by 
Η Κέλλυ και ο Διονύσης είναι σε διακοπές και παίζουν με την μπάλα στην παραλία. Ο Διονύσης που φέτος θα πάει στο δεύτερο έτος στο Φυσικό ρωτάει την Κέλλυ που μόλις τελείωσε την Α’ Λυκείου: ” Aν πετάξεις την μπάλα κατακόρυφα προς τα πάνω και αυτή καθώς κινείται δέχεται δύναμη από τον αέρα αντίρροπη της ταχύτητας και μέτρου ανάλογου του μέτρου της ταχύτητας, θα κάνει περισσότερο χρόνο να ανέβει ή να κατέβει; 🙂 ” Και του λέει η Κέλλυ: “Nαι; Για πες μου εσύ που μας κάνεις τον έξυπνο, αν δεν υπήρχε καθόλου δύναμη από τον αέρα τότε η μπάλα, θα έμενε για περισσότερο συνολικό χρόνο στον αέρα , απ’ ότι με δεδομένη τη συγκεκριμένη αντίσταση, ή για λιγότερο; Σου δίνω g=9.80665 m/s2 🙂 ”
Πως θα απαντήσουν τα παιδιά;
Διονύση τώρα είδα τα Μαθηματικά που έγραψες και από ότι βλέπω καταλήγουμε στο ίδιο συμπέρασμα
Καλησπέρα Κωνσταντίνε.
Για να σου πω την αλήθεια, είδα την απόδειξή σου, γενική λύση και πολύ στοχευμένη.
Αλλά στην ίδια λογική δούλεψα και γω το πρωί απλά έλυσα τις εξισώσεις για συγκεκριμένες τιμές, οπότε σκεφτόμουνα:
Την είδε ή δεν την είδε 🙂
Καλησπέρα Κωνσταντινε. ¨ομορφη η απόδειξή σου. Πάντως και η σκέψη του ¨Δημοτικού”, ότι αφού έχω δύναμη αντίθετη της ταχύτητας συνεχώς, αυτή θα σταματήσει το σώμα πιο γρήγορα, είναι πολύ καλή!
Γεια σου Γιώργο.Αυτο ισχύει μόνο για την άνοδο.
Στην κάθοδο μάλλον το σώμα θα καθυστερήσει.Τελικα ουδείς γνωρίζει τι θα υπερισχυσει αν δεν βάλει κάτω τα Μαθηματικά.
Όμορφη απόδειξη Κωνσταντίνε!
Ευχαριστώ Παύλο.
Καλημέρα Κωνσταντίνε.Συμφωνώ. Σίγουρα τα Μαθηματικά δίνουν σίγουρη λύση . Για αυτό ανέφερα “Δημοτικου”.
Γεια σου Διονυση που πιανεις τις Διαφορικες πρωι πρωι. Ειδα λιγο πιο προσεκτικα την αναλυση σου και βλεπω οτι βρισκεις οτι και οι δυο χρονοι,ανοδου και καθοδου,ειναι μειωμενοι σε σχεση με τους χρονους εν κενω αερος,κατι που δεν ειχα υπ οψιν μου. Στον υπολογισμο που κανω εγω δεν φαινεται αυτο. Επισης κατι αλλο. Η αποδειξη σου ειναι αυστηρη; Στα πλαισια της Φυσικης για μενα ναι με την εννοια οτι το τo αποκλειω αν εβαζες αλλες τιμες για m,b,υ0 να εβρισκες κατι διαφορετικο.Aρα η αναλυση σου με πείθει. Ομως απο μαθηματικης πλευρας αυτο θελει αποδειξη, το οτι δηλ οι χρονοι θα ειναι μειωμενοι για οποιεσδηποτε τιμες m,b,υ0. Ενας μαθηματικος θα θεωρουσε οτι αυτο χρειαζεται αποδειξη για να ειναι η λυση πληρης. Εχεις καμια ιδεα για αυτο; Εγω μεχρι στιγμης δεν σκεφτηκα κατι.
Καλημέρα Κωνσταντίνε και καλή Κυριακή.
Πράγματι η απόδειξη που έκανα είναι μέσω ενός παραδείγματος και όχι μια γενική λύση.
