by 
Συγκεκριμένα, θα αναλύσουμε ένα φαινομενικό παράδοξο που προκύπτει πολλές φορές κατά την χρήση του παραγοντικού. Το παράδοξο αυτό είναι η σχέση 0!=1. Γιατί όμως η εξίσωση αυτή είναι περίεργη;
Πριν απαντήσουμε στην παραπάνω ερώτηση πρέπει να εξηγήσουμε τι είναι το παραγοντικό. Μπορούμε να πούμε πως παραγοντικό είναι ένας τελεστής ο οποίος εφαρμόζεται πάνω σε φυσικούς αριθμούς. Αν με n συμβολίσουμε ένα φυσικό αριθμό, τότε το n! είναι το παραγοντικό του n. Μπορούμε να γράψουμε την σχέση
Παραδείγματος χάριν, για n=3 ισχύει
Δηλαδή το παραγοντικό του 3 είναι το 6. Παρατηρούμε πως ο υπολογισμός του παραγοντικού δεν είναι δύσκολος. Ας δούμε όμως κάποιες πιο περίεργες περιπτώσεις. Ποια είναι τα παραγοντικά των αριθμών 1 και 2;
Για n=1 έχουμε
ενώ για n=2 ισχύει
Οπότε το παραγοντικό του αριθμού 1 είναι το ίδιο το 1 και το παραγοντικό του αριθμού 2 είναι το ίδιο το 2.
Όμως είπαμε πως το n είναι φυσικός αριθμός και ως εκ τούτου μπορεί να πάρει και μηδενική τιμή. Ποιο όμως είναι το παραγοντικό του μηδενός; Όπως είδαμε παραπάνω
Το περίεργο αυτής της σχέσης προκύπτει από την εξίσωση (1). Παρατηρούμε πως το γινόμενο ξεκινάει από το 1 και συνεχίζει μέχρι το n. To 0 όμως είναι πριν το 1 με αποτέλεσμα να μην μπορεί να χρησιμοποιηθεί η σχέση (1).
Πως εξηγείται λοιπόν πως το 0!=1; Αν αναδιατάξουμε την σχέση (1) έχουμε
Το αριστερό μέλος της παραπάνω σχέσης είναι το παραγοντικό του (n-1). Έτσι ισχύει
Ας τεστάρουμε την σχέση (2). Θέτοντας n=4 στην παραπάνω σχέση προκύπτει
Πράγματι, όπως είδαμε και παραπάνω, το παραγοντικό του 3 είναι το 6. Ας δοκιμάσουμε να θέσουμε n=1 στην σχέση (2). Τότε έχουμε
Συνεπώς, το παραγοντικό του 0 είναι ίσο με 1.
Δείτε το σχετικό βίντεο:
Η συνέχεια και το video στη σελίδα ma8imatikos.gr
Καλημέρα Βασίλη. Καλό ξεκίνημα να έχεις τη νέα σχολική χρονιά! Ωραία μαθηματική πινελιά. Άρα 0!=1!.
Υπάρχει και το αντιπαραγοντικό !ν =1/ν!
Και πάλι !0=1
Καλημέρα σε όλους.
Νομίζω ότι είναι ορισμός ώστε να υπάρχει συνέπεια με ορισμένες ιδιότητες του παραγοντικού.
Ανάλογο ορισμό συναντούμε και στις δυνάμεις. α^0 = 1.
Ωραίο Βασίλη
Η συνέπεια της γλώσσας των μαθηματικών
Ισοδύναμα
Καλημέρα σε όλους και καλή εβδομάδα.
Βασίλη, πολύ καλό, ώστε να φαίνεται η συνέπεια των μαθηματικών και η απουσία αυθαιρεσίας, όπως πολύ σωστά αναφέρει ο Θοδωρής.
Μίλτο, κατά τη γνώμη μου, εκτός από ορισμός για το μηδέν, που όπως έχουμε συζητήσει ξανά στο χώρο, δεν υπάρχει σωστός ή λάθος ορισμός, αλλά χρήσιμος ή όχι, αυτό που μας δίνει ο Βασίλης δείχνει τον ορισμό του παραγοντικού με ενιαίο τρόπο και όχι ως επιπλέον ανάγκη για το μηδέν.
Με όμοιο τρόπο το α^0= α^ν/α^ν = 1 (αδιάφορο του μηδενός), χωρίς ιδιαίτερη ανάγκη ξεχωριστού ορισμού πάλι. Νομίζω ότι στους ορισμούς που αφορούν την επιστήμη ειδικά των μαθηματικών προσπαθούμε να έχουμε το ελάχιστο πλήθος ανεξάρτητων παραμέτρων.
Να είστε όλοι καλά!!!