by 
Ένα μικρό σώμα αφήνεται από την θέση Α ενός λείου κυκλοειδούς. Πόση είναι η Ν όταν βρίσκεται στην κατώτερη θέση;
Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα, είναι καλό για όλους…
Ένα μικρό σώμα αφήνεται από την θέση Α ενός λείου κυκλοειδούς. Πόση είναι η Ν όταν βρίσκεται στην κατώτερη θέση;
Το λάθος συνηθίζεται περισσότερο σε ελατήρια τα οποία έχουν το φυσικό τους μήκος στην θέση Α και ψάχνουμε την επιμήκυνσή τους.
Καλησπέρα Γιάννη δεν συμφωνώ.
y- R(συνφ-1)
y’=-φ’ Rημφ
y”=-φ”Rημφ- φ’φ’Rσυνφ
Για γωνία π έχουμε
y=-2R φ’R=v=2gR (από ΑΔΕ όπως και εσύ )
και φ”=0
Οπότε
y”=2g δηλαδή ΣF =N-mg=2mg ΑΡΑ Ν=3μg
Γεια σου Μήτσο. Ας δούμε μια εικόνα:
Το κόκκινο και το πράσινο φτάνουν όχι ταυτόχρονα αλλά με ίδια ταχύτητα στο κάτω σημείο. Μεγαλύτερη επιτάχυνση έχει το κόκκινο διότι κάνει πιο κλειστή στροφή.
Ξέρουμε ότι το κόκκινο δέχεται Ν=3mg.
Αν και το πράσινο δεχόταν ίδια Ν=3mg, έχοντας και ίδιο βάρος, θα είχε την ίδια επιτάχυνση και επομένως την ίδια ακτίνα καμπυλότητας. Άτοπο.
Πολύ καλή Γιάννη.
Γιάννη έκανα απλά λάθος στις πράξεις.
y”=-φ”Rημφ- φ’φ’Rσυνφ
Για γωνία π έχουμε φ”=0 και y=-2R
Όμως 2Rφ’΄=v vv=4gR(από ΑΔΕ όπως και εσύ )
Αρα 4gR=2Rφ’ 2Rfφ’ ή φ’φ’=g/R
Οπότε
y”= g Δηλαδή ΣF=mg
N-mg=mg Δηλαδή Ν=2mg ΕΧΕΙΣ ΔΙΚΙΟ
( Εχεις δίκιο αλλά που να το βρεις με εμένα που έμπλεξες.)
Καλημέρα Γιάννη, καλημέρα σε όλους.
Γιάννη αυτό το λάθος δεν είναι “συνηθισμένο” αφού σχεδόν ποτέ δεν χρησιμοποιούμε, σε προβλήματα, σώμα να κινηθεί κατά μήκος κυκλοειδούς!!!
Το συνηθισμένο λάθος γίνεται με το ελατήριο που αναφέρεις. Όταν φτάνει στο κατώτερο σημείο της κατακόρυφης τροχιάς του, η ακτίνα καμπυλότητας δεν συμπίπτει με το μήκος του ελατηρίου.
Καλημέρα σε όλους.
Γιάννη πολύ καλή παρατήρηση και σε ευχαριστούμε.
Διονύση θα εκφράσω προς όλους μια απορία, που μπορεί να είναι και λάθος. Το ελατήριο που έχεις σχεδιάσει, στην κατακόρυφη θέση έχει σίγουρα κατακόρυφη ταχύτητα μηδέν; Γιατί καθώς το παλεύω με ένα παιδικό παιχνίδι, μου φαίνεται ότι επιμηκύνεται κι άλλο. Βέβαια δεν είναι και κάποιο αξιόπιστο πείραμα εργαστηρίου! Ευχαριστώ.
Καλημέρα Μήτσο, Χριστόφορε, Διονύση , Βασίλη.
Ευχαριστώ.
Βασίλη δεν είναι λάθος η απορία.
Στην κατώτερη θέση η ταχύτητα μπορεί να μην είναι οριζόντια:
Καλημέρα Βασίλη, καλημέρα Γιάννη.
Είναι όπως το λες Βασίλη και όπως το επιβεβαιώνει ο Γιάννης με το i.p.
Το θέμα το είχαμε συζητήσει πριν μια δεκαετία (αλλά δεν το βρίσκω…), η κίνηση έχει χαοτικά χαρακτηριστικά, αλλά το μόνο σίγουρο είναι ότι το μήκος του ελατηρίου στην κατακόρυφο θέση, ΔΕΝ είναι ίσο με την ακτίνα καμπυλότητας της τροχιάς στη θέση αυτή.
