by 
Ένα διαστημόπλοιο εκτοξεύεται από τη Γη με σκοπό να φτάσει στη Σελήνη. Υποθέτουμε ότι η Σελήνη περιφέρεται σε κυκλική τροχιά γύρω από τη Γη και βρίσκεται βαθιά μέσα στη σφαίρα βαρυτικής επιρροής της Γης, οπότε αγνοούμε την επίδραση του Ήλιου.
Α΄μέρος: Η τροχιά parking και το παράθυρο εκτόξευσης
Μετά την εκτόξευση από την επιφάνεια της Γης, πρέπει να τοποθετήσουμε το διαστημόπλοιο σε μια κυκλική τροχιά (τροχιά parking) σε ύψος h = 200m γύρω από τη Γη, όπου θα περιφέρεται για να γίνουν τεχνικοί έλεγχοι. Κάποια κατάλληλη στιγμή θα πρέπει να πυροδοτηθούν οι κινητήρες. Η καύση αυτή ονομάζεται TLI (Trans‑Lunar Injection). Το διαστημόπλοιο θα ακολουθήσει μια ελλειπτική τροχιά (τροχιά μεταφοράς Hohmann) γύρω από τη Γη, με το περίγειό της στην τροχιά parking και το απόγειο στην τροχιά της Σελήνης. Παρατηρείστε και το σχήμα 1.
Δίνονται:
η βαρυτική παράμετρος Γης: μΓ = GMΓ ≈ 642 ⸱1011 m3/s2, η ακτίνα της Γης RΓ = 64⸱ 105m η περίοδος περιφοράς της Σελήνης γύρω από τη Γη TΣ = 28ημέρες και η περίοδος τροχιάς μεταφοράς Hohmann Τμ = 6ημέρες.
α) Ποια είναι η ταχύτητα υp του διαστημοπλοίου στην αρχική κυκλική τροχιά γύρω από τη Γη;
β) Υπολογίστε την γωνία ΔθΣ που προσδιορίζει τη θέση της Σελήνης τη στιγμή της εκτόξευσης, για να γίνει η συνάντηση μετά από χρόνο πτήσης μισής περιόδου, στην τροχιά μεταφοράς.
Β΄μέρος: Το ταξίδι
Για να φτάσει το διαστημόπλοιο στη Σελήνη, πρέπει να μπει στην ελλειπτική τροχιά Hohmann, που είδαμε στο Α΄μέρος. Θέτει σε λειτουργία τους κινητήρες και κάνει μια μεγάλη καύση, μέχρι να αποκτήσει ταχύτητα √126km/s ≈ 11,22km/s. Η τροχιά του τότε αλλάζει, μετατρέπεται σε τροχιά μεταφοράς Hohmann και το σημείο εκκίνησης είναι πλέον το περίγειο της ελλειπτικής αυτής τροχιάς (σχήμα 1). Δίνονται:
η βαρυτική παράμετρος της Γης μΓ = GMΓ ≈ 642 ⸱1011 m3/s2, η ακτίνα της Γης RΓ = 64⸱ 105m και η απόσταση από το σημείο εκκίνησης μέχρι την τροχιά της Σελήνης r = 60RΓ
α) Αν η μέση μάζα του διαστημοπλοίου είναι m = 103kg, βρείτε την αύξηση Δv της ταχύτητας και την ενέργεια που δαπανήθηκε καίγοντας το καύσιμο.
β) Με ποια ταχύτητα φτάνει το διαστημόπλοιο στην τροχιά της Σελήνης;
γ) Όταν το διαστημόπλοιο φτάσει στην τροχιά της Σελήνης ποιo από τα παρακάτω πρέπει να κάνει για να συλληφθεί από το βαρυτικό πεδίο της Σελήνης και να γίνει δορυφόρος της σε ύψος h = 200m από την επιφάνειά της;
i) Τίποτα. Η ταχύτητα που έχει είναι πολύ μικρή και θα γίνει ούτως ή άλλως δορυφόρος.
ii) Με αυτή την ταχύτητα θα προσπεράσει τη Σελήνη.
iii) Θα πρέπει να κάνει μια καύση, ώστε να αυξήσει την ταχύτητά του.
iv) Θα πρέπει να κάνει μια καύση, ώστε να μειώσει την ταχύτητά του.
Δικαιολογείστε την απάντησή σας.
Δίνονται: η ακτίνα της Σελήνης RΣ = 17⸱105km, η βαρυτική παράμετρος της Σελήνης μΣ ≈ 4,9⸱109m3/s2 και η ταχύτητα περιφοράς της Σελήνης γύρω από τη Γη υΣ = 1km/s.
Το “ταξίδι” αφιερώνεται στον Άρη Αλεβίζο, που τα σχόλιά του στη βαρύτητα, με έμαθαν πολλά.
Καλησπέρα Αντρέα και καλή σου χρονιά.
Μόλις είδα την αφιέρωσή σου, σε ευχαριστώ πολύ.
Άλλη μια προσπάθειά σου να κινήσεις το ενδιαφέρον των μαθητών σου.
Θα το δω αναλυτικά.
