by 
Το κυλινδρικό δοχείο του διπλανού σχήματος είναι στερεωμένο στο δάπεδο και έχει εμβαδό βάσης Α = 20 cm². Στο κάτω μέρος του είναι προσαρμοσμένος λεπτός οριζόντιος σωλήνας με βρύση Β, στο ανοικτό στόμιο του οποίου είναι κολλημένο λεπτό ανελαστικό διάφραγμα Δ.
Μέσα στο δοχείο και μέχρι ύψος h = 1 m υπάρχει νερό πυκνότητας ρ = 10³ kg/m³, αποκλεισμένο με αβαρές αεροστεγές έμβολο Ε που δεν παρουσιάζει τριβές με τα τοιχώματα. Το νερό θεωρείται ιδανικό υγρό και δεν περιέχει αέρα ή υδρατμούς.
Πάνω στο έμβολο είναι στερεωμένο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k = 10³ N/m και στο άλλο του άκρο είναι δεμένο σώμα Σ μάζας m = 10 kg. Το ελατήριο είναι κατακόρυφο και το σώμα ισορροπεί.
Α. Κλείνουμε σφικτά τη βρύση, εκτρέπουμε αρχικά το σώμα προς τα κάτω κατά d και τη χρονική στιγμή to = 0 το αφήνουμε ελεύθερο χωρίς αρχική ταχύτητα.
Α-1) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή dmax της αρχικής εκτροπής για την οποία το έμβολο στη συνέχεια παραμένει ακίνητο.
Α-2) Για την τιμή αυτή dmax να απεικονίσετε γραφικά σε βαθμολογημένους άξονες την πίεση του υγρού στον πυθμένα του δοχείου σε συνάρτηση με το χρόνο.
Α-3) Αν το δοχείο δεν ήταν στερεωμένο στο δάπεδο, αλλά απλά ακουμπισμένο, θα υπήρχε κίνδυνος να αναπηδήσει;
Β. Με το σώμα Σ πάλι αρχικά στη θέση ισορροπίας του, ανοίγουμε τελείως τη βρύση και στη συνέχεια σπρώχνουμε το σώμα πολύ αργά προς τα κάτω. Μετά από μετατόπιση d = 13,6 cm το διάφραγμα Δ σπάει τελείως και αρχίζει να εκρέει νερό. Να υπολογίσετε:
Β-1) Τη διαφορά πίεσης στα δύο επιφάνειες του διαφράγματος ελάχιστα πριν σπάσει.
Β-2) Την ταχύτητα εκροής ελάχιστα μετά την καταστροφή του διαφράγματος. Να θεωρήσετε τη ροή του νερού στρωτή και μόνιμη.
Καλημέρα Διονύση και συγχαρητήρια για το πόνημά σου!
Είχα κανει κατι παρόμοιο στο τελευταίο διαγώνισμα που ανάρτησα,αλλά σαν Β θέμα. Κάποιοι συνάδελφοι είχαν ενστάσεις ως προς το αν ισχύει ο νόμος Beroulli, κι εγώ ισχυρίσθηκα ότι ισχύει με τις προυποθέσεις μικρής οπής κλπ. Εσύ κατέδειξες αριθητικά ότι μπορούμε να τον εφαρμόσουμε.
Καλημέρα Διονύση.
Έμπλεξες πολλά και όμορφα!
Σε ευχαριστούμε, αν το έκανες και συχνότερα…
Διονύση καλή σου μέρα!
Εξαιρετική ανάλυση και όμορφο επαναληπτικό θέμα!
Καλημέρα Διονύση!
Για το Α2 νομίζω έχουμε πρόβλημα.
Με τέτοια μεταβολή στην πίεση, στο υγρό δεν δημιουργείς πυκνώματα και αραιώματα, άρα και στάσιμο κύμα το οποίο δεν λαμβάνεις υπόψιν; Νομίζω αυτά με τις μεταβαλόμενες πιέσεις είναι δύσκολα στο χειρισμό (προσωπικά εγώ δεν μπορώ να το χειριστώ, έχουν σκουριάσει και οι γνώσεις μου στα ανώτερα μαθηματικά μιας και δεν τις χρησιμοποιώ).
Πρόδρομε καλημέρα!
