by 
Προσπαθούμε να στηρίξουμε μια σκάλα, της οποίας το κέντρο μάζας ταυτίζεται με το μέσον της, πάνω σε ένα απολύτως λείο οριζόντιο δάπεδο και σε ένα λείο κατακόρυφο τοίχο με τη βοήθεια ενός σχοινιού που το δένουμε ακριβώς στη μέση της και στην κορυφή της γωνίας Α μεταξύ δαπέδου και τοίχου. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή και γιατί;
α) Η σκάλα είναι δυνατό να ισορροπήσει με μια κατάλληλη τιμή της τάσης του σχοινιού που εξαρτάται από τη γωνία σκάλας – δαπέδου.
β) Η σκάλα είναι αδύνατο να ισορροπήσει για οποιαδήποτε τιμή της τάσης του σχοινιού (δηλαδή όσο τεντωμένο κι αν είναι το σχοινί) και για οποιαδήποτε γωνία με το δάπεδο.
Το θέμα είναι αναρτημένο, εδώ.
Kαλησπερα σε ολους. Σκεφτηκα μια αλλη δικαιολογηση για την ασκηση . Υσχυουν οι εξης δυο ισοδυναμες προτασεις.
“Αν ενα στερεο ισορροπει τοτε το κεντρο μαζας ειναι ακινητο.”
“Αν το κεντρο μαζας δεν ειναι ακινητο,τοτε το στερεο δεν ισορροπει.”
Επισης γνωριζουμε οτι το κεντρο μαζας κανει την κινηση ενος υλικου σημειου με μαζα οση και η μαζα του στερεου,αν ασκησουμε πανω του ολες τις δυναμεις που ασκουνται στο στερεο.
Oμως το κεντρο μαζας κινειται πανω σε τεταρτοκυκλιο.(αριστερο σχημα) Αρα ενα υλικο σημειο με την μαζα της σκαλας αν ασκησουμε πανω του τις ιδιες δυναμεις θα κινηθει πανω στον κυκλο. (δεξι σχημα). Τριβες δεν υπαρχουν. Αρα αν στο υλικο σημειο που κινειται σε κυκλο μιας επιφανειας προσθεσουμε μια δυναμη Τ καθετη στον κυκλο,τοτε αυτο αποκλειεται να ισορροπησει. Αρα το κεντρο μαζας της σκαλας αποκλειεται να μεινει ακινητο.. Αρα και η σκαλα αποκλειεται να ισορροπησει.
Καλησπέρα Κωνσταντίνε.
Σωστή σκέψη.
Καλησπέρα.Ας υποθέσουμε αρχικά ότι δεν υπάρχει νημα και αφήνουμε την σκάλα υπο γωνία. Η σκάλα αρχίζει να γλυστρά. Το cm διαγράφει τοξο ακτίνας R = L/2. δηλ μεταφέροντας τις τρεις δυνάμεις στο cm πρέπει να δωσουν συνισταμένη πάνω στην ακτίνα με φορά προς το κέντρο Α. Η κεντρομόλος. Αν τώρα υπάρχει νήμα θα έχει προφανώς μήκος = R = L/2. Το νήμα δεν θα μπορεί να τεντωσει για να εμφανιστει τάση. Επομένως η υπαρξη του νήματος δεν μπορει να ισορροπήσει την ράβδο.
Καλησπερα Γιωργο. Το κεντρο μαζας ομως καθως η σκαλα αρχιζει να γλιστραει,εχει και επιτροχια επιταχυνση αρα η συνθεση των τριων δυναμεων δεν θα εχει φορα προς το κεντρο. Εκτος αν δεν καταλαβα τι εννοεις.
Γεια σου Κωνσταντίνε.Ναι έχεις δικιο.
Με ενδιααφέρει η συνιστωσα της συνισταμένης τους πάνω στην ακτινα για να δικαιολογήσω ότι δεν υπάρχει συνιστωσα προς τα έξω που να δικαιολογει το τεντωμα του νηματος και επομένως εμφανιση τάσης. Αυτό είχα υποψη και στο πρωτο σχολιο μου με αφορμή το δικό σου λέγοντας ότι το νημα δεν μπορει να τεντωσει για να εμφανιστει ταση.
Καλησπέρα σε όλους.
Μια και η συζήτηση φτάνει στο τέλος της, θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά
όλους όσοι συμμετείχαν. Με τον έναν ή τον άλλο τρόπο, ο καθένας πρόσθεσε ένα
λιθαράκι στην κατανόηση του προβλήματος.
