by 
Σώμα μάζας m ηρεμεί κρεμασμένο στο ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς D. Απομακρύνουμε το σώμα κατά x = d από τη θέση ισορροπίας του και το αφήνουμε ελεύθερο. Θετική φορά προς τα πάνω. Το σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση, μικρής απόσβεσης, με δύναμη επαναφοράς F = –Dx και δύναμη απόσβεσης Fαπ = –bυ . Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δίνοντας σύντομη δικαιολόγηση.
Αυτό που θίγεις Γιάννη, είναι το μεγάλο πρόβλημα. Στο βωμό του να είναι τα νούμερα εύκολα και να βγαίνουν τα ερωτήματα εύκολα στους ασκησιο-κατασκευαστές, τα θέματα φυσικής έχασαν την επαφή τους με την πραγματικότητα, έγιναν… αφύσικα. Θυμίζω τις κατακόρυφες ράβδους του ενός κιλού και του ενός μέτρου, σε μαγνητικά πεδία 1 και 2Tesla, να πιάνουν οριακές ταχύτητες διανύοντας κάποια μέτρα…
Αλλά για αυτά δεν φταίει το μοντέλο ης φθίνουσας με μικρές σταθερές απόσβεσης.. Αν είναι να διδαχθεί η φθίνουσα σε μαθητές Λυκείου, μόνον σε αυτήν της την προσέγγιση μπορεί να γίνει, και πρέπει να διδαχθεί.
Ένα χουμοριστικό Στάθη που είχα γράψει το 2011:
Ασκήσεις με υπερ-βολικά νούμερα.
Και εδώ:
Καλησπέρα Στάθη. Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό. Το βιβλίο μιλάει για μικρή απόσβεση. Πόσο μικρή; Που το καθορίζει; Αν b = 2kg/s είναι μικρή; Από τι εξαρτάται;
Η θεωρία λέει ότι μικρή απόσβεση σημαίνει Λ<ω0 ή b < 2mω0
Κάτω από αυτή την τιμή, έχουμε άπειρες φθίνουσες που η ενέργεια δεν μειώνεται εκθετικά. Εφόσον δεν δίνονται συγκεκριμένες τιμές στο σχολικό βιβλίο και αναφέρεται σε κάθε φθίνουσα, είναι λάθος.
Για παράδειγμα
k = 100N/m, m = 1kg, d = 2m, b = 2kg/s.
Η γραφική παράσταση είναι αυτή
Στο συγκεκριμένο παράδειγμά σου, θα έβαζα τη λεζάντα του βιβλίου. Η ενέργεια της ταλάντωσης δε μειώνεται εκθετικά, αλλά στην κλίμακα της σχεδίασης δεν φαίνεται.
Καλημέρα .
Στάθη στο παράδειγμα σου γράφεις «Υποθέτουμε ότι η δύναμη απόσβεσης ικανοποιεί τον νόμο του Stokes»
Τροποποιώ παλαιότερο σχόλιο μου σε άλλη ανάρτηση
Είναι γνωστό ότι ο νόμος του Stokes (Fαντ = -6πηrυ) ισχύει με την προϋπόθεση ότι ο αριθμός Reynolds Re=2rρυ/η για την ροή του ρευστού γύρω από την σφαίρα είναι << 1 (r,υ ακτίνα και ταχύτητα σφαίρας , ρ,η πυκνότητα και ιξώδες ρευστού).. Δηλαδή πρέπει η ταχύτητα της σφαίρας να είναι υ << η/2rρ. Μπορούμε να βρούμε ότι για τον αέρα σε θερμοκρασία 20οC είναι η/ρ = 0,15cm2/s. Οπότε για μια σφαίρας με r = 3cm προκύπτει ότι για να είναι η αντίσταση από τον αέρα ανάλογη της ταχύτητας θα πρέπει η ταχύτητα της μπάλας να είναι υ << 0,25mm/s ! (Για κίνηση σφαίρας στο νερό η κατάσταση είναι πολύ ‘χειρότερη’ γιατί για το νερό στους 20οC η/ρ = 0,01cm2 /s)
Συνεπώς στο παράδειγμα σου μπορούμε να δεχτούμε ότι ισχύει ο νόμος του Stokes;
Πέρα όμως από την επισήμανση αυτή , συμφωνώ με το πνεύμα του σχολίου σου. Είχα παλαιότερα προτείνει ότι η εκθετική μείωση της ενέργειας στην φθίνουσα ταλάντωση πρέπει να αντιμετωπίζεται όπως ο τύπος της περιόδου μαθηματικού εκκρεμούς που είναι επίσης προσεγγιστικός.
ΥΓ Με την ευκαιρία να σημειώσω ότι το σχήμα της αρχικής ανάρτησης παραπέμπει σε μια λανθασμένη πειραματική διαδικασία.
