by 
Στο σχήμα απεικονίζεται κυλινδρικό δοχείο που περιέχει νερό σε ύψος Η και κλείνεται αεροστεγώς με έμβολο εμβαδού διατομής Αδ , που μπορεί να κινείται χωρίς τριβές. Στο κέντρο του εμβόλου υπάρχει μικρή οπή εμβαδού Αο, που κλείνεται με τάπα αμελητέας μάζας.
Τοποθετούμε πάνω στο έμβολο μικρά βαράκια μέχρι να εκτιναχθεί η τάπα. Η συνολική μάζα εμβόλου-βαρών είναι Μ.
εκφώνηση και απαντήσεις
Καλησπέρα Πρόδρομε. Σε ευχαριστώ για την ανάρτηση.
Μου άρεσε η τριβή στην τάπα, που δεν υπάρχει στο έμβολο. Πολύ καλός τρόπος να προβληματιστεί ο μαθητής με τις δυνάμεις, αφού με την πρώτη ματιά φαίνεται να είναι το ίδιο.
Μήπως στο τελευταίο ερώτημα πρέπει να μιλήσεις για την δύναμη ανά μονάδα όγκου και όχι για μια στοιχειώδη μάζα;
Καλημέρα Πρόδρομε. Καλή άσκηση.
Πρόδρομε καλησπέρα
Μπορεί να άργησες να βάλεις άσκηση αλλά χαλάλι.
Το β ερώτημα δύσκολο στην εύρεση της ταχυτητας. Προσωπικά χρησιμοποίησα την Bernoulli.
Το τελευταίο θέλει προσοχή καθώς απαιτείται η συνιστώσα υy και όχι η υ της φλεβας.
Βλέποντας το σχήμα πίστεψα πως δεν θα ταπωνες το έμβολο και θα υπήρχε εκροή από δύο οπες.
Διονύση, Γιάννη και Χρήστο σας ευχαριστώ για τα σχόλιά σας.
Διονύση έχεις δίκιο, το διόρθωσα.
Χρήστο αν υπήρχαν και οι δύο τρύπες θα βάρυνε πολύ περισσότερο το πρόβλημα.
Ο ”ακοίμητος φρουρός του υλικονετ΄΄, Κώστας Ψυλάκος, με πήρε στο τηλέφωνο πριν 2 ώρες και μου επεσήμανε δύο πράγματα: το ένα, ήδη το διόρθωσα, ήταν που ξέχασα στο 3ο ερώτημα να βάλω τον παράγοντα ρgH/2.
Το άλλο ήταν το εξής: Για τον υπολογισμό της ταχύτητας εκροής, όταν πετάγεται η τάπα, που την υπολογίζει με τον γενικευμένο νόμο του Νεύτωνα
F=dp/dt=(dm.u)/dt=ρ.(dV/dt).u=ρΠu=ρ.Αο. u^2 όπου Αο το εμβαδό διατομής της οπής.
όμως F=Mg το βάρος εμβόλου-βαρών, άρα Mg=ρ.Αο. u^2 , άρα u=ρίζα(Mg/ρAο). Το είχα κάνει κι εγώ αλλά το μετάνιωσα.
Εσείς τι λέτε;
μια άποψη από τον Κώστα Ψυλάκο
Ευχαριστω Προδρομε !
Να εξηγησω οτι στην πρωτη σελιδα εξεταζω κατι λιγο διαφορετικο . Απο την οπη που υπαρχει στο εμβολο ξεκινα κατακορυφος σωληνας που αρχικα δεν περιεχει νερο . Οταν το εμβολο μετατοπιστει τοτε μια ποσοτητα νερου θα ανεβει στο κατακορυφο σωληνα και στην τελικη κατασταση ισορροπιας βρισκω το υψος της στηλης του νερου στον σωληνα. Εχοντας ως δεδομενα αυτα του Προδρομου βλεπω οτι ετσι το νερο φτανει σε υψος 0.2m οσο βρισκει και ο Προδρομος έχοντας ομως αρχικη ταχυτητα υ0 το νερο και φτανει τελικα στα 0.2m .
Στην δευτερη σελιδα διαχειριζομαι το θεμα αυτο με τον ρυθμο μεταβολης της ορμης κα βρισκω τελικα οτι φτανει σε υψος 0.1m . Αναρωτιεμαι μηπως αυτο που βρισκω αντιστοιχει σε μια χρονικη στιγμη αμεσως μετα την εναρξη της ροης ή γινεται καποιο λαθος στην σκεψη ;
Πρόδρομε και Κώστα, καλησπέρα.
Κώστα, μήπως δεν είναι ξεκάθαρη η ισορροπία του ξεκινάς; Τίνος σώματος είναι η ισορροπία;
Προσωπικά θα έγραφα σαν συνθήκη ισορροπίας του εμβόλου, τη σχέση (που καταλήγεις):
Από κει και πέρα, δεν διακρίνω τη λογική. Πρόδρομε δεν χρησιμοποιεί ο Κώστας το βάρος του εμβόλου, αλλά τη δύναμη που ασκεί μια στήλη νερού ύψους 0,2m στη βάση της εξαιτίας υδροστατικής πίεσης.
Να το πω αλλιώς, η δύναμη αυτή είναι το βάρος της στήλης. Αλλά αυτή η δύναμη Κώστα:
α) Δεν παραμένει σταθερή και
β) πώς συνδέεται με την ταχύτητα εκτόξευσης; Δεν υπάρχει και το βάρος της μάζας αυτής που πρόκειται να επιταχυνθεί;
Και βέβαια δίνει το μισό αποτέλεσμα…
Δύσκολη άσκηση Πρόδρομε αλλά το συνηθίζεις…και καλά κάνεις.