Τον Γιάννη, για τη γεωμετρική προσέγγιση με το μήκος του σχοινιού, που
δείχνει πόσο όμορφα μπορεί να αποφευχθεί ο φορμαλισμός των δυνάμεων.
Τον Κωνσταντίνο, που έθεσε το κρίσιμο ερώτημα για τη θέση στο μέσο της
σκάλας και που με τις ισοδύναμες προτάσεις του για το κέντρο μάζας έδωσε μια
κομψή και αυστηρή δικαιολόγηση.
Τον Γιώργο, που με την παρατήρηση για το τόξο ακτίνας L/2 και το αδύνατο
του τεντώματος του νήματος έκλεισε τον κύκλο της φυσικής ερμηνείας, αλλά και
για την ειλικρινή του διάθεση να συζητήσει και να διορθώσει τις λεπτομέρειες.
Τον Παντελή, τον Ανδρέα και τον Χρήστο, για την ενθάρρυνση και τις
εύστοχες παρατηρήσεις τους, που κράτησαν ζωντανό το ενδιαφέρον.
Το συμπέρασμα στο οποίο καταλήξαμε — ότι ένα σχοινί δεμένο στο μέσο μιας
σκάλας χωρίς τριβές δεν μπορεί να προσφέρει ισορροπία, αφού το μήκος του
ταυτίζεται με την ακτίνα της τροχιάς του κέντρου μάζας και άρα δεν τεντώνεται
ποτέ — είναι διδακτικότατο. Μας θυμίζει ότι συχνά η φυσική σημασία προηγείται
των εξισώσεων και ότι ένα καλό «Β θέμα» αξίζει τη συζήτηση που γεννά.
Ευχαριστώ και πάλι όλους.
Καλό βράδυ
Καλημέρα και Καλό Σαββατοκύριακο.
Μια πολύ ενδιαφέρουσα ανάρτηση η οποία σε συνδυασμό με όσα συζητήθηκαν προσφέρει πολλά στη σκέψη μας και στην αναλύση μας . Αρχικά οι απαντήσεις , από τον κ. Τζανόπουλο , για τη λύση του θέματος είναι εύστοχες και εύκολα κατανοητές .
Το σχόλιο του Γιάννη “Ένα σχοινί τραβάει μόνο αν υπάρχει τάση να μακρύνει ” είναι πολύ σημαντικό στην ανάλυση του θέματος .
Αναρωτιέμαι το εξης : Αρχικα κάποιος κρατάει τη σκάλα σε κάποια θέση και ένας άλλος διαθέτει ένα σκοινί το δένει στη σκάλα και μετά το δένει στο σημείο που ο κατακορυφος τοιχος συναντα το έδαφος με τέτοιο τρόπο ώστε το σκοινί να είναι τεντωμένο. Στη συνέχεια αφήνουμε τη σκάλα ελεύθερη .
Βλέπουμε από την ανάλυση που έχει προηγηθεί ότι αν το δέσουμε κατω από το cm θα έχουμε ισορροπία . Προθέτω ένα σχήμα στο οποίο έχω σχεδιάσει τις δυνάμεις να διέρχονται από το ίδιο σημείο , να πω ότι βρίσκω τη συνισταμένη των δυνάμεων από τον κατακόρυφο τοίχο Ν1 και της δύναμης από το δάπεδο Ν2
.
Στη συνέχεια αν δέσω το σκοινι στο cm τότε όπως έχει δεικτεί δεν θα έχουμε ισορροπία. Αναρωτήθηκα το εξής αν η συνισταμενη των Ν1 , Ν2 διέρχεται από το cm τι θα γινόνταν ….. Θα έλεγε κάποιος ότι θα είχαμε ισορροπία , καταλήγω όμως σε άτοπο . Ίσως καπου όμως να κάνω λάθος στη σκέψη μου μιας και είναι φανερό ότι η συνισταμένη της τάσης του νήματος και του βάρους δεν θα διέρχεται από το σημείο Ο που συντρέχουν οι Ν1 , Ν2
Μετά έδεσα το σκοινί πάνω από το cm . Δεν θα έχουμε ισορροπία όπως αναλύεται πολύ σωστά στη λύση. Μάλιστα αν και αρχικά τεντωμένο το νήμα λόγο της τάσης της σκάλας να πέσει , άρα να κοντύνει το νήμα , αμέσως μετά το νήμα ουσιαστικά έχει λυγίσει. Όμως και πάλι έχω κάνει ένα σχήμα με τις δύναμεις να συντρέχουν στο σημείο Σ , που γίνεται λάθος ;
Στο τέλος προσθέτω και ένα σχήμα που έχω δέσει το σκοινί στο cm και έχω σχεδιάσει τη σκάλα σε τρεις διαδοχικές θέσεις από την 1—>2 και από την 2—>3 με το cm της σκάλας να κινείται πάνω σε τεταρτοκύκλιο ακτίνας L/2 . Γίνεται φανερό ότι το μήκος του σκοινιού που είναι δεμένο μεταξύ της ράβδου και του σημείου που ο κατακόρυφος τοίχος συναντά το οριζόντιο δάπεδο μικραίνει .