Μπορεί να γίνει μια γενική λύση υπολογισμού των χρόνων ανόδου-καθόδου;
Νομίζω ότι πέρα από την δυσκολία, είναι μάλλον αδύνατο. Γιατί; Γιατί το πρόβλημα είναι πολυπαραγοντικό. Τι θα γίνει για μεγάλη ταχύτητα, τι θα γίνει για μικρή αρχική ταχύτητα; Και αν σε αυτές τις περιτπωσεις έχουμε μεγάλο ή μικρό b;
Αλλά και για ένα ορισμένο b, αν για παράδειγμα F=-0,4υ, για αρχική ταχύτητα 20m/s προκύπτει αντίσταση 8Ν, η οποία άλλη επίδραση σε σώμα μάζας 0,2Kg και άλλη σε σώμα 2Kg. Στην πρώτη περίπτωση η άνοδος θα σταματήσει πολύ γρήγορα, στην δεύτερη όχι. Αλλά ακόμη χειρότερα, κατά την πτώση το σώμα θα αποκτήσει πολύ γρήγορα οριακή ταχύτητα 5m/s οπότε θα πάψει να επιταχύνεται…
Από κει και πέρα, κάποιος άλλος (ονόματα δεν λέμε…), που έχει μεγαλύτερες μαθηματικές ικανότητες από μένα, θα μπορούσε να δοκιμάσει…
Τι λες;
Καλησπέρα σε όλους
Μία λύση στο πρόβλημα του χρόνου (στο ότι οι χρόνοι ανόδου και καθόδου είναι μειωμένοι εν συγκρίσει με τους χρόνους απουσία αέρα για οποιαδήποτε τιμή των σταθερών της κίνησης). Βασίζεται στις λύσεις του Διονύση και έχω διατηρήσει τον συμβολισμό του.
Ελπίζω να μην έχει ξεφύγει κάτι.
Καλό καλοκαίρι.
Καλό απόγευμα Στάθη και σε ευχαριστώ για την παρέμβαση.
Θα το μελετήσω.
Μπράβο Στάθη.
Όπως πάντα, πολύ δυνατός…
Μπραβο Στάθη πολυ δυνατη αναλυση.
Καλησπέρα.
Είναι ενδιαφέρουσα αυτή η ανάρτηση ως μαθηματικός γρίφος. Αν όμως έχει και η φυσική κάποια σημασία, θα πρέπει να αναφερθεί ότι σε καμιά περίπτωση δεν μπορεί η μπάλα με το μέγεθος που έχει και τις ταχύτητες που κινείται να συναντά αντίσταση από τον αέρα ανάλογη της ταχύτητας (εκτός από κάποια ελάχιστα χρονικά διαστήματα λίγο πριν και λίγο μετά το ανώτατο ύψος. Είναι γνωστό ότι ο νόμος του Stokes (Fαντ = -6πηrυ) ισχύει με την προϋπόθεση ότι ο αριθμός Reynolds Re=2rρυ/η για την ροή του ρευστού γύρω από την σφαίρα είναι << 1 (r,υ ακτίνα και ταχύτητα σφαίρας , ρ,η πυκνότητα και ιξώδες ρευστού).. Δηλαδή πρέπει η ταχύτητα της μπάλας να είναι υ << η/2rρ. Μπορούμε να βρούμε ότι για τον αέρα σε θερμοκρασία 20οC είναι η/ρ = 0,15cm2/s. Οπότε για μια μικρή μπάλα με r = 10cm προκύπτει ότι για να είναι η αντίσταση από τον αέρα ανάλογη της ταχύτητας θα πρέπει η ταχύτητα της μπάλας να είναι υ << 0,075mm/s ! Για μεγαλύτερες μπάλες η κατάσταση είναι προφανώς ‘χειρότερη’
Kαλησπερα. Ναι σωστα μια αντισταση αναλογη του τετραγωνου της ταχυτητας οταν η μπαλα δεν κινειται πολυ αργα ειναι πιο ρεαλιστικη,ομως η συγκεκριμενη αναρτηση ειναι ενα μαθηματικο προβλημα και ο στοχος της ειναι να δειξει οτι καποιες φορες μια μαθηματικη επεξεργασια δινει κατι αλλο απο αυτο που θα περιμεναμε.