ελατήριο ΑΑΤ

Επάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο βρίσκονται ακίνητα τα σώματα Σ1 και Σ2 που είναι δεμένα στα άκρα ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 400 N/m. Το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος l₀. Οι μάζες των σωμάτων είναι m₁ , m₂ = 3kg αντίστοιχα. Κρατάμε το Σ2 ακίνητο και μετακινούμε το Σ1 κατά τον άξονα του ελατηρίου έτσι ώστε το ελατήριο συσπειρώνεται κατά d. Κρατώντας το Σ2 ακίνητο, τη στιγμή t₀ = 0 αφήνουμε το Σ1 ελεύθερο να κινηθεί. Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του Σ1 δίνεται από τη σχέση : dK/dt = 80 ημ(20t) συν(20t).
Γ1) Εξηγήστε την κίνηση του Σ1.
Γ2) Σχεδιάστε την γραφική παράσταση της ταχύτητας του Σ1 καθώς και της δύναμης που δέχεται το Σ2, συναρτήσει του χρόνου.
Κάποια στιγμή που το ελατήριο έχει την μέγιστη επιμήκυνση, αφήνουμε το Σ2 ελεύθερο να κινηθεί.
Γ3) Βρείτε τις αρχικές επιταχύνσεις των σωμάτων.
Γ4) Υπολογίστε την μέγιστη ταχύτητα κάθε σώματος καθώς αυτά κινούνται καθώς και την δυναμική ενέργεια του ελατηρίου εκείνη τη στιγμή.
Κάποια στιγμή που το Σ1 περνά από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο προς τα αριστερά, αφήνουμε το Σ2 ελεύθερο να κινηθεί.
Γ5) Βρείτε τις ταχύτητες των σωμάτων τη στιγμή που το ελατήριο έχει την μεγαλύτερη δυναμική ενέργεια.
Το ελατήριο είναι συσπειρωμένο ή επιμηκυμένο;
Γ6) Τη στιγμή που το Σ2 έχει ταχύτητα με κατεύθυνση προς τα αριστερά και μέτρο 1 m/s, πόση ταχύτητα έχει το Σ1 και πόση δυναμική ενέργεια έχει το ελατήριο;
θετική προς τα δεξιά

Μια λύση είναι :

Γ1) το Σ1 δέχεται από το ελατήριο δύναμη που είναι ανάλογη της μεταβολής του μήκους του 

η δύναμη αυτή είναι ανάλογη της επιτάχυνσης του Σ1 από τη σχέση : ΣF = m α => – k x = m α  

επειδή δίνεται η σχέση του ρυθμού μεταβολής της κινητικής ενέργειας dK/dt = 80 ημ(20t) συν(20t)  έχουμε  ω = 20 rad/s

οπότε  ω² = k / m₁ =>  400 = 400 / m₁  => m₁ = 1 kg    

θετική προς τα δεξιά     x(t) = d ημ(20t + π/2)    υ(t) = 20d συν(20t + π/2)     a(t) = – 400d ημ(20t + π/2) = – 400 x(t)   

Γ2)   ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας 

 dK/dt = m₁ v a  =  1  20d συν(20t + π/2)  [ – 400d ημ(20t + π/2) ] = – 8000 d² ημ(20t + π/2) συν(20t + π/2)  =

  = – 8000 d² συν(20t) [- ημ(20t) ] = +8000 d² συν(20t) ημ(20t) 

από την άσκηση   dK/dt = 80 ημ(20t) συν(20t)   συμπεραίνουμε ότι  8000 d² = 80  => d = 0,1 m = 10 cm   αρχική συσπείρωση του ελατηρίου   

οπότε   x(t) = d ημ(20t + π/2)  =  0,1 συν(20t) 

υ(t) = 20d συν(20t + π/2) => υ(t) = 2 συν(20t + π/2) = – 2 ημ(20t)     

α(t) = – 400d ημ(20t + π/2) = – 40 ημ(20t + π/2)  = – 40 συν(20t)

ΣF_x = m₁ α =>  F_ελ =  1  [ – 40 ημ(20t + π/2) ] = – 40 συν(20t)   δέχεται το Σ1 από το ελατήριο

το Σ2 δέχεται από το ελατήριο δύναμη   F_ελ‘ = + 40 συν(20t)   το Σ2 είναι συνεχώς ακίνητο

Γ3) 

 τη στιγμή που αφήνουμε το Σ2 ελεύθερο να κινηθεί  το ελατήριο έχει την μεγίστη επιμήκυνση  0,1 m   οπότε το Σ1 είναι ακίνητο 

το Σ1 δέχεται δύναμη από το ελατήριο προς τα δεξιά  με μέτρο  F_ελ = 400 N/m  0,1 m = 40 N   ενώ  το Σ2  προς τα αριστερά    

