Γ πρέπει να γνωρίζουμε την επιτάχυνση του Α που από τα προηγούμενα γνωρίζουμε ότι είναι 1 κατακόρυφη προς τα πάνω. Αν κάνουμε τις πράξεις βρίσκουμε τα ίδια με τα αρχικά (για τις συνιστώσες x, y και σύνολο). Στην περίπτωση αυτή η συνιστώσα της επιτάχυνσης κατά μήκος της επιβατικής ακτίνας ΓΑ είναι (ριζα3)/2 με κατεύθυνση το Α και η κάθετη σε αυτή συνιστώσα 0,5.
Καλημέρα Ντίνο.
Μπερδεύτηκα λίγο.
Ένας ακίνητος παρατηρητής (όπου και να βρίσκεται) βλέπει:
Πόση είναι η κεντρομόλος και πόση η επιτρόχιος επιτάχυνση;
Πιστεύω πως είναι η ΓΖ και η ΓΗ:
Γιάννη, έχεις απόλυτα δίκιο.
Στην 1η παράγραφο χρησιμοποίησα σχέσεις από κάποια παλιότερη ανάρτησή μου «Στοιχεία διαφορικής γεωμετρίας» αλλά για λάθος γωνία (εδώ 2π/3). Έτσι διορθώνω την 1η παράγραφο ως εξής:
για το Γ (κυκλοειδής καμπύλη):
Ταχύτητα: Οριζόντια =1,5, κατακόρυφη=(ριζα3)/2, σύνολο (μέτρο)=ρίζα3, εφαπτόμενη στην κυκλοειδή στο Γ και κάθετη στην ΑΓ
επιτάχυνση: Οριζόντια = (ριζα3)/2, κατακόρυφη=-0,5, σύνολο (μέτρο)=1
εφαπτομενική (επιτρόχιος) συνιστώσα επιτάχυνσης=1/2 κατά μήκος της εφαπτομένης (της ταχύτητας κάθετης στην ΑΓ)
κάθετη συνιστώσα επιτάχυνσης=(ριζα3)/2, κάθετη στην προηγούμενη προς το κοίλο της κυκλοειδούς
σύνολο α (μέτρο)=1
Ακτίνα καμπυλότητας=2ριζα3
Επιπλέον (αν οι συντεταγμένες του Γ την t=0, ήσαν (0,0)
Συντεταγμένες κέντρου καμπυλότητας [(2π/3)+(0,5ριζα3), -1,5)]
Γεια σου Γιαννη. Ενας ακινητος παρατηρητης βλεπει την κοκκινη επιταχυνση που εχεις σημειωσει στο προτελευταιο σχημα σου. Για να βρεις ποση ειναι αυτη ειπες οτι δυο αδρανειακοι παρατηρητες μετρανε τις ιδιες επιταχυνσεις και πηγες σε παρατηρητη στο κεντρο και ειπες οτι για αυτον τον παρατηρητη αυτη ειναι κεντρομολος και χρησιμοποιησες τον τυπο υ^2/R.Σωστά.
Mπορει ο ακινητος παρατηρητης για τον οποιον αυτη η επιταχυνση δεν ειναι κεντρομολος, να χρησιμοποιησει τον τυπο υ^2/R και να βρει 1m/ss οποτε να μην χρειαστει να εμπλεξεις καθολου παρατηρητη στο κεντρο οποτε δεν σου χρειαζονται ουτε σχετικες κινησεις ουτε συσχετισμος των μετρησεων δυο αδρανειακων παρατηρητων; Πώς;
Καλησπέρα Ντίνο και Κωνσταντίνε.
Κωνσταντίνε δεν συνηθίζω να μη χρησιμοποιώ παρατηρητές αλλά μάλλον θα δοκίμαζα με όμοια τρίγωνα. Ευτυχώς υπάρχουν άφθονα τέτοια.
Γιαννη αν θελουμε να παρουσιασουμε την λυση σε μαθητη μπορουμε να αποφυγουμε τους παρατηρητες και να χρησιμοποιησουμε την επαλληλια των κινησεων. Η μεταφορικη κινηση δεν εχει επιταχυνση και η στροφικη κινηση εχει επιταχυνση υ^2/R= 1m/ss με φορά προς το κεντρο του κυκλου. H επαλληλια ισχυει και για τις επιταχυνσεις αρα η συνολικη επιταχυνση ειναι 1m/ss και δεν ειναι κεντρομολος. Αυτα τα λεει ο ακινητος παρατηρητης. Αυτη η μεθοδος δικαιολογησης δεν ειναι τοσο κομψη οπως η δικη σου αλλα ειναι εντος υλης.
Καλημέρα Κωνσταντίνε.
Ναι έτσι “νομιμοποιείται”. Μιλάμε για την κεντρομόλο και την επιτρόχιο της μίας των κινήσεων.
Βέβαια πίσω από την επαλληλία, από το “κάνει δύο κινήσεις”, παρατηρητές κρύβονται.
Kαλημερα Γιαννη.Παρατηρητες κρυβονται οι οποιοι μαλλον δεν προσφερουν τιποτα στην εννοια της επαλληλιας η οποια ειναι καθαρα μαθηματικη εννοια. Για παραδειγμα αν για να αποφυγεις τις κυκλοειδεις καμπυλες πεις οτι η κινηση ενος σημειου του κυλιομενου τροχου ειναι επαλληλια μιας ομαλης κυκλικης κινησεως και μιας ευθυγραμμης ομαλης ,τοτε αν προσπαθησεις να το εκφρασεις αυτο αναφερομενος σε παρατηρητες θα πεις οτι ειναι η επαλληλια των κινησεων που βλεπουν,ενας παρατηρητης στο κεντρο του κυκλου και ενας παρατηρητης… ουπς.. ειναι πολυ τεχνικο να βρεις και να περιγραψεις τον παρατηρητη που βλεπει την ευθυγραμμη κινηση και παλι με κυκλοειδεις θα μπλεξεις.
Μου θύμισες την ερώτηση της μαθήτριας.