by Κατά την περιγραφή πολλών φυσικών φαινομένων, κάνουμε χρήση συναρτήσεων της μορφής
Παρατηρούμε ότι τα ορίσματα των συναρτήσεων ex, ημx, συνx, lnx που χρησιμοποιούμε, είναι όλα καθαροί αριθμοί. Γιατί συμβαίνει αυτό;
Η συνέχεια εδώ.
Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα, είναι καλό για όλους…
Καλημέρα Μίλτο.
Δες αυτό:
Αυτά και άλλους λογαρίθμους τάσεων βρίσκουμε στον Ηλεκτρισμό του Αλεξόπουλου στις σελίδες 70 και 71.
Φυσικά μόνο σε ενδιάμεσα βήματα καθώς σε τελικό τύπο δεν θα δούμε λ.χ. lnV ή lnx.
Γεια σου Γιάννη. Ευχαριστώ για την παρέμβαση!
Δεν είναι παρέμβαση Μίλτο, είναι απορία χρόνων.
Πως βγαίνει σωστό αποτέλεσμα και με νόημα από ένα ενδιάμεσο βήμα που Μαθηματικά δεν έχει νόημα;
Υπονοείται κάτι (μια διαίρεση λ.χ. με μέγεθος ίδιας διάστασης) που αποσιωπάται ώστε το κείμενο να είναι σύντομο;
Ξανά τα ίδια:
Τι υπονοείται εδώ;
Ότι οι όγκοι έχουν διαιρεθεί με τη μονάδα όγκου καθώς και το αριστερό σκέλος;
Καταλαβαίνεις φυσικά ότι βάζεις ωραίο θέμα. Διότι:
Ομολογώ Γιάννη ότι δεν με είχαν προβληματίσει οι απορίες σου…θα το ψάξω και ελπίζω να μπορέσω να επανέλθω πιο ουσιαστικά.
Έχεις εντοπίσει κάτι αντίστοιχο και στις άλλες συναρτήσεις που αναφέρω; Είναι δηλαδή κάποια λεπτομέρεια στη φύση του λογάριθμου;
Όχι μόνο στον λογάριθμο έχω συναντήσει το “παράδοξο”.
Και δεν υπάρχει και πρόβλημα διότι οι τελικές σχέσεις δεν παρουσιάζουν προβλήματα διαστάσεων.
Θεωρούμε τα Μαθηματικά ως εργαλείο και αυθαιρετούμε κατά το δοκούν.
Καλησπέρα Μίλτο και Γιάννη. Αν το πρόβλημα είναι με τις μονάδες (αν δεν κατάλαβα καλά διορθώστε με) σε ένα ανάλογο θέμα που είχαμε στη χημεία με το
pH = – log[H3O+], καταλήξαμε ότι δεν ορίζεται λογάριθμος στις μονάδες μέτρησης, δηλαδή ότι λογαριθμίζεται μόνο η αριθμητική τιμή της συγκέντρωσης οξωνίων. Δεν ξέρω αν βοηθάει αυτό.
Καλησπέρα Θοδωρή και σε ευχαριστώ για τη συμμετοχή!
Μπορείς να βάλεις παραπομπή στη συζήτηση που αναφέρεις;
Μετά από μία σύντομη αναζήτηση, βρήκα το άρθρο Dimensions of Logaritmic Quantities.
Μεταφέρω τον επίλογο.
I would summarize the situation as follows. The problem of taking the logarithm of quantities with units never arises in science. We always require the difference of two logarithms, or the logarithm of a ratio. However because we often seem to write our equations in a sloppy way, omitting important denominators within the argument of logarithms, we confuse ourselves—not to mention our students. The moral is self evident: do not omit the denominators!
καλησπέρα σε όλους
δεν είμαι σίγουρος, Μίλτο, ότι κατάλαβα το ερώτημα,
αλλά καθαρός αριθμός είναι το πηλίκο ομοειδών μεγεθών,
το ημ π.χ. είναι πηλίκο δύο μηκών, οπότε οι μονάδες μέτρησης απλοποιούνται
Γεια σας παιδιά.
Για πολλά χρόνια, τουλάχιστον στα βιβλία φυσικής, η δικαιολόγηση του γεγονότος ότι τα ορίσματα των συναρτήσεων που αναφέρει ο Μίλτος έπρεπε να είναι αδιάστατα μεγέθη ήταν η εξής: Αν π.χ. στην ex μπορούσε το x να είχε διαστάσεις τότε θα υπήρχε το e3s και θα ήταν προφανώς διαφορετικό από το e3m κλπ με αποτέλεσμα αδυναμία ορισμού της ex γενικά.
Η εμπειρία λέει ότι περνά πολύ καλά και εύκολα στα παιδιά.
Καλημέρα Βαγγέλη, καλημέρα Άρη, καλημέρα σε όλους και καλό μήνα!
Βαγγέλη, προσπαθώ να αιτιολογήσω όχι το γιατί το ημ είναι καθαρός αριθμός, αλλά γιατί το όρισμα του είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή το x.
Άρη, δεν θα υποστήριζα ότι ο τρόπος που παρουσιάζω ενδείκνυται για τους μαθητές! Φυσικά, ο τρόπος που αναφέρεις – αν και δεν μου φαίνεται πολύ αυστηρός – σίγουρα είναι ευκολότερα αποδεκτός από τους μαθητές.
Καλημέρα Μίλτο, καλημέρα σε όλους και καλό μήνα.
Ωραίος προβληματισμός Μίλτο, που παραπέμπει σε μια συνήθεια μαθητών, που …δεν επιτρέπουμε!
Δηλαδή είναι πολύ βολικό στους μαθητές, όταν έχουν να λύσουν μια εξίσωση στη φυσική, να αντικαθιστούν τα μεγέθη με αριθμούς (τα ορίσματα …) και να λύνουν μια αλγεβρική εξίσωση.
Γιάννη, ρωτάς παραπάνω τίνος μεγέθους είναι η παράγωγος το 1/υ;
Δεν είναι η παράγωγος του χρόνου ως προς τη θέση (dt/dx); Είναι κάτι άλλο;