Γεια σου Κώστα.
Για να πέσει εκεί το Σ και το Λ πάνω από το κέντρο μάζας θα πρέπει η Ν2 να είναι μεγαλύτερη από τη Ν1. Είναι;
Γιαννη αν σκεφτούμε ότι σε κατακόρυφη θεση της σκάλας (ραβδου) η Ν1 έχει μέτρο όσο το βάρος της και η Ν2 =0 τότε για θέση της ράβδου σαν και αυτή που φαίνεται στο σχήμα 3 που εχω ανεβασει μάλλον η Ν1>Ν2 . Επομένως αλλο τι μπορουμε να σχεδιασουμε εμεις και αλλό τι συμβανει στην πραγματικότητα . Αν δεν κάνω λάθος το μέτρο της δυναμης Ν2 ξεκινά από μηδεν μεγαλωνει καθως η ράβδος πεφτει φτανει σε μια μεγιστη τιμή και μετα αρχίζει να μικραίνει μεχρι να μηδενιστεί και πάλι , αμεσως μετά χανεται η επαφή της ράβδου με τον κατακορυφο τοιχο .
Καλημέρα.
Κώστα , Γιάννη αποδεικνύεται ότι στην διάρκεια που η σκάλα-ραβδος γλυστρά και για οσο χρονο ειναι σε επαφή με τοίχο
Ν1=mg.(3συνφ-1).(3συνφ-1)/4
Ν2=3mgημφ(3συνφ-2)/4
φ= γωνία που σχηματίζει η σκάλα με τοίχο.
Παραγωγίζοντας που δεν το έκανα μπορούμε να βρούμε την μέγιστη Ν2 και εκεινη τη στιγμή την Ν1 για σύγκριση.
Η αίσθηση μου είναι ότι η Ν1 που ειναι φθίνουσα είναι διαρκώς μεγαλυτερη από Ν2
Καλημέρα παιδιά.
Η παρατήρηση του Κώστα έχει μεγάλο ενδιαφέρον.
Σκέφτομαι ότι όταν ένα σχήμα καταλήγει σε λάθος τότε είναι λάθος σχήμα.
Κλασικό παράδειγμα το:
Με αυτό αποδεικνύεται ότι μια οξεία γωνία ισούται με μια ορθή.
Και στο σχήμα του Κώστα το σημείο τομής σχεδιάζεται σε λάθος θέση.
Γιώργο, οι τύποι που έδωσες είναι σωστοί, όσο η ράβδος διατηρεί την επαφή της με τον τοίχο και το σχοινί παραμένει γεωμετρικά τεντωμένο, δηλαδή όταν η τάση του είναι οριακά μη μηδενική (πρακτικά σχεδόν μηδενική). Στην περίπτωση αυτή το σχοινί δεν επιβάλλει κάποιον πρόσθετο κινηματικό περιορισμό.
Από τη μελέτη των σχέσεων αυτών προκύπτουν τα ακόλουθα σημαντικά συμπεράσματα:
1. Η αντίδραση N₂ του τοίχου παρουσιάζει μέγιστη τιμή, περίπου 0,23mg, όταν η γωνία είναι φ ≈ 27°. Στη θέση αυτή η αντίδραση N₁ του εδάφους έχει τιμή περίπου 0,70mg.
2. Η ελάχιστη τιμή της N₁ εμφανίζεται λίγο πριν η ράβδος ακουμπήσει στο έδαφος (φ → 90°) και είναι ίση με 0,50mg. Επομένως, η N₁ δεν γίνεται ποτέ μικρότερη από την N₂.
3. Η αντίδραση N₂ του τοίχου μηδενίζεται όταν cosφ = 2/3, δηλαδή για φ ≈ 48,2°.
Κατά συνέπεια, η ράβδος χάνει την επαφή της με τον τοίχο ακριβώς σε αυτή τη γωνία και, από το σημείο αυτό και μετά, οι εξισώσεις της κίνησης πρέπει να τροποποιηθούν, αφού παύει να ισχύει ο περιορισμός της επαφής με τον τοίχο.