by 
Δύο σφαιρίδια Σ1 και Σ2 με μάζες m1=m/2 και m2=m αντίστοιχα είναι δεμένα στα άκρα ιδανικού νήματος αμελητέας μάζας το οποίο περνά μέσα από οπή σε λείο οριζόντιο τραπέζι όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η σφαίρα Σ1 απέχει απόσταση R=0,2m από την οπή και αρχικά το σύστημα είναι ακίνητο με τη βοήθεια του χεριού μας που συγκρατεί το σφαιρίδιο Σ2 και το σχοινί μόλις που δεν ασκεί δύναμη, (τάση) σχήμα 1.Μια χρονική στιγμή που θεωρούμε t=0 μία σφαίρα Σ3 μάζας m3=m/2 κινούμενη οριζόντια και κάθετα στην ακτίνα R με ταχύτητα μέτρου υ0=8m/s συγκρούεται πλαστικά με το Σ1 ενώ απελευθερώνουμε ταυτόχρονα το Σ2. Η κρούση γίνεται ακαριαία και τα σώματα δεν προλαβαίνουν να αλλάξουν θέση κατά τη διάρκειά της. Αν m=1kg τότε
α) Να βρείτε την τάση του νήματος αμέσως μετά την κρούση του σφαιριδίου Σ3 με το σφαιρίδιο Σ1.
β) Περιγράψτε την κίνηση των σωμάτων του συστήματος.
γ) Βρείτε ποιοτικά που επιτυγχάνεται η μέγιστη ταχύτητα της σφαίρας Σ2.
δ) Να βρείτε το μέγιστο ύψος από την αρχική του θέση στο οποίο θα ανέλθει κατακόρυφα το Σ2.
ε) Βρείτε πόσο απέχει η θέση ισορροπίας του m2 από την αρχική του θέση καθώς και την ταχύτητα του σώματος m2 στη θέση αυτή.
Θεωρείστε ότι η ακτίνα της τροχιάς του συσσωματώματος m1,3 μεταβάλλεται με πολύ μικρό ρυθμό και έτσι η κίνησή του είναι σχεδόν κυκλική.
Αντιστάσεις αέρα και τριβές θεωρούνται αμελητέες.
Δίνεται g=10m/s2 και √32=5,65
Απάντηση
Μια διαφορετική αντιμετώπιση απο τον Κώστα Ψυλάκο Μια περίεργη ταλάντωση
Για μικρές μεταβολές η κίνηση προκύπτει αρμονική ταλάντωση αρμονική_ταλάντωση_m2
Προσομοίωση απο τον Γιάννη Κυριακόπουλο κίνηση_m2_ip
Η ανάρτηση αφιερώνεται στον Κώστα Ψυλάκο και Διονύση Μάργαρη. Η συμβολή τους ήταν καίρια.
Η παρούσα ανάρτηση υπήρχε απο καιρό στα σκαριά με αφορμή το θέμα 3α του πανελλήνιου διαγωνισμού 2011,την ανάρτηση του Διονύση Η κυκλική κίνηση και η ανύψωση του σώματος. τα σχόλια στη συζήτηση Μπορούμε να κάνουμε «σιωπηλές» προσεγγίσεις; Μάλιστα κάποια σχόλια της συζήτησης απο τον Διονύση Μάργαρη και Διονύση Μητρόπουλο έχουν μεταφερθεί αυτούσια στην άσκηση.
Κατόπιν με το φετινό θέμα Β2 των πανελληνίων η άσκηση αναζωπυρώθηκε και ολοκληρώθηκε.
Ευχαριστώ πολύ για την αφιέρωση Χρήστο!
Όντως ένα ενδιαφέρον θέμα που το τελευταίο καιρό ήρθε αρκετά στα φώτα της δημοσιότητας !
Να είσαι καλά
Καλησπέρα Χρήστο και σε ευχαριστώ για την αφιέρωση.
Τελικά… το ξετίναξες το θέμα!!!
Πολύ ωραία και εξαντλητική ανάλυση Χρήστο, όπως μας έχεις συνηθίσει άλλωστε. Πολύ ωραία και χρήσιμη η βιβλιογραφία που αναφέρεις σε παλιές αναρτήσεις και σχόλια. Να περνάς καλά
Κωστα, Διονύση και Τάσο καλημέρα.
Σας ευχαριστώ για το σχόλιο και την αποδοχή.
Καλό υπόλοιπο σε όλους. Να περνάτε καλά και να φορτισετε τις μπαταρίες σας.