Εγώ σου είχα κάνει την ένσταση τότε (και τουλάχιστον για μένα ακόμη πιστεύω πως δεν είναι σωστή η αντιμετώπιση σου αφού στο τέλος είχες βγάλει ότι η μεταβολή είναι απειροελάχιστη και ισχύει ο Bernoulli. Σ' αυτή όμως την περίπτωση με απειροελάχιστη μεταβολή όλες οι ααπαντήσεις είναι ίδιες).
Ο Διονύσης εδώ όταν εφαρμόζι Bernoulli έχει απαλλαγεί από ταλαντώσεις, οπότε δεν βρίσκω κάτι μη νόμιμο!!!
Καλή σας μέρα!
Διονύση καλημέρα
Πολύ ωραίο πάντρεμα της ταλάντωσης και του ρευστού και μία πολύ δυνατή άσκηση και για τα δύο κεφάλαια
Άριστη!
Απορώ φυσικά πως δεν επέλεξες τον γενικευμένο νόμο Μπερνούλι που εσύ είχες πρωτοπαρουσιάσει στο υλικονέτ.
Μετά φυσικά το θέμα του διαγωνισμού (λόγος διατομών 1/3!!) και την διαπίστωση ότι έχουμε προσέγγιση 3ου δεκαδικού ψηφίου, δεν προσφέρει κάτι το ιδιαίτερο.
Καλημέρα σε όλους,
Πρόδρομε, Διονύση, Δημήτρη, Βασίλη Τάσο, Γιάννη σας ευχαριστώ για τα σχόλια και τα καλά λόγια 🙂
Διονύση το παλεύω, προσπαθώ ανάμεσα στα άλλα να λύσω και τα … τεχνικά προβλήματα!
Γιάννη προσπάθησα όσο μπορούσα να είμαι «νόμιμος» σε σχέση με το σχολικό.
Έβαλα ιδανικό υγρό χωρίς αέρια, «πολύ λεπτό σωλήνα» (ίσως έπρεπε να βάλω και «μικρού μήκους») ώστε να είναι ρεαλιστική η σχεδόν άμεση αποκατάσταση μόνιμης ροής.
Βασίλη ούτε εγώ μπορώ να αντιμετωπίσω την περίπτωση δημιουργίας κύματος από τις μεταβολές της πίεσης.
Νομίζω όμως ότι αυτό ξεφεύγει από το μοντέλο του ιδανικού ρευστού που το θεωρούμε ασυμπίεστο. Στο μοντέλο του ασυμπίεστου υγρού έχω την εντύπωση ότι μικρές μεταβολές της πίεσης (μπορούμε να θεωρούμε πως) διαδίδονται ακαριαία.
Εξάλλου, στην άσκηση η περίοδος μεταβολής της πίεσης είναι π/5 sec, δηλαδή πάνω από 0,6 sec. Δεν προέρχεται από π.χ. ένα απότομο κτύπημα με σφυρί που θα είχε διάρκεια της τάξης του msec.
Πρόδρομε πιστεύω κι εγώ , μετά και από τόσες συζητήσεις που έχουμε κάνει για την ψευδομονιμότητα της ροής, ότι ένας λόγος εμβαδών μεγαλύτερος από π.χ. 10/1 (και μικρό μήκος του σωλήνα εκροής) είναι ικανοποιητικός για να θεωρούμε τη ροή πρακτικά μόνιμη.
Διονύση σ' ευχαριστώ για την εμφάνιση της εικόνας, αλλά πώς το έκανες; Εγώ παιδεύτηκα ώρες και δεν κατάφερα να την κάνω να φαίνεται!
Καλημέρα σε όλους,
Πρόδρομε, Διονύση, Δημήτρη, Βασίλη Τάσο, Γιάννη σας ευχαριστώ για τα σχόλια και τα καλά λόγια 🙂
Διονύση το παλεύω, προσπαθώ ανάμεσα στα άλλα να λύσω και τα … τεχνικά προβλήματα!
Γιάννη προσπάθησα όσο μπορούσα να είμαι «νόμιμος» σε σχέση με το σχολικό.
