by 
Μια λεπτή κυλινδρική ξύλινη ράβδος μήκους L τοποθετείται έτσι ώστε να ακουμπάει στο πάνω άκρο της Ο σε βράχο που προεξέχει από την επιφάνεια του νερού κατά ύψος h. Βρείτε τον ελάχιστο συντελεστή οριακής τριβής μ ανάμεσα στη ράβδο και το βράχο ώστε να ισορροπεί η ράβδος. Δίνονται οι πυκνότητες του νερού ρw και του ξύλου ρ. Το θέμα είναι για διαγωνισμούς φυσικής.
Η λύση στο σύνδεσμο εδώ.
Χαράλαμπε, κάνε κοινόχρηστο το αρχείο, για όσους έχουν τον σύνδεσμο.
Για κάποιο λόγο ενώ βάζω κοινή χρήση είναι η δευτερη ανάρτηση που δεν δίνει αυτή τη δυνατότητα σε όλους. Επλίζω να διορθώθηκε το πρόβλημα με τον καινούριο σύνδεσμο.
Χαράλαμπε, έχω την εντύπωση ότι η Google άλλαξε τις μέρες αυτές τις ρυθμίσεις και τον τρόπο προβολής αλλά και κοινοποίησης ενός αρχείου…
Καλημέρα Χαράλαμπε και συγχαρητήρια για την όμορφη και δύσκολη άσκηση που ανάρτησες!!!
Δυστυχώς η έννοια της Άνωσης, δεν διδάσκεται στο Λύκειο, παρά μόνο στο Γυμνάσιο , κι αυτό πολύ επιφανειακά!
Βέβαια, μπορεί κάποιος να αποδείξει τον τύπο της άνωσης με σώμα πρισματικού σχήματος, βυθισμένου σε υγρό.
Αλλά ποιος θεματοδότης θα "τολμήσει" να προτείνει τέτοιο θέμα;
Όμως η ανάγνωσή της από ένα υποψήφιο, κέρδος θα επιφέρει σε αυτόν , διευρύνοντας το "οπτικό του πεδίο"!!
Να είσαι καλά.
Καλημέρα,
Ωραίο πρόβλημα.
Κάτι δεν καταλαβαίνω όμως. Γιατί η άνωση να ασκείται στο κέντρο βάρους του τμήματος εντός του ρευστού?
Τα μέτρα θα είναι ίσα, αλλά νομίζω, οι φορείς των δύο δυνάμεων δεν θα συμπίπτουν.
Αν βρω χρόνο σήμερα θα ανεβάσω μια σκέψη για την λύση του προβλήματος.
Καλημέρα παιδιά.
Σπύρο η απόδειξη είναι πολύ απλή:
Η άνωση είναι ίση με τη δύναμη που θα δεχόταν το νερό που θα αντικαθιστούσε το βυθισμένο τμήμα.
Το νερό αυτό θα ισορροπούσε. Επομένως θα δεχόταν δύναμη όση το βάρος του ασκούμενη στο κέντρο βάρους του.
Την απόδειξη τη βρίσκουμε στο βιβλίο του Αλεξόπουλου.
Καλημέρα Χαράλαμπε, καλημέρα σε όλους.
Ωραίο πρόβλημα Χαράλαμπε, άσχετα με το αν μπορεί να μπει στις εξετάσεις ή όχι.
Σπύρο το "κέντρο άνωσης" συμπίπτει με το κέντρο βάρους του εκτοπιζόμενου υγρού.
Το βυθιζόμενο τμήμα της ράβδου εκτοπίζει μια ποσότητα υγρού και το κέντρο βάρους αυτού του όγκου του υγρού, ονομάζεται κέντρο άνωσης και από εκεί περνά ο φορέας της άνωσης.
Καλημέρα κ.Γιάννη,
Φυσικά και συμφωνώ στην περίπτωση ενός ελεύθερου σώματος μέσα σε υγρό. Ακόμα βέβαια και αν το σώμα δεν είναι ελεύθερο, τότε πάλι η άνωση θα είναι ίση με το βάρος του σώματος. Το σημείο εφαρμογής της, όμως, αν δεν κάνω λάθος, δεν είναι πάντα το κέντρο βάρος του σώματος, αλλά το κέντρο βάρους του εκτοπιζόμενου υγρού.
