Εύρεση σχέσης μήκους d και ύψους h

Ένα σώμα μάζας m είναι αρχικά ακίνητο στο άκρο ενός λείου τραπεζιού μήκους d . Κάποια στιγμή ξεκινούμε να ασκούμε στο σώμα σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F η οποία έχει μέτρο ίσο με το βάρος του σώματος . Όταν το σώμα φτάσει στο άλλο άκρο του τραπεζιού καταργούμε την δύναμη F και το σώμα εκτελεί οριζόντια βολή από ύψος h . Όταν το σώμα φτάσει στο έδαφος η ταχύτητα του  σχηματίζει με το οριζόντιο επίπεδο γωνία ίση με 45^ο. Θεωρούμε αμελητέα την αντίσταση του αέρα.

Ποιά από τις παρακάτω σχέσεις είναι η σωστή ;

α) h=d

β) h=2d

γ)h=d/2

Απάντηση

Σωστό το α

Εφαρμόζουμε ΘΜΚΕ για την κίνηση του σώματος στο τραπέζι (έως την κατάργηση της F)

Κτελ-Καρχ=Fd

0,5mu²=Fd

u=(2Fd/m)^1/2

όμως F=mg άρα u=(2mgd/m)^1/2=(2gd)^1/2

Η ταχύτητα αυτή έπειτα λειτουργεί ως αρχική ταχύτητα στην οριζόντια βολή. Συνεπώς ισχύει .

u₀₌(2gd)^1/2

Για την γωνία που σχηματίζει η ταχύτητα με το οριζόντιο επίπεδο ισχύει εφθ=u_y/u₀

Η γωνία μας είναι 45^ο,συνπώς ισχύει 1=u_y/u₀  ή  u₀=u_y 

Για την ταχύτητα u_y=g Δt_ολ =g (2h/g)^1/2=(2hg)^1/2

Επομένως προκύπτει (2hg)^1/2=(2gd)^1/2=>h=d

Συμπληρωματικά

Εάν θέλαμε να βρούμε σχέση του d με το βεληνεκές Xmax :

Xmax=u₀ Δt_ολ 

h=0,5gΔt_ολ ²=0,5 g Δt_ολ Xmax/u₀ =0,5 u_y Xmax/u₀=0,5 εφθ Xmax=0,5Χmax

Όμως πριν αποδείξαμε h=d άρα d=0,5Χmax ή Xmax=2d ( άρα και η απόσταση του σώματος απο την αρχική του θέση είναι d+Xmax=3d)