by 
Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, διαδίδεται ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα με πλάτος Α=0,3m και περίοδο Τ = 1s. Στο σχήμα δίνεται το διάγραμμα της φάσης της απομάκρυνσης των διαφόρων σημείων του μέσου, σε συνάρτηση με την θέση x τη χρονική στιγμή t0 = 0s.
i) Το κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά (θετική φορά του άξονα) ή προς τα αριστερά;
ii) Να γράψετε την εξίσωση της φάσης του κύματος.
iii) Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της φάσης (φ=f(x)) του κύματος, τη χρονική στιγμή t1 = 1s.
iv) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος και να σχεδιάσετε ένα στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t1=1s, στην περιοχή x ≤ 3m.
v) Κάποια χρονική στιγμή t2 το σημείο Λ, με xΛ =-0,5m έχει απομάκρυνση ψΛ = +0,15m για πρώτη φορά, κινούμενο κατά τη θετική φορά. Ποια θα είναι τότε η απομάκρυνση ψΚ και η επιτάχυνση αΚ του σημείου Κ του ελαστικού μέσου, με xK = 1m;
vi) Υπολογίστε τη χρονική στιγμή t2 και σχεδιάστε τότε το στιγμιότυπο του κύματος ανάμεσα στα σημεία Κ και Λ.
Αφιερωμένη στο Διονύση. Είναι στην ουσία μια δική του ιδέα, αλλά την άλλαξα λίγο, με βάση τον τρόπο που σκέφτονται οι – υποθετικά ερχόμενοι αυτη τη βδομάδα – μαθητές μου. 🤔
Η άσκηση του Διονύση: Ένα άλλο διάγραμμα φάσης
Καλημέρα Ανδρέα και καλό ΣΚ.
Σε ευχαριστώγια την αφιέρωση και σου έυχομαι να την διδάξεις στην τάξη, με την παρουσία (έστω κάποιων), μαθητών σου…
Καλημέρα παιδιά. Επειδή ίσως η σχέση φ = 2π (t / T + x / λ + θ / 2π) μπορεί να φανεί λίγο ουρανοκατέβατη, μια εναλλακτική θα ήταν
Στην περίπτωσή μας xN = 1m, T = 1s και λ = 2m
Καλό κουράγιο Ανδρέα.
Kαλημερα σε ολους, Χριστός Ανέστη. Ανδρέα και Διονύση δεν συμφωνω με την απαντηση στο i) αλλα ουτε με το ιδιο το ερωτημα οπως ειναι τεθέν.
Αν ας πουμε θεωρησουμε το οδευον κυμα f(x,t)=ημ(2πt-πx) το οποιο διαδιδεται προς την θετικη φορα του αξονα x,τοτε εχουμε:
f(x,t)=ημ(2πt-πx)=-ημ(πx-2πt)=ημ(πx-2πt-π)
ποια ειναι η φαση αυτου του κυματος? Δεν οριζεται μονοσημαντα.
Φαση ειναι το ορισμα του ημιτονου. Αρα αν φ(x,t)=πx-2πt-π τοτε για t=0 το διαγραμμα της συναρτησης φ(x,0)=πx-π ειναι αυτο που ειναι δεδομενο στην εκφωνηση της ασκησης απο το οποιο δεν προκυπτει η φορα διαδοσης.
Αρα το συμπερασμα οτι το κυμα διαδιδεται προς τα αρνητικα του αξονα x δεν ειναι σωστο αλλα κυριως το ερωτημα δεν ειναι καλώς τεθέν.
Βλεπε και παρατηρησεις α),γ) στο :
Λίγα Μαθηματικά και οι κυματικές συναρτήσεις.
Χρόνια πολλά Κωνσταντίνε.
Για τις αντιρρήσεις σου σε σχεση με την φάση και την γραφική παράσταση που έδωσα τόσο εγώ, όσο και ο Ανδρέας παραπάνω:
Πράγματι μπορούμε να παίξουμε με την τριγωνομετρία. Και γιατί να παίξουμε με το π και όχι με το 3π ή το 5π… Προφανώς από μαθηματική σκοπιά, μπορούμε να το κάνουμε.
Το ζήτημα είναι, δίνοντας το διάγραμμα, αν είναι φανερόν ότι (στο σχήμα του Ανδρέα), όπως και με όποιον τρόπο οριστεί η φάση, τα σημεία με x>1m έχουν κάποια φάση η οποία αυξάνεται όσον κινούμαστε προς τα δεξιά. (αντίθετα δεν δίνεται φάση για τα σημεία με x<1m, όπου τι σημαίνει; Δεν σημαίνει ότι τα σημεία αυτά δεν ταλαντώνονται;)
Αν αυτό ισχύει τότε όσο πιο δεξιότερα βρίσκεται ένα σημείο, τόσο πιο μεγάλη φάση έχει, άρα τόσο περισσότερο χρόνο ταλαντώνεται σε σχέση με τα σημεία που βρίσκονται αριστερότερά του. Αυτό από άποψη Φυσικής δεν λέει ότι το κύμα διαδίδεται προς τα αριστερά;
Καλησπέρα Ανδρέα και χρόνια πολλά με υγεία και δύναμη στο δύσκολο έργο σου.
Πολύ καλή άσκηση που εξετάζει αρκετά πράγματα που συνάδουν με την ύλη του σχολικού βιβλίου!
Οπότε μπράβο σου.
Πρόδρομε χρόνια πολλά και σε ευχαριστώ.