Καλημέρα Δημήτρη
Έχεις δίκιο ότι η ροή του ρευστού πέριξ της σφαίρας δεν είναι ροή Stokes στην περίπτωση αυτή. Για αυτό έγραψα το “υποθέτουμε δύναμη Stokes” και χρησιμοποίησα την έκφραση “μοντέλο της φθίνουσας”.
Θεωρώ (και για αυτό έγραψα το πρώτο σχόλιο) ότι πέραν από την ακρίβειά του, το μοντέλο είναι εξαιρετικό ως μία εισαγωγή, μέσω της μηχανικής, στην εκθετική μείωση. Συνεπώς συμφωνώ και με την προτάσή σου να χρησιμοποιείται ο προσεγγιστικός τύπος της εκθετικής μείωσης της ενέργειας, σε μια πρώτη προσέγγιση.
Καλημέρα Ανδρέα,
Το σχολικο βιβλίο όντως παρουσιάζει την θεωρία της φθίνουσας ταλάντωσης με πολλές αοριστίες. Ίσως επίτηδες, γιατί επιλέγει διδακτικά να μην εμβαθύνει. Τα δε θέματα των πανελληνίων από όσο θυμάμαι κινούνται επίσης στα ίδια όρια.
Στην φθίνουσα που παρουσιάζεις στο σχόλιό σου, έχουμε το διάγραμμα της ενέργειας με τα γνωστά “σκαλοπάτια”. Τι θα συμβεί αν διδακτικα τα αγνοήσουμε και διδάξουμε ότι η ενέργεια κατά προσέγγιση ελαττώνεται εκθετικά με τον χρόνο; Ειλικρινά δεν κατανοώ το πρόβλημα.
Για παράδειγμα στην επαγωγή και τις κινούμενες ράβδους τί κάνουμε; Δεν επιλέγουμε εξωπραγματικά νούμερα και εξωπραγματικές διαστάσεις ραβδών και αγωγών (σε σημείο αηδίας κάποιες φορές) για να εξυπηρετήσουμε έναν διδακτικό σκοπό;
Παλαιότερα δεν ήταν στην ύλη ταλάντωση με άνωση, μέσα σε υγρά; Και εκεί προσέγγιση γινόταν και μάλιστα χονδροειδέστατη. Εξυπηρετούσε όμως έναν διαδακτικό σκοπό, να δείξουμε ότι ταλαντώσεις προκύπτουν και σε άλλα μηχανικά συστήματα πέραν των ελατηρίων.
Στο σύστημα ελατηρίου -μάζας, δεν πρέπει να λάβουμε υπόψιν μας, αν θέλουμε να κυριολεκτήσουμε, την ενεργό μάζα του συστήματος (την διόρθωση λόγω της μάζας του ελατηρίου, που σε κάποιες ασκήσεις έχουν φυσικό μήκος της τάξεως των μέτρων…); Δεν το κάνουμε όμως, επιλέγοντας το μοντέλο του ιδανικού ελατηρίου, κρατώντας την μαθηματική ανάλυση του φαινομένου βατή.
Θεωρώ ότι αυτό συμβαίνει και στην φθίνουσα. Είναι ένα μοντέλο, με τα καλά του και με τις αστοχίες του, αλλά διδακτικά εξυπηρετεί τον σκοπό του.
Καλημέρα Στάθη. Συμφωνώ μαζί σου στο ότι αν είναι να διδάξουμε στη φθίνουσα τη μείωση της ενέργειας ως εκθετική, πρέπει να εξηγούμε στους μαθητές ότι μιλάμε κατά προσέγγιση.
Πρόβλημα επίσης είναι και ο ορισμός του πλάτους στη φθίνουσα. Πόσοι μαθητές καταλαβαίνουν τι είναι; Οι περισσότεροι θεωρούν τη μέγιστη θετική απομάκρυνση. Εσύ πως τους το εξηγείς όταν νομίζουν ότι το πλάτος υπάρχει μόνο τις χρονικές στιγμές kT, όταν η περιβάλλουσα αγγίζει τη γραφική παράσταση.
Πρέπει να μπει ένα φρένο στις λάθος ασκήσεις που αναγκάζονται να λύνουν τα παιδιά με λογαριθμήσεις και εκθετικές μειώσεις, χάνοντας ουσιαστικά σημεία του φαινομένου. Εμείς που διδάσκουμε στη Γ΄πρέπει να υπενθυμίζουμε το πρόβλημα κυρίως για τους θεματοδότες, να είναι προσεκτικοί στις φθίνουσες και στις εξαναγκασμένες.
Γεια σας παιδιά.
Θα μου πείτε ότι τα ρεαλιστικά συστήματα έχουν μικρότερες αποσβέσεις οπότε η προσέγγιση είναι καλή. Λίγα λεπτά να γράψω τη συνέχεια…..
Η συνέχεια….