Έβαλα ιδανικό υγρό χωρίς αέρια, «πολύ λεπτό σωλήνα» (ίσως έπρεπε να βάλω και «μικρού μήκους») ώστε να είναι ρεαλιστική η σχεδόν άμεση αποκατάσταση μόνιμης ροής.
Βασίλη ούτε εγώ μπορώ να αντιμετωπίσω την περίπτωση δημιουργίας κύματος από τις μεταβολές της πίεσης.
Νομίζω όμως ότι αυτό ξεφεύγει από το μοντέλο του ιδανικού ρευστού που το θεωρούμε ασυμπίεστο. Στο μοντέλο του ασυμπίεστου υγρού έχω την εντύπωση ότι μικρές μεταβολές της πίεσης (μπορούμε να θεωρούμε πως) διαδίδονται ακαριαία.
Εξάλλου, στην άσκηση η περίοδος μεταβολής της πίεσης είναι π/5 sec, δηλαδή πάνω από 0,6 sec. Δεν προέρχεται από π.χ. ένα απότομο κτύπημα με σφυρί που θα είχε διάρκεια της τάξης του msec.
Πρόδρομε πιστεύω κι εγώ, μετά και από τόσες συζητήσεις που έχουμε κάνει για την ψευδομονιμότητα της ροής, ότι ένας λόγος εμβαδών μεγαλύτερος από π.χ. 10/1 (και μικρό μήκος του σωλήνα εκροής) είναι ικανοποιητικός για να θεωρούμε τη ροή πρακτικά μόνιμη.
Καλησπέρα Διονύση
Εξαιρετικό και πρωτότυπο θέμα!!
Καλησπέρα Διονύση. Λες:
“Διονύση σ’ ευχαριστώ για την εμφάνιση της εικόνας, αλλά πώς το έκανες;”
Δεν έκανα τίποτα δύσκολο. Βρήκα την εικόνα που εσύ είχες ανεβάσει και απλά με κλικ πάνω της την επέλεξα, αλλάζοντάς της διαστάσεις και πατώντας το εικονίδιο που εμφανίστηκε για τοποθέτηση στα αριστερά.
Διονύση σε βλέπω πιο κοντά και αυτό είναι ευχάριστο!
Καλό το θέμα πως μας παρουσίασες με ερωτήματα που κάνουν επανάληψη στις ταλαντώσεις αλλά συνδυάζουν όμορφα και τα ρευστά ισορροπία και κίνηση. Μου άρεσε η διερεύνηση του ξεκολληματος του δοχείου!
Οσον αφορά τον προβληματισμό του Βασίλη συμφωνώ με την αιτιολόγηση σου!
Καλησπέρα(Καλημέρα) Διονύση, πολύ ωραίο το συνδυαστικό θέμα και κυρίως η διερεύνηση.Η "νομιμότητα" θέλει "δεδηλωμένη" τη θετική φορά της ταλάντωσης.
Διονύση μας έδωσες ένα δύσκολο θέμα που εμένα τουλάχιστον με ανάγκασε να πάρω
χαρτί, μολύβι και να προβληματιστώ αρκετά…..ειδικά στα Α1-Α2-Α3
Σκέψεις που ήρθαν στο μυαλό μου στη διάρκεια της λύσης
α) Γιατί δίνει το έμβολο αβαρές;
Αν είχε μάζα M νομίζω η λύση στο Α1 θα ήταν dmax=<(M+m)g+patmA>/k
Προβληματισμός:
Γιατί όταν δίνουμε το κλασικό θέμα με το κατακόρυφο ελατήριο και τα σώματα M, m συνδεδεμένα
στ' άκρα του, το Μ σε επαφή με το έδαφος, αγνοούμε τη δύναμη από την ατμόσφαιρα;
Η απάντηση: "Ο αέρας διεισδύει και στο κάτω μέρος του σώματος οπότε η συνολική δύναμη
από την ατμόσφαιρα στο σώμα Μ είναι μηδενική"
Εκτιμώ ότι δεν είναι προφανές και καλό θα είναι να το τονίζουμε στους μαθητές, ώστε να μην
υπάρχει στο μυαλό τους υποψία ότι εξετάζουμε ό,τι μας βολεύει…
Γι αυτό η αξία του Α3 σαν ερώτημα είναι σημαντική
Να 'σαι καλά και να μας προβληματίζεις