Εδώ, το τμήμα μέσα στο υγρό, δεν είναι ελεύθερο. Δέχεται φυσικά άνωση, ίση με το βάρος, στην ίδια διεύθυνση με το βάρος, αλλά νομίζω, τα σημεία εφαρμογής διαφέρουν. (όταν λέω βάρος εννοώ του τμήματος μέσα στο υγρό)
Αλλά ας υποθέσουμε ότι η άνωση διέρχεται από το κέντρο βάρους. Τότε η ροπή αυτής και του βάρους, ως προς το κέντρου βάρους είναι φυσικά μηδενικές. Το κομμάτι αυτό όμως ισορροπεί, άρα θα πρέπει οι όποιες άλλες ροπές υπάρχουν να εξουδετερώνονται.Εδώ όμως έχουμε και άλλη ροπή. Τα δύο κομμάτι ενώνονται για να φτιάξουν την ράβδο. Στην ένωση έχουμε μια δύναμη. Αυτή προκαλεί ροπή. Άρα οι συνολικές ροπές ως προς το κέντρο βάρους, με την προυπόθεση ότι η άνωση επιδρά στο σημείο αυτό, είναι διάφορες του μηδενός.
Αυτό πως μπορεί να συμβαίνει δεδομένου ότι το κομμάτι ισορροπεί? Τι δεν βλέπω?
Καλημέρα κ.Διονύση,
Γράφαμε μαζί.
Αυτό που θέλω να πω φαίνεται παρακάτω:
Γιατί το κέντρο άνωσης στο αρχικό πρόβλημα της ανάρτησης, να συμπίπτει με το κέντρο βάρους του τμήματος?
Άλλωστε, η άνωση είναι αποτέλεσμα δυνάμεων από τις πιέσεις στην επιφάνεια του σώματος που έχουμε βυθίσει. Εδώ, εφόσον το κομμάτι μας είναι πλαγιασμένο, βαθύτερα θα έχουμε μεγαλύτερες πιέσεις από ότι πιο κοντά στην επιφάνεια, άρα πως γίνεται η άνωση να έχει σημείο εφαρμογής αυτό του κέντρου βάρους του τμήματος?
Με την ίδια λογική, αν αφήναμε ένα σώμα πλαγιασμένο μέσα σε υγρό, τότε η άνωση θα περνούσε από το κέντρο βάρους του σώματος, άρα δεν θα είχαμε ροπή οπότε το σώμα θα παρέμενε πλαγιασμένο. Δεν συμβαίνει κάτι τέτοιο.
Σαφώς, το κέντρο άνωσης έχει σημείο εφαρμογής το κέντρο βάρους, του εκτοπιζόμενου όμως υγρού, όχι του σώματος εντός αυτού. Άρα στην άσκηση, είναι σωστά τοποθετημένη η άνωση? Νομίζω όχι.
Αναλυτικά γράφω παρακάτω τους λόγους για τους οποίους θεωρώ πως η άνωση έχει διαφορετικό σημείο εφαρμογής από το κέντρο βάρους του σώματος μέσα στο υγρό.
Μερικές σκέψεις ΕΔΩ
Φυσικά, μπορεί να έχω σίγουρα κάπου λάθος, οπότε κρατάω επιφυλάξεις προς το παρόν.
Σπύρο γειά σου.
Σε κάθε στοιχειώδες τμήμα της ράβδου, ασκείται από το υγρό, μια κατακόρυφη προς τα πάνω δύναμη, που τη λέμε άνωση. Οι πλευρικές οριζόντιες δυνάμεις εξουδετερώνονται, και οι κατακόρυφες δίνουν ως συνισταμένη μια στοιχειώδη άνωση
dΑ=ρgdV
Όπως βλέπουμε, οι στοιχειώδεις γνώσεις δεν εξαρτώνται από το βάθος.
Αν λοιπόν "τεμαχίσουμε" το βυθισμένο τμήμα της ράβδου, σε στοιχειώδη τμήματα, τότε όλες οι στοιχειώδεις γνώσεις είναι ίσες κατά μέτρο και κατακόρυφες προς τα πάνω.
Έτσι η συνισταμένη τους, θα ασκείται στο μέσο του κομματιού της ράβδου που είναι στο υγρό.
Αν έχεις διαφορετικό μη γεωμετρικό στερεό, τότε πρέπει να βρεις το λεγόμενο κέντρο άνωσης, που είναι και το σημείο εφαρμογής της άνωσης.
Το " έξυπνο κινητό μου" πάλι με "κατάλαβε!
Τις "στοιχειώδεις ανώσεις " μου τις μετάφρασε σε
"στοιχειώδεις γνώσεις"!!!!
Καλησπέρα κ.Πρόδρομε,
Δεν ξέρω αν διαβάσατε μερικές σκέψεις που ανέβασα παραπάνω, αλλά συμφωνώ απόλυτα ότι η άνωση είναι ίση με το βάρους του υγρού που εκτοπίζεται.
Το σημείο εφαρμογής της όμως, νομίζω, πως είναι διαφορετικό από αυτό που επιδρά το βάρος του βυθισμένου τμήματος. Στο αρχείο που ανέβασα πιο πάνω εξηγώ τους λόγους που το υποστηρίζω.
Φυσικά η κάθε στοιχειώδης δύναμη θα είναι αυτή που αναφέρετε και άρα η συνολική δύναμη θα προκύψει ίση με το βάρος του υγρού που εκτοπίζουμε.
Η συνισταμένη προκύπτει από ολοκλήρωση των dV. Εκεί κατέληξα και εγώ με το θεώρημα του Gauus μετατρέποντας το επιφανειακό ολοκλήρωμα σε ολοκλήρωμα όγκου και εν τέλει η ολοκλήρωση των dV θα δώσει τον όγκο μας.
Γράφετε όμως:
"Όπως βλέπουμε, οι στοιχειώδεις γνώσεις δεν εξαρτώνται από το βάθος.
Αν λοιπόν "τεμαχίσουμε" το βυθισμένο τμήμα της ράβδου, σε στοιχειώδη τμήματα, τότε όλες οι στοιχειώδεις γνώσεις είναι ίσες κατά μέτρο και κατακόρυφες προς τα πάνω.
Έτσι η συνισταμένη τους, θα ασκείται στο μέσο του κομματιού της ράβδου που είναι στο υγρό."
Μα γιατί να είναι ίσες οι στοιχειώδεις ανώσεις? Γιατί γενικά τα dV να είναι ίσα?
Μπορεί να κάνω λάθος, για αυτό αναμένω την τοποθέτηση σας.
Σπύρο όπως έγραψα παραπάνω, αν πάρουμε ένα στοιχειώδες τμήμα της ράβδου, δέχεται δυνάμεις από το υγρό, σε όλη την επιφάνειά του. Αν τις αναλύσουμε σε οριζόντιες και κατακόρυφες, οι οριζόντιες λόγω της συμμετρίας και ανά δύο στο ίδιο βάθος, θα εξουδετερωθούν.
Μένουν οι κατακόρυφες, που λόγω διαφορετικού βάθους, θα δώσουν την στοιχειώδη άνωση, που είναι
dA=dm(εκτοπιζόμενου υγρού)g= ρdVg
Όπως βλέπεις δεν παίζει ρόλο το βάθος, αφού το g δεν μεταβάλλεται.
Όλες αυτές οι παράλληλες και ίσες κατά μέτρο στοιχειώδεις γνώσεις, με φορά προς τα πάνω, θα δώσουν ως συνισταμένη μια δύναμη που ασκείται στο μέσο της ράβδου , του βυθισμένου τμήματός του, που τη λέμε άνωση.
Αν είχαμε μή γεωμετρικό στερεό, τότε πρέπει να βρούμε το σημείο εφαρμογής όλων των στοιχειωδών ανώσεων, που θα είναι νομίζω, το κέντρο μάζας του υγρού που θα καταλάμβανε το χώρο του βυθισμένου μέρους του στερεού.
Αυτό το σημείο είναι και το κέντρο της άνωσης συνολικά, του βυθισμένου μέρους του στερεού.
Κατανόησα όσα αναφέρεστε αλλά δεν καταλαβαίνω γιατί λέτε ότι οι στοιχειώδεις δυνάμεις είναι ίσες? Που στηρίζεται αυτό?