χρήστο πολυ όμορφη και αναλυτική η ανάρτησή σου , είχα και εγώ παλιότερα προσεγγίσει το θέμα και προέκυπτε η περίεργη αατ του κρεμασμένου σώματος με τις ασύμμετρες ακραίες ως προς τη ΘΙ , δεν βρίσκω τις αναρτήσεις όμως θαναι στο παλιο υλικο νετ δυστυχώς , καλή ξεκούραση γιατί ο σεπτέμβριος πλησιάζει
Μανόλη καλησπέρα
Σε αυχαριστώ για το σχόλιο. Εύχομαι να είσαι κάπου διακοπές και να περνάς καλά.
Μια ενδιαφέρουσα ιστορία για το συγκεκριμένο θέμα. Ήταν Φεβρουάριος το 1992 και ήμουν αναπληρωτής στο 2ο ΓΕΛ Βύρωνα. Αντικαθιστούσαμε τους επιμορφούμενους για τρίμηνα συναδέλφους στα ΠΕΚ. Τότε ήταν οι δέσμες και ένας μαθητής της πρώτης δέσμης μου έφερε αυτή την άσκηση ως πολύ δύσκολη και απορία του μαθηματικού του φροντιστή Σπύρου Καλομιτσίνη. Ήταν διατυπωμένη με ίσες μάζες και με αρχική κάθετη ταχύτητα(χωρίς την κρούση). Του είχα στείλει τη λύση και με θεωρητική μηχανική και γυμνασιακά και ήταν η αφορμή να ζητήσει να με γνωρίσει ο Σπύρος. Όπως μου είπε μετά, η άσκηση είχε δοθεί σε qualifying exam για απόφοιτους φυσικούς που θέλανε να συνεχίσουν master σε ένα αμερικάνικο πανεπιστήμιο. Την συμπεριέλαβα σε ένα φροντιστηριακό βιβλίο που είχα γράψει το 93 καθώς και στο βιβλίου του ΟΕΔΒ της ομάδας Δρη. Επίσης ο Διονύσης θα θυμάται ότι ήταν μια χρονιά και θέμα των εξετάσεων Φυσικής της ΕΕΦ.
Νίκο καλησπέρα
Όντως το θέμα που περιγράφεις έχει ιστορία. Είδα την ασκηση που περιγράφεις στο βιβλιο του Δρυ το οποίο είναι ίδιο με το θέμα του διαγωνισμού το 2011. Να υποθέσω ήσουν υπαίτιος για το θέμα;
Χρήστο, εγώ απλώς την συμπεριέλαβε στο βιβλίο με το Δρη. Για το διαγωνισμό της ΕΕΦ άλλοι το επιλέξανε.
Καλησπέρα συνάδελφοι.
Και για του λόγου το αληθές, η άσκηση που αναφέρει παραπάνω ο Νίκος, από το βιβλίο της ομάδας Δρη.
Μπορεί κανείς να εξηγήσει λεπτομερώς τι μας διασφαλίζει ότι το νήμα παραμένει τεντωμένο αμέσως μετά την συσσωμάτωση;
Αν δεχτούμε ότι το νήμα τεντώνεται και ότι η μάζα m_2 κινείται κατερχόμενη τότε δεν βρίσκω κάποιο αποτέλεσμα για την επιτάχυνση της μάζας m_2 που να συνάδει με καθοδική κίνηση οπότε αυτό το σενάριο απορρίπτεται. Παρόλα αυτά, αν πάμε στη λύση του Χρήστου που βρίσκει μία τάση νήματος προς τα πάνω (πολύ μεγαλύτερη του βάρους του σώματος μάζας m_2) … τότε το σενάριο που μου 'ρχεται στο μυαλό είναι το εξής: εφόσον το σώμα μάζας m_2 κινείται προς τα πάνω αμέσως μετά τη συσσωμάτωση, αμέσως μετά το νήμα χαλαρώνει … όμως εξαιτίας της ανακατανομής των δυνάμεων επί της μάζας m_2 όλο αυτό φαντάζομαι ότι ταχύτατα λειτουργεί σαν μία (σχεδόν) στιγμαία ώθηση προς τα πάνω οπότε το σώμα μάζας m_2 θα κάνει κατακόρυφη βολή, και το συσσωμάτωμα, αφού καταργείται η τάση του νήματος και το δάπεδο είναι λείο, θα κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση ως αν καταργούνταν η έλξη του νήματος επί αυτού … εώς ότου η θέση των δύο σωμάτων γίνει τέτοια ώστε να ξανατεντωθεί το νήμα και λειτουργήσει σαν συμπαγής δεσμός μεταξύ του συσσωματώματος και μάζας m_2. Υπάρχει κάποιο λάθος στον ανωτέρω συλλογισμό;
Καλημέρα Παντελεήμονα.