Στην παρούσα προσομοίωση η ακτίνα καμπυλότητας δεν είναι ούτε 5m ούτε 8m.
Είναι 3,8m , κάτι που διαφέρει από τα μήκη του ελατηρίου.
Γειά σας και πάλι Διονύση και Γιάννη σας ευχαριστώ για το ενδιαφέρον και τα σχόλια. Χρόνια πολλά σε κάθε Σπυριδούλα και Σπύρο!
Mια ερωτηση: Eχετε αποδειξει θαυμασια οτι η ακτινα καμπυλοτητας της κυκλοειδους στο σημειο για το οποιο συζηταμε ειναι 2d= 4R οπου R ειναι η ακτινα του κυκλου που κατασκευαζει την κυκλοειδη.Αυτο το αποτελεσμα το θεωρειτε δεδομενο για να πειτε οτι ο κυκλος ακτινας 2R με το κοκκινο μπαλακι εχει μικροτερη καμπυλοτητα απο την κυκλοειδη? Αν οχι τοτε δεν ειναι και τελειως προφανες οτι ο κυκλος ακτινας 2R εφαπτεται εσωτερικα στην κυκλοειδη καμπυλη.Μπορουμε να το δικαιολογησουμε αποφευγοντας τον υπολογισμο του 4R?
“μικροτερη ακτινα καμπυλοτητας απο την κυκλοειδη” εννοουσα οχι καμπυλοτητα
Καλησπέρα Κωνσταντίνε.
Εφάπτεται διότι το “ύψος” του κυκλοειδούς είναι 2R (R η ακτίνα του κυλιόμενου τροχού). Η ακτίνα του κύκλου είναι 2R (R η ακτίνα του κυλιόμενου τροχού). Επομένως έχουν ένα μόνο κοινό σημείο. Δεν μπορεί να έχουν δύο κοινά σημεία λόγω συμμετρίας. Επομένως εφάπτονται.
Αν ο κύκλος εφάπτονταν εξωτερικά τότε θα είχε μεγαλύτερη ακτίνα καμπυλότητας, Όμως έχει τη μισή.
Αυτά με γεωμετρική γλώσσα, αποφεύγοντας χρήση παραγώγου στον υπολογισμό της ακτίνας καμπυλότητας.
Καλησπερα κυριε Κυριακοπουλε Ναι εφαπτεται αλλα πως ξερουμε οτι στο συγεκριμενο σημειο εφαπτεται εσωτερικα στο κυκλοειδες και οχι εξωτερικα?Εμεις απλως με κεντρο το μπλε σημειο ακριβως απο πανω και ακτινα 2R (R η ακτίνα του κυλιόμενου τροχού) γραφουμε κυκλο. Υποτιθεται οτι δεν ξερουμε οτι η ακτινα καμπυλοτητας του κυκλου ειναι η μιση απο αυτην του κυκλοειδους που ειναι 4R.Προσπαθω να παρακαμψω αυτον τον υπολογισμο.Το οτι το “ανοιγμα” του κυκλοειδους μεχρι πανω ειναι 2πR ενω το “ανοιγμα” του κυκλου ειναι 4R που ειναι μικροτερο δεν με καλυπτει διοτι θα μπορουσε ο κυκλος να εφαπτεται εξωτερικα και μετα να μπαινει παλι μεσα αφου η καμπυλοτητα του κυκλοειδους δεν ειναι σταθερη.Προσπαθω να αποφυγω τον υπολογισμο της ακτινας καμπυλοτητας 4R που κανατε με την βοηθεια της κεντρομολου επιταχυνσεως και φυσικα να μην αναφερθω με κανενα τροπο στις παραμετρικες εξισωσεις της καμπυλης και να υπολογισω την ακτινα καμπυλοτητας με διαφορικη γεωμετρια. Ο σκοπος μου ειναι να κατασκευασω μια ασκηση πολλαπλης επιλογης με πιθανες απαντησεις Ν=2mg ,N=3mg ,N=4mg που να λυνεται με την μεθοδο που προτεινατε με το κοκκινο και το πρασινο μπαλακι που κινουνται πανω στον κυκλο και την κυκλοειδη καμπυλη αντιστοιχα.Δεν ξερω αν καταλαβατε ποια ειναι η απορια μου. Συγνωμη που κανω καταχρηση του χρονου σας.Ευχαριστω.