Είναι παλιά η συζήτηση για το εάν τα μαθηματικά υπηρετούν τις ανάγκες της Φυσικής ή οι δύο αυτές επιστήμες είναι συνυφασμένες τόσο στενά μεταξύ τους,…Συνέχεια
Ξενοφώντα, δεν βρίσκω λόγια να εκφράσω τον ενθουσιασμό και τον θαυμασμό μου. Μας χάρισες μια ανάρτηση – αριστούργημα . Ειδικά η απόδειξη του νόμου της διάθλασης είναι εκπληκτική. Συμφωνώ απόλυτα με το Διονύση: Γηράσκω αεί διδασκόμενος.
Σχόλιο από τον/την Γκενές Δημήτρης στις 30 Μάιος 2011 στις 18:26
Ξενοφώντα Συγχαρητήρια.
‘Οντως αυτό θυμίζει ¨γηράσκω αεί διδασκόμενος” κι όχι την καρικατούρα “της Δια Βιου Μάθησης”.
(Θα μπορούσαμε να το πούμε και πιο “ήπια” βέβαια : “Μεγαλώνουμε κι ομορφαίνουμε” …με τη βοήθεια του Ξενοφώντα και του Μ.Levi. )
Τελειώνοντας τη δεύτερη γρήγορη ανάγνωση κάτι μ’ έσπρωχνε πίσω στη Γαλαρία να φωνάξω : “Κι ΑΛΛΟοοο…Κι ΑΛΛΟοοο”.
Μετά την εκδήλωση του θαυμασμού μου, για την παρουσίαση σου Ξενοφώντα, θα ήθελα να σου ζητήσω μια χάρη.
Να ρίξεις μια ματιά αν περιέχεται στο βιβλίο κάