by 
Ένα μη επανδρωμένο διαστημόπλοιο εκτοξεύεται από την επιφάνεια της Γης με στόχο να πραγματοποιήσει διαστρικό ταξίδι, δηλαδή να διαφύγει από το ηλιακό σύστημα. Υποθέτουμε ότι πρέπει να ξεφύγει από τα βαρυτικά πεδία του Ήλιου και της Γης μόνο. Η μάζα του διαστημόπλοιου είναι m = 3 ∙ 102kg, η μάζα του Ήλιου Ms = 2 ∙ 1030kg, η μάζα της Γης Me = 6 ∙ 1024 kg, η ακτίνα της Γης Re = 64 ∙ 105m, η απόσταση Γης – Ήλιου d = 1,5 ∙ 1011m και η σταθερά της παγκόσμιας έλξης G = (20/3)∙10-11Nm2/kg2
i) Σημειώστε στο σχήμα 1, ποια από τις κατευθύνσεις α, β, γ, δ πρέπει να έχει η ταχύτητα εκτόξευσης, δικαιολογώντας τη φορά της.
ii) Υποθέτοντας ότι η τροχιά της περιφοράς της Γης γύρω από τον Ήλιο είναι κυκλική, υπολογίστε την ταχύτητα και την κινητική ενέργεια Κe του διαστημόπλοιου, πριν την εκτόξευση, εξαιτίας της περιφοράς της Γης. Αγνοήστε την ιδιοπεριστροφή της Γης.
iii) Η περιοχή που υπερισχύει το βαρυτικό πεδίο της Γης έναντι του Ήλιου, είναι μια νοητή σφαίρα μέσης ακτίνας RH = 109m (σφαίρα Hill). Ακριβώς στην επιφάνειά της παίρνουμε το δυναμικό του πεδίου βαρύτητας της Γης μηδενικό (βλέπε σχόλια). Ποια είναι η ελάχιστη, ως προς τον Ήλιο, ταχύτητα του διαστημόπλοιου, διερχόμενου από την επιφάνεια της σφαίρας Hill, για να διαφύγει από το βαρυτικό πεδίο του συστήματος Ήλιος – Γη; Βρείτε και την αντίστοιχη κινητική ενέργεια που απαιτείται.
iv) Λαμβάνοντας υπόψη την περιφορά (όχι την ιδιοπεριστροφή) της Γης και την ερώτηση (i) ποια είναι τώρα η ελάχιστη επιπλέον ως προς τον Ήλιο ταχύτητα Δv, που χρειάζεται για την εκτόξευση; Βρείτε και την αντίστοιχη επιπλέον κινητική ενέργεια που απαιτείται.
Η ανάρτηση είναι αφιερωμένη στον Άρη Αλεβίζο, με τον οποίο κάναμε σχετική συζήτηση στη συνεστίαση του Υλικού.
Ανδρέα χρόνια πολλά και καλή χρονιά. Συνέχισε τις διαστημικές πτήσεις σου σε ένα ζήτημα που είναι βαθειά ριζωμένες λανθασμένες αντιλήψεις ακόμα και σε πανεπιστημιακά συγγράμματα. Κάποια στιγμή πρέπει να προσέχουμε τις συνθήκες που δεχόμαστε στα μοντέλα που χρησιμοποιούμε. Αλλά ποιος τονίζει ότι στον υπολογισμό της ταχύτητας διαφυγής από τη γη θεωρούμε τη γη ακίνητη ως προς την περιφορά γύρω από τον ήλιο. Ποιος αναφέρει ότι στον ίδιο υπολογισμό δεν παίρνουμε επίδραση από άλλα ουράνια σώματα. Εσύ πάρα πολύ ωραία τα λες αλλά….