Κωνσταντίνε επίσης χρόνια πολλά. Συμφωνείς με την πρόταση: “Κατά τη φορά διάδοσης του κύματος η φάση μειώνεται”;
και
“Το στρεφόμενο διάνυσμα του κάθε σημείου παραμένει ανενεργό και ενεργοποιείται όταν το κύμα – έτσι όπως το κάνουμε στο σχολείο, προερχόμενο δηλαδή από μια πηγή – φτάσει σε αυτό. Άρα φ >=0”
Επειδή βρισκόμαστε λίγο πριν τις εξετάσεις, στο θέμα του 2016
τι φορά διάδοσης θα έπρεπε να απαντήσει ένας υποψήφιος;
Επίσης το κύμα του σχολικού έχει φάση ωt – kx + θ ή ωt + kx + θ και είναι ημιτονοειδές.
Φάση της μορφής kx – ωt – θ είναι εκτός ύλης.
Γεια σου Ανδρεα.Οχι δεν συμφωνω με την προταση “Κατά τη φορά διάδοσης του κύματος η φάση μειώνεται”
H μονη προταση με την οποια συμφωνω ειναι οτι η φαση ειναι το ορισμα του ημιτονου και διαδιδεται με ταχυτητα ιση με την ταχυτητα του κυματος.Επισης η φορα διαδοσης στην ασκηση που βλεπω δεν προκυπτει απο διαγραμμα,ειναι προφανης διοτι το μεσο διαδοσης εκτεινεται προς τα θετικα x και η πηγη βρισκεται στο x=0
Επισης το στρεφομενο διανυσμα που συνδεεται με μια ταλαντωση δεν ειναι τιποτα θεμελιωδες ουτε ειναι Φυσικη.Ειναι μια μαθηματικη μεθοδος που βασιζεται στο οτι η προβολη διανυσματος ειναι γραμμικη απεικονιση ωστε η προβολη της ταχυτητας να ισουται με την ταχυτητα της προβολης,κλπ. Το στρεφομενο διανυσμα μπορει καλιστα να στρεφεται και αριστεροστροφα και κανει την ιδια δουλεια.Αρα δεν ισχυει αναγκαστικα οτι φ >=0”
και δεξιοστροφα
Οι πραξεις αυτες ειναι εκτος υλης; f(x,t)=ημ(2πt-πx)=-ημ(πx-2πt)=ημ(πx-2πt-π)
Αποστόλη σε ευχαριστώ για την παρέμβαση. Είναι πολύ διευκρινιστική όσον αφορά τη σταθερά θ στη φάση. θ = 2πxN/λ.
Κωνσταντίνε οι τριγωνομετρικοί μετασχηματισμοί δεν είναι εκτός ύλης, αλλά κύμα με εξίσωση ψ = A.ημ(kx – ωt – θ), δε μπορεί να δοθεί σε εξετάσεις.
Επίσης αναφέρεσαι στον φάσορα που μπορεί να στρέφεται και δεξιόστροφα. Έχεις δει κάπου άσκηση Πανελλαδικών με δεξιόστροφο στρεφόμενο;
Η προβολή του στρεφόμενου στον άξονα ψ εκφράζει την απομάκρυνση λόγω διέλευσης του κύματος και δεν έχει σχέση η αριστερόστροφη ή δεξιόστροφη περιστροφή. Έχουμε υιοθετήσει όμως την αριστερόστροφη στο σχολείο, αφού θυμίζει και τον τριγωνομετρικό κύκλο.
Στο θέμα εξετάσεων που έδωσα δεν υπάρχει απάντηση;
Γειά σου Ανδρέα. Πολύ καλή άσκηση. Συμφωνώ και με τα ερωτήματα και με τις απαντήσεις σου. Γειά σου Κωνσταντίνε. Το σχολικό βιβλίο στην παράγραφο “Μαθηματική περιγραφή του αρμονικού κύματος” θεωρεί ότι η πηγή του κύματος βρίσκεται στη θέση Ο ( χ=0 ) και ότι “αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγμή t=0 και ότι η ταλάντωση περιγράφεται από τη σχέση y=Aημωt” και έτσι καταλήγει στην εξίσωση του αρμονικού κύματος και στη φάση του φ=2π(t/T – x/λ) για κύμα που διαδίδεται κατά τη θετική φορά. Βάσει αυτού δικαιολογείται η πρόταση για ελάττωση της φάσης κατά τη φορά διάδοσης του κύματος .Το ίδιο ισχύει και για κύμα που διαδίδεται κατά την αρνητική φορά. Μπορούμε να γενικεύσουμε την απόδειξη για την περίπτωση που η πηγή δεν βρίσκεται στην αρχή Ο. Το έκανε ο Αποστόλης. Σύμφωνα με τα παραπάνω η φάση εμπεριέχει την πληροφορία ότι το κάθε υλικό σημείο του μέσου ξεκινάει να ταλαντώνεται με μηδενική αρχική φάση και για όσο περισσότερο χρόνο ταλαντώνεται λόγω του κύματος, τόσο μεγαλύτερη φάση έχει. Δηλαδή το κύμα θέτει σε ταλάντωση νωρίτερα τα σημεία με τη μεγαλύτερη φάση.
Καλημέρα Γιώργο. Χρόνια πολλά για τη γιορτή σου. Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό. Η άσκηση απευθύνεται σε μαθητές Γ ΄Λυκείου. Αυτοί εξετάζονται με βάση τη θεωρία του σχολικού, από την οποία προκύπτει το συμπέρασμα, που έδωσες με πολύ αναλυτικό τρόπο. Έχει ήδη πέσει τουλάχιστον 2 φορές αντίστοιχο διάγραμμα σε εξετάσεις. Τι θα απαντήσουν οι μαθητές;