Καλημέρα Ανδρέα και συγχαρητήρια για την παραπάνω ανάρτηση.
Πολύ ενδιφέρουσα ανάρτηση, που ελπίζω να την εκτιμήσουν και οι μαθητές σου ανάλογα.
Γεια σου Αντρέα.
Ένα «ορθογραφικό» λάθος πρώτα. Στις πράξεις στο β ερώτημα του Β μέρους από την δεύτερη σειρά και μετά είναι προφανώς uαπ=….. και όχι uπερ=….
Όσον αφορά στο γ ερώτημα του Β μέρους ισχύουν τα εξής.
Υπάρχει το γεγονός ότι δεν υπάρχει η σχετική ταχύτητα στην ύλη αλλά κρίνεις ότι το ξεπερνάς εμπειρικά.
Όμως ο παρατηρητής στη σελήνη δεν βλέπει την αλλαγή της ταχύτητα αλλά ένας ακίνητος παρατηρητής.
Όπως ξέρεις για το flyby γενικά έχουμε.
Επομένως η ενέργεια που βρίσκεις αφορά ένα αδρανειακό σύστημα.
Προφανώς τα προηγούμενα είναι λεπτομέριες σε σχέση με την τεράστια προσπάθειά σου διαχρονικά για την διδασκαλία της Αστρονομίας δεδομένου ότι πολλοί μαθητές δυστυχώς δεν γνωρίζουν τίποτα για τους δορυφόρους, τις διαστημικές αποστολές αλλά και τα βασικά της κίνησης των ουράνιων σωμάτων.
Να είσαι πάντα καλά.
Καλησπέρα συνάδελφοι. Σας ευχαριστώ.
Διονύση, η εκτίμηση ίσως ήταν μεγαλύτερη αν έκανα …Στερεό ή Ταλαντώσεις.
2 – 3 σε κάθε τμήμα έχουν καταλάβει ότι η Φυσική προσφέρει γνώσεις, που η αξία τους δεν μετράται μόνο με την επιτυχία σε ενα διαγωνισμό ακόμη και αν είναι Πανελλαδικός. Οι υπόλοιποι…
Άρη το ανησυχητικό είναι ότι ναι μεν δεν γνωρίζουν τίποτα, αλλά δεν έχουν διάθεση να μάθουν. Βλέπουν μπροστά τους έναν δάσκαλο, που έχει πολύ διάθεση να τους μάθει, να τους ανοίξει τα μάτια και μάλιστα χωρίς φόβο βαθμολόγησης. Και κάθονται σαν ρομπότ. Καμία ερώτηση, καμία απορία. Περιμένουν το κουδούνι για να παίξουν με το κινητό…
Όντως είχα ορθογραφικό λάθος.
Για τη λύση που έδωσα, προβληματίστηκα αρκετά.
Ο παρατηρητής που «κάθεται» στη Σελήνη κινείται σε κυκλική τροχιά γύρω από τη Γη, υφίσταται κεντρομόλο επιτάχυνση, άρα το σύστημά του είναι μη αδρανειακό. Φυσικά αυτό ισχύει για κάθε πλανήτη.
Για το ερώτημα “Θα συλληφθεί το διαστημόπλοιο από τη Σελήνη;” μας ενδιαφέρει το πρόσημο της μηχανικής ενέργεια του διαστημοπλοίου ως προς το βαρυτικό πεδίο της Σελήνης. Πως θα τη βρούμε; Θεωρούμε τοπικά προσεγγιστικά αδρανειακό σύστημα, αρκει να έχουμε αποστάσεις μικρές σε σχέση με τις αποστάσεις από τρίτα σώματα και μικρές χρονικές διάρκειες καύσης κινητήρα.
Βαρυτική σύλληψη σημαίνει Εμηχ < 0 Σεληνοκεντρικά. Η εξίσωση του σχολικού βιβλίου για τη δυναμική ενέργεια, προϋποθέτει κεντρικό βαρυτικό πεδίο, άρα προϋποθέτει σύστημα με αρχή το κέντρο μάζας της Σελήνης.
Καλησπέρα Αντρέα.
Πράγματι αναγκασμένοι να κάνουμε προσεγγίσεις προβληματιζόμαστε σε κάθε τέτοια περίπτωση.
Θεωρώντας ότι το σώμα είναι πολύ κοντά στη σελήνη και άρα κατά προσέγγιση μπορούμε να αγνοήσουμε την επίδραση της γης και ο τύπος που χρησιμοποιείς για την δυναμική θεωρώ είναι σωστή, Σεληνοκεντρική όπως λες. Από εκεί και πέρα ο παρατηρητής στη σελήνη θεωρεί ότι το σώμα θα διατηρεί την ταχύτητά του (κάθετη στην ακτίνα). Κάποιος «αδρανειακός» π.χ. στη γη που βλέπει και την ταχύτητα περιφοράς της Σελήνης βλέπει την αλλαγή στην ταχύτητα. Στις εικόνες όπως βλέπουμε που αφορούν πλανήτες βλέπουμε τις ταχύτητες διαστημοπλοίου ως προς τον πλανήτη και ως προς τον ήλιο.
Αυτά νομίζω.