Δεν βλέπω να χαλαρώνει ποτέ το νήμα, αφού ανεξάρτητα αν το δεύτερο σώμα ανεβαίνει ή κατεβαίνει, το σώμα στο τραπέζι εκτελεί κίνηση καμπυλλόγραμμη (όπως και αν την θεωρήσουμε, κυκλική ελλικοειδή…) και απαιτείται η ύπαρξη κεντρομόλου δύναμης.
Καλημέρα Παντελή
Εύλογη η απορία σου αλλά τελικά το νήμα μένει τεντωμένο. Η απαιτηση να υπάρχει κεντρομόλος δίνει μη.μηδενικη τάση. Επιπλέον αν λυθεί αναλυτικά το σύστημα των σωμάτων αλλά δεν απευθυνεται σε μαθητές τη στιγμή που τελειώνει η κρούση και τα δύο σώματα είναι σε σύζευξη και δεν είναι ανεξάρτητα.
Αναλυτικά δες το παρακάτω αρχείο σε μια άσκηση του Χρήστου Ελευθερίου
Θα μείνει τεντωμένο το νήμα
Όπου αν το αντιμετωπίσουμε έτσι απλά βρίσκουμε άλλη τιμή στην τάση
Γεια χαρά guys,
Χρήστο θα κοιτάξω το αρχείο που μου 'στειλες αναλυτικά … διαισθητικά μιλώντας … πριν την κρούση δεν ασκείται καμία δύναμη σε κανένα σώμα … το νήμα είναι τεντωμένο αλλά δεν ασκεί καμία τάση πουθενά … η κρούση θα προκαλέσει τέντωμα του νήματος, όμως επειδή στο σώμα μάζας m_2 ασκείται μια μεγάλη κατακόρυφη δύναμη το τελευταίο θα τείνει στιγμιαία να κινηθεί προς τα πάνω κατά τη φορά της τάσης του νήματος … το δε συσσωμάτωμα θα τείνει στιγμιαία να διαγράψει κυκλική τροχιά ακτίνας R, με την τάση που ασκείται επί αυτού σε ρόλο κεντρομόλου δύναμης … αν το σώμα μάζας m_2 κινηθεί κατά τη φορά της τάσης του νήματος όμως, αυτό που λογικά αναμένω είναι να χαλαρώσει το νήμα σε όλο το μήκος του μιας και δεν υπάρχει κάποια δύναμη τριβής κάπου (π.χ. στην οπή του τραπεζιού εκ της οποίας διέρχεται) που θα μπορούσε λ.χ. να κρατήσει το συσσωμάτωμα σε κυκλική τροχιά αμέσως μετά την κρούση. Υπό το πρίσμα αυτό, το σώμα μάζας m_2 αρχικά δέχεται μηδενική συνισταμένη δύναμη, μετά στιγμιαία δέχεται μια ανοδική συνισταμένη δύναμη ~ 70Ν και λόγω της τάσης του να κινηθεί κατά τη φορά της τάσης του νήματος η τάση του νήματος καταργείται αμέσως μετά … όλο αυτό όμως στην ουσία θυμίζει ένα kick upwards (όπως όταν χτυπήσουμε με τη στέκα μια μπάλα μπιλιάρδου) … με δύο λόγια αναμένω αναπήδηση της μάζας m_2 αμέσως μετά την κρούση … κατά το αυτό σκεπτικό η στιγμή της συσσωμάτωσης μου φαίνεται ότι δίνει ένα radial kick στο συσσωμάτωμα … το οποίο αμέσως μετά την κρούση θα εκτελέσει ευθύγραμμη τροχιά μέχρι να πάει πιο πέρα και να ξανατεντωθεί το νήμα.
Η απορία μου ήταν κάτω από ποιες συνθήκες το νήμα παραμένει τεντωμένο τελικά μετά τη συσσωμάτωση και δεν συμβαίνει χαλάρωση και ξανατέντωμα … παίζει κάποιο ρόλο το μήκος του νήματος ή οι μάζες των σωμάτων … ώστε να αποφύγει κανείς τυχόν αναπηδήσεις στην όλη διαδικασία; μήπως θα έπρεπε κανείς αμέσως μετά τη συσσωμάτωση να υποθέσει ότι το νήμα δεν είναι τεντωμένο και να καταλήξει σε κάποιου είδους άτοπο; … (αν αγνοήσουμε παντώς είδους τριβές) το σενάριο που περιγράφεται στην άσκηση θα μου φαινόταν πολύ πιο λογικό αν η κρούση δεν γινόταν ακριβώς κάθετα στο νήμα, αλλά αντ' αυτού η αρχική ταχύτητα του σώματος μάζας m_3 είχε και μία συνιστώσα παράλληλη στη διεύθυνση του νήματος (δηλαδή ακτινική με κέντρο το κέντρο της οπής) με φορά μακριά από την οπή …