by 
Ποια είναι η ελάχιστη ταχύτητα με την οποία πρέπει να βληθεί ένα σώμα από την κορυφή σφαιρικού παγόβουνου ώστε να μην ακουμπήσει ξανά σ’ αυτό;
Δεδομένα είναι η ακτίνα του παγόβουνου και η επιτάχυνση της βαρύτητας.
Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα, είναι καλό για όλους…
Καλό κ. Γιάννη,
Διαφορετικά, η επαφή θέλουμε να χαθεί αμέσως μετά την εκτόξευση, άρα Ν=0 οπότε από κεντρομόλο…. κατευθείαν.
Ευχαριστώ Σπύρο. Όμως…….
Πρέπει να αποκλείσουμε ότι μπορεί να συμβεί αυτό που φαίνεται στην εικόνα.
Καλησπέρα Γιάννη.
Γιατί εμένα μου αρέσει η πρώτη λύση σου και όχι η …σύντομη;
Γεια σου Διονύση.
Πιθανολογώ πως σου αρέσει διότι παρουσιάζεται σε μαθητές. Αυτοί δεν γνωρίζουν την ακτίνα καμπυλότητας. Δεν γνωρίζουν ότι αυξάνεται αυτή όταν μεγαλώνει το μέτρο της ταχύτητας.
Όμως θα γνωρίζουν την εξίσωση του κύκλου. Ακόμα και τώρα που δεν την γνωρίζουν μπορούν να εξάγουν την σχέση από το σχήμα και το Πυθαγόρειο.
Έτσι η λύση προτάσσεται.
Γιάννη, όταν μεγαλώνει η ταχύτητα του σώματος, πράγματι αυξάνει η ακτίνα καμπυλότητας.
Αλλά το κέντρο αυτού του υποθετικού κύκλου, γιατί να είναι πάνω σε ευθεία που περνάει από το κέντρο της σφαίρας;
Γιατί να γίνεται άμεση σύγκριση της ακτίνας του παγόβουνου με την ακτίνα καμπυλότητας, η οποία είναι σε άλλη διεύθυνση;
Αύξηση της ακτίνας καμπυλότητας σημαίνει πως η γραμμή "μοιάζει" περισσότερο με ευθεία.
Μικρή ακτίνα καμπυλότητας σημαίνει κλειστή στροφή. Μεγάλη σημαίνει "ανοιχτή στροφή".
Αυτό επηρεάζει τις κλίσεις. Στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο οι κλίσεις διαφέρουν.
Μια εικόνα:
Αυτό έχει σα συνέπεια η κόκκινη γραμμή να είναι λιγότερο απότομη από τη μπλε.
Είναι αναγκασμένη να την περιβάλλει.
Ας δούμε τι σημαίνει "αύξηση της ακτίνας καμπυλότητας":
Όσο πηγαίνουμε από τον κόκκινο κύκλο στον μωβ η ακτίνα καμπυλότητας αυξάνεται.
(Σκέφτηκα προς στιγμήν να γράψω "αυξάνει" ώστε να συνεχίσω καλή συζήτηση με τον Βαγγέλη.)
Τι σημαίνει αύξηση της ακτίνας καμπυλότητας; !!!
Σημαίνει ότι αν εκτοξευθεί οριζόντια (εφαπτομενικά στον κύκλου του σχήματος), η τροχιά θα έχει σε κάποιο τυχαίο σημείο, μεγαλύτερη ακτίνα καμπυλότητας R, από την ακτίνα του αρχικού κύκλου r, όπως στο σχήμα.
Είναι τόσο αυτονόητο και δεν χρειάζεται καμιά απόδειξη; Δεν το νομίζω…
ΥΓ
Δεν υποστήριξα ότι δεν ισχύει, ότι δεν μου αρέσει η απόδειξη έγραψα…
Διονύση η δεύτερη λύση έχει μια αυθαιρεσία. Δεν είναι μια τυπική μαθηματική απόδειξη.
Η ακτίνα καμπυλότητας συνδέεται με την κλίση.
Η παραβολή περιβάλλει συνεχώς τον κύκλο διότι "στρίβει λιγότερο".
Η προηγούμενη φράση λογική είναι, όμως δεν έχει βάρος απόδειξης.
Μια και η ανάρτηση απευθύνεται σε παιδιά της Β΄ , γράφτηκε πρώτα η λύση που τους είναι προσιτή και τυπική μαθηματικά.
Γεια σου Γιάννη, πολύ καλή!
Μοιάζει με το δικό μου Γ θέμα Πέραν των τετριμμένων
, μόνο που εγώ έβαλα από την κορυφή σφαίρας.
Μάλιστα την είχες σχολιάσει.
Να είσαι καλά.
Ευχαριστώ Πρόδρομε.