…δεν παίρνουμε την επίδραση άλλου ουράνιου σώματος αλλά κάποια στιγμή θα μπει ο ήλιος στο κόλπο, ποια;;; Στο άπειρο; Δηλαδή ποτέ; Κάποια στιγμή η ταχύτητα περιφοράς θα μπει στο κόλπο, ποια;;
Και κάτι ακόμα. Ένα ένα τα θυμάμαι. Για ιστορικούς και μόνο λόγους χωρίς να επηρεάζεται ουδόλως η λύση. Το περίφημο άπειρο λέγεται σφαίρα επιρροής της γης και είναι λίγο μικρότερη από τη σφαίρα Hill προκύπτει δε από το περιορισμένο πρόβλημα τριών σωμάτων όπου η επίδραση του ήλιου δεν είναι μηδενική αλλά μεχρι τη σφαίρα επιρροής είναι μικρότερη αυτής της γης. Όμως αν ελυνα το πρόβλημα για να γίνει κατανοητό το φαινόμενο θα το ελυνα όπως εσύ δεν αλλάζει κάτι.
Καλημέρα Αντρέα, σε ευχαριστώ πολύ για την αφιέρωση.
Η αργοπορία μου στην απάντηση οφείλεται σε οικογενειακή συγκέντρωση χθες βράδυ.
Να σου πω πάλι ότι χαίρομαι κάθε φορά που βλέπω τις προσπάθειές σου ώστε οι ασκήσεις σου να μην είναι εντελώς αφηρημένες αλλά να έχουν επαφή με την πραγματικότητα και με τα σχόλιά σου να δίνεις ερεθίσματα σε όποιους μαθητές\τριες το θέλουν να μάθουν και κάποια πράγματα παραπάνω.
Μια γνώμη για βελτίωση των υπολογισμών της άσκησης.
Στο σχήμα 2 το πυραυλάκι με βάση την απόσταση d-RH που έχεις στους υπολογισμούς έπρεπε να είναι πάνω στην ευθεία που ενώνει τα κέντρα Γης-Ήλιου και αριστερά από την σφαίρα Hill, αν και με βάση την ερώτηση i) καλλίτερα θα ήταν να μπει δεξιά από την Hill και οι υπολογισμοί να γίνουν με d+RH οπότε θα συμφωνεί και με το σχήμα 3.
Αφού μιλάμε για διαπλανητικά ταξίδια.
Νομίζω πρέπει να τονιστεί ότι δεν χρειάζεται να φτάσει κάποιο διαστημόπλοιο στα όρια της σφαίρας Hill της γης που βρίσκονται 4 περίπου φορές την απόσταση γης- σελήνης για να ξεκινήσει το διαπλανητικό του ταξίδι.
Για να εκτοξευτεί ένα διαστημόπλοιο από τη Γη σε έναν εξωτερικό πλανήτη όπως ο Άρης χρησιμοποιώντας το λιγότερο δυνατό προωθητικό, σκεφτόμαστε πρώτα ότι το διαστημόπλοιο βρίσκεται ήδη σε ηλιακή τροχιά καθώς βρίσκεται στην εξέδρα εκτόξευσης. Αυτή η υπάρχουσα ηλιακή τροχιά πρέπει να ρυθμιστεί ώστε να οδηγήσει το διαστημόπλοιο στον Άρη:
Έτσι, το διαστημικό σκάφος απογειώνεται από την εξέδρα εκτόξευσης, ανέρχεται αρχικά κατακόρυφα πάνω από τη γήινη ατμόσφαιρα (περίπου 200 km) και χρησιμοποιεί τον πύραυλό του για να επιταχύνει (η επιτάχυνση είναι εφαπτομενική στην υπάρχουσα τροχιά) προς την κατεύθυνση της περιστροφής της Γης γύρω από τον Ήλιο σε βαθμό που η ενέργεια που προστίθεται εδώ (περιήλιο) θα προκαλέσει τη νέα τροχιά του να έχει ένα αφήλιο ίσο με την τροχιά του Άρη. Μετά από αυτή τη σύντομη επιτάχυνση μακριά από τη Γη, το διαστημικό σκάφος έχει επιτύχει τη νέα του τροχιά και απλώς συνεχίζει την υπόλοιπη διαδρομή του.
Το περιήλιο της επιθυμητής τροχιάς (πλησιέστερη προσέγγιση στον Ήλιο) θα βρίσκεται στην απόσταση της τροχιάς της Γης, και το αφήλιο (μεγαλύτερη απόσταση από τον Ήλιο) θα βρίσκεται στην απόσταση της τροχιάς του Άρη. Αυτή η τροχιά ονομάζεται τροχιά μεταφοράς Hohmann.
Για να εκτοξευθεί ένα διαστημικό σκάφος από τη Γη σε έναν εσωτερικό πλανήτη όπως η Αφροδίτη χρησιμοποιώντας το λιγότερο καύσιμο, η υπάρχουσα ηλιακή τροχιά του (όπως βρίσκεται στην εξέδρα εκτόξευσης) πρέπει να ρυθμιστεί έτσι ώστε να το μεταφέρει στην Αφροδίτη. Με άλλα λόγια, το αφήλιο του διαστημικού σκάφους βρίσκεται ήδη στην απόσταση της γήινης τροχιάς και το περιήλιο θα βρίσκεται στην τροχιά της Αφροδίτης.
Αυτή τη φορά, το ζητούμενο είναι να μειωθεί το περιήλιο της σημερινής ηλιακής τροχιάς του διαστημικού οχήματος.
Για να επιτευχθεί αυτό, το διαστημικό σκάφος απογειώνεται από την εξέδρα εκτόξευσης, ανυψώνεται πάνω από τη γήινη ατμόσφαιρα και χρησιμοποιεί τον πύραυλό του για να επιταχύνει αντίθετα από την κατεύθυνση της περιστροφής της Γης γύρω από τον Ήλιο, μειώνοντας έτσι την τροχιακή του ενέργεια ενώ βρίσκεται εδώ στο (αφήλιο) σε βαθμό που η νέα του τροχιά να έχει περιήλιο ίσο με την απόσταση της τροχιάς της Αφροδίτης. Για άλλη μια φορά, η επιτάχυνση είναι εφαπτομενική στην υπάρχουσα τροχιά.
Ένα παράδειγμα απογείωσης όπου φαίνεται πόσο κοντά στη γη και πόσο γρήγορα τελειώνει η φάση της εκτόξευσης.
Καλησπέρα συνάδελφοι. Τυχαίο είναι που και οι δύο αστρονόμοι της παρέας είναι Άρηδες; Σας ευχαριστώ.
Άρη Ρ. καλή χρονιά!. Είσαι πρωτοπόρος στο θέμα της ταχύτητας διαφυγής.
Ένα δικό σου άρθρο που πέρασε κάπως απαρατήρητο.
Εκτόξευση διαστημόπλοιου με …το κανόνι του Ιουλίου Βερν , όπου βγάζεις αντίστοιχες τιμές με της παρούσας άσκησης.
Άρη Α. έκανα τη διόρθωση στο σχήμα, οπότε δε χρειάζεται πουθενά η RH
Πολύ σημαντική η πληροφορία για την τροχιά Hohhmann.
Η μετάβαση Hohmann είναι ενεργειακά συμφέρουσα αλλά χρονικά πιο αργή. Χρησιμοποιείται κυρίως σε αποστολές όπου η εξοικονόμηση καυσίμου προέχει έναντι του χρόνου, όπως σε διαπλανητικές αποστολές.
Είναι εντυπωσιακή η κατανάλωση καυσίμων στη φωτογραφία. Μέσα σε 43min, καύσιμα τέλος.
Το Parker Solar χρησιμοποιεί την Αφροδίτη για βαρυτική επιβράδυνση, για να βρεθεί σε κοντινές προς τον ήλιο τροχιές.
Η θέση μηδενισμού του δυναμικού είναι μία και μοναδική σε κάθε σύστημα. Δεν είναι δυνατόν αλλού να είναι το μηδέν του δυναμικού που οφείλεται στη Γη και αλλού το μηδέν του δυναμικού που οφείλεται στον Ήλιο.
Σκεφτόμουν να κατασκευάσω μια απλοική προσομοίωση που μάλλον δεν θα σας ενδιαφέρει . Αφορά την μεταβολή των g Γης και Σελήνης σε διαστημόπλοιο που κατευθύνεται προς την Σελήνη. . ΕΔΩ μια παλιά με απογείωση πυραύλου. Τεχνικά ίσως στηριχθεί σε ΑΥΤΗΝ και ίσως σε ΑΥΤΗΝ .
Κύριε Βάρβογλη. Η επιλογή του σημείου μηδενικού δυναμικού είναι θέμα σύμβασης και εξαρτάται από το πρόβλημα. Έτσι λύνουμε χρόνια τώρα τις ασκήσεις στα συντηρητικά πεδία.
Για κινήσεις κοντά στην επιφάνεια της Γης θεωρούμε στην επιφάνεια το σημείο μηδενισμού.
Για κινήσεις μακριά από τη Γη (δορυφόροι, πύραυλοι) το σημείο μηδενικού δυναμικού λαμβάνεται στο άπειρο.
Μπορούμε να επιλέξουμε να ορίσουμε το δυναμικό να είναι μηδέν στην επιφάνεια της σφαίρας Hill, όταν μελετάμε το πρόβλημα με βάση τη βαρυτική κυριαρχία της Γης.
Στην επιφάνεια της σφαίρας Hill, το βαρυτικό δυναμικό του Ήλιου και της Γης βρίσκονται σε ισορροπία (στα σημεία Lagrange L1 και L2), καθορίζοντας τα όρια της επιρροής της Γης.
Μπορούμε λοιπόν να το κάνουμε όταν εξετάζουμε τροχιές δορυφόρων ή άλλων σωμάτων που βρίσκονται υπό την επιρροή της Γης ή μελετάμε προβλήμάτα τριών σωμάτων (Ήλιος-Γη-Δορυφόρος), όπου η σφαίρα Hill οριοθετεί τις περιοχές βαρυτικής κυριαρχίας.
Λευτέρη πολύ ενδιαφέρουσα η πρώτη προσομοίωση, κοντά στην πραγματικότητα και σε αυτά που κάναμε στις Δέσμες.
Όμως υ = 3km/s έχει κοντά στη γεωστατική τροχιά. Με τίποτα δεν φτάνει εκεί σε 500s. Θέλει περίπου 6 ώρες. Μπαίνει πρώτα σε χαμηλή τροχιά γύρω από τη Γη ( σε 8 min ) και μετά μπαίνει σε τροχιά Hohhmann που είναι ελλειπτική (θέλει 5 ώρες ). Βάλε και τις μανούβρες εξόδου και τοποθέτησης στην τελική τροχιά.
Ας αναδιατυπώσω την παρατήρησή μου. Σε ένα δυναμικό σύστημα η θέση όπου το δυναμικό μηδενίζεται μπορεί να επιλεγεί αυθαίρετα, αλλά άπαξ και επιλεγεί είναι μία και μοναδική. Αν το σύστημα αποτελείται από δύο σώματα, δεν είναι δυνατόν το σημείο μηδενισμού να είναι διαφορετικό για τη βαρυτική συνεισφορά του κάθε σώματος. Αν στο συγκεκριμένο πρόβλημα το δυναμικό μηδέν επιλεγεί στην επιφάνεια του λοβού Roche, τότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε και δεύτερο σημείο μηδενισμού, εκτός και αν βρίσκεται στην ίδια ισοδυναμική επιφάνεια. Στη λύση που προτείνεται υπάρχει η έκφραση “το δυναμικό του Ήλιου” και “το δυναμικό της Γης”. Αυτά είναι συνεισφορές στο συνολικό δυναμικό, αλλά το δυναμικό είναι ένα και μηδενίζεται σε μια θέση.
Καλησπέρα κύριε Χάρη. Ευχαριστώ για την προσεκτική ματιά. Δε μπορούμε στο ίδιο πρόβλημα να έχουμε δυο σημεία αναφοράς δυναμικού.
Αναπροσάρμοσα τη λύση με σημείο αναφοράς μόνο το άπειρο.
Τότε πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας Hill VH = -GMs/r και με τις προσεγγίσεις προέκυψαν τα ίδια αποτελέσματα.
Να έχετε μια καλή χρονιά.