Διονυση στο αρχικο μου σχημα γραφω για : οπη που υπαρχει στο εμβολο ξεκινα κατακορυφος σωληνας που αρχικα δεν περιεχει νερο . Οταν το εμβολο μετατοπιστει τοτε μια ποσοτητα νερου θα ανεβει στο κατακορυφο σωληνα και στην τελικη κατασταση ισορροπιας βρισκω το υψος της στηλης του νερου στον σωληνα.
Η συνθηκη ισορροπιας που αναφερω ισχυει για την τελικη κατασταση οπου το νερο εχει ανεβει στον σωληνα κατα yν και το εμβολο εχει κατεβει κατα yεμ . Οποτε βρισκω yν=0.2m και yεμ = 0.2mm
Απο εκει και περα παω στο προβλημα του Προδρομου . Την στιγμη της εκτοξευσης της μαζουλας του νερου η δυναμη που μεταβαλλει την ορμη της ειναι η (Μ*g/Αδ) *Α0 . (Η ολικη συμμετοχη της ατμοσφαιρας τελικα ειναι μηδενικη)
Εχοντας ως δεδομενα αυτα του Προδρομου βλεπω οτι ετσι το νερο φτανει σε υψος 0.1m (επρεπε να γραψω).
Ο Προδρομος με τον τροπο του βρισκει το διπλασιο . Σκεφτομαι λοιπον οτι αν το αρχικο μου παραδειγμα με την ισορροπια εχω μια ακινητη στηλη νερου τελικα 0.2 m τωρα που το νερο εκτοξευεται θα φτασει παλι μεχρι τα 0.2m που βρικει ο Προδρομος ή θα ειναι μικροτερο ή μεγαλυτερο ;
Κώστα δεν μου απάντησες για την συνθήκη ισορροπίας, πού την εφαρμόζεις;
Όσον αφορά τη προωστική δύναμη που βάζεις, τι ακριβώς βλέπω:
Λες: Αν είχα ισορροπία και το νερό σε ύψος 0,2m, τότε στη βάση αυτής της στήλης θα είχα δύναμη F.
Μόλις φύγει η τάπα, αυτή η F (που δεν υπάρχει πουθενά, απλά θα υπάρξει αν και εφόσον ισορροπήσει το νερό) θα εκτοξεύσει το νερό. Εδώ υπάρχει η διαφωνία μου. Δεν βλέπω τη σχέση.
Καλησπέρα παιδιά.
Βγάζω ότι και ο Πρόδρομος με την προϋπόθεση ότι η οπή είναι πολύ μικρότερη από το έμβολο.
Όταν το έμβολο κατέβει κατά dx η δυναμική ενέργεια του συστήματος μειώνεται κατά Μ.g.dx.
Μια μαζούλα ρ.(Αδ-Αο).dx αποκτά ταχύτητα υ. Η κινητική ενέργεια του συστήματος αυξάνεται κατά:
0,5.ρ.(Αδ-Αο).dx.υ^2.
Προφανώς:
Μ.g.dx.= 0,5.ρ.(Αδ-Αο).dx.υ^2=>υ = ρίζα(2Μ.g/(Αδ-Αο))
Αν η οπή είναι πολύ μικρότερη τότε:
υ = ρίζα(2Μ.g/Αδ)
Όμως η ερώτηση είναι (αν καταλαβαίνω καλά) τι συμβαίνει με τη λύση του Κώστα;
Μήπως διότι η στήλη επιταχύνεται και δεν ισορροπεί;
Έκανα λάθος.
Δεν επιταχύνεται η στήλη. Είναι όμως σύστημα μεταβλητής μάζας. Η δύναμη στη βάση είναι μεγαλύτερη από το βάρος της.
Ειχα μια κουβεντα με τον Διονυση (Μαργαρη) για αυτο που μου ελεγε για την ισορροπια στην αρχικη μου σκεψη με τον σωληνα . Ειχα παρει ισορροπια συστηματος Εμβολο – σωληνας – νερο μεσα σε αυτον αλλα θα ηταν καλυτερο να παρω ισορροπια εμβολου οποτε θα εβγαινε το ιδιο . Απο εκει και περα στην συνεχεια το σφαλμα που κανω με το ρυθμο μεταβολης της ορμης ειναι οτι βαζω ως πιεση υγρου κατω απο την μαζουλα αυτη που ειχαμε οταν το εμβολο ηταν σε ισορροπια . Κατι το οποιο ειναι λαθος . Η πιεση δεν ειναι προφανως αυτη !
Μαλιστα αν παρουμε το αποτελεσμα που βρισκει ο Προδρομος για την υο ^2 = 2Μg/(ρ*Αδ) και παμε στον ρυθμο μεταβολης της ορμης για την μαζουλα θα βγαλουμε ρ*Αο * 2Μg/(ρ*Αδ) = Pυγ * Αο ===> Pυγ = 2Μg/(ρ*Αδ) διπλασια δηλαδη απο αυτη που εχουμε στην κατασταση ισορροπιας . Διαφορετικα αυτη η πιεση δεν νομιζω να μπορει να υπολογιστει .
Καλημέρα Πρόδρομε. Πολύ καλή άσκηση, ιδιαίτερα το 4 για τη δύναμη που ασκούν τα κινούμενα υγρά σε επιφάνειες, πτερύγια υδροστροβίλων κ.λ.π. Μια απορία.Στην απάντηση στο 4 ερώτημα αντικαθιστάς την υ0 = ρίζα 3. Δεν είναι υ0 = ρίζα 11;