τότε το Σ1 θα κινηθεί προς τα δεξιά με επιτάχυνση μέτρου  α₁ = 40 Ν / 1 kg = 40 m/s² 

και   το Σ2 θα κινηθεί προς τα αριστερά με επιτάχυνση μέτρου  α₂ = 40 Ν / 3 kg = 40/3 m/s²  

Γ4) 

διατήρηση ορμής :  0 = m₁ υ₁ + m₂ υ₂ => 0 = 1 υ₁ + 3 υ₂ => υ₁ = -3υ₂  οι ταχύτητες των σωμάτων θα είναι αντίρροπες συνεχώς  

διατήρηση ενέργειας :  ½ k d² = ½ k x² + ½ m₁ υ₁² + ½ m₂ υ₂² =>  400 d² = 400 x² + 1 (- 3υ₂ )² + 3 υ₂² => 400 ( d² – x² ) = 12 υ₂² => 100 ( d² – x² ) = 3 υ₂² 

 η μεγαλύτερη τιμή της ταχύτητας  υ₂  είναι όταν  x = 0   οπότε   100  0,1²   = 3 υ₂² =>  |υ₂| = 1/√3 m/s   

 αν  υ₂ = – 1/√3 m/s  το Σ2  κινείται προς τα αριστερά τότε  υ₁ = +√3 m/s   το Σ1 κινείται προς τα δεξιά

 αν  υ₂ = + 1/√3 m/s  το Σ2  κινείται προς τα δεξιά  τότε  υ₁ = – √3 m/s   το Σ1  κινείται προς τα αριστερά

   όταν  x = d = ± 0,1m  τότε  υ₂ = 0    οπότε  υ₁ = 0 

Γ5) 

 τη στιγμή που αφήνουμε το Σ2 ελεύθερο να κινηθεί  το Σ1 περνά από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο προς τα αριστερά,  το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος    

η ταχύτητα του Σ1 θα έχει μέτρο  2 m/s προς τα αριστερά  

 διατήρηση της ορμής :  m₁ υ₀ = m₁ υ₁ + m₂ υ₂ => 1 (- 2) = 1 υ₁ + 3 υ₂  => υ₁ = – 2 – 3υ₂ 

 διατήρηση της ενέργειας :   ½ m₁ υ₀²  =  ½ k d²  =  ½ k x²  +  ½ m₁ υ₁²  +  ½ m₂ υ₂²  => 

=>  400 d²  =  400 x² + 1 (- 2 – 3υ₂ )²  + 3 υ₂²  =>  400  0,1²  =  400 x²  + 4  + 12 υ₂  + 9 υ₂² + 3 υ₂² => 

=> 4 = 400 x² + 4 + 12 υ₂ + 9 υ₂² + 3 υ₂²  => 0 = 400 x² + 12 υ₂ + 12 υ₂²  =>  υ₂² + υ₂  + 100/3 x²  =  0    

Δ = 1 – 400/3 x²  ³  0  =>  – 400/3 (x – √3/20) (x + √3/20) ³  0  =>  x – √3/20  £  0  => – √3/20 m £  x  £ √3/20 m  

η μέγιστη μεταβολή μήκους του ελατηρίου είναι  √3/20 m  όταν  Δ = 0, 

τότε το τριώνυμο έχει  δύο ίσες ρίζες   υ₂ = – β/2α = -1/2 = – 0,5 m/s 

  οπότε    υ₁  = – 2 – 3 υ₂ = – 2 – 3 (- 0,5) = – 0,5 m/s   

τα σώματα κινούνται προς τα αριστερά  με ίσες ταχύτητες  το ελατήριο είναι επιμηκυμένο 

η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου είναι    ½ k x²  =  ½  400  (√3/20)²  =  200  3/400  = 1,5 J

  ½ m₁ υ₁²  =   ½  1   0,5²  =  1/8 J      ½ m₂ υ₂²  =  ½   3   0,5²  =  3/8 J     

  συνολικά   1,5  +  1/8  +  3/8  =  2 J  =  ½  1  2²  =   ½ 400  0,1²   

Γ6) 

 από διατήρηση ορμής έχουμε   υ₁ = – 2 – 3 υ₂ = – 2 – 3 (- 1)  = +1 m/s   το Σ1 κινείται προς τα δεξιά

 διατήρηση της ενέργειας :   ½ m₁ υ₀²  =  ½ k d²  =  ½ k x²  +  ½ m₁ υ₁²  +  ½ m₂ υ₂²  => 

 => 400  0,1² = 400 x² + 1  1² + 3 (- 1)²  =>  4 = 400 x² +  4  =>  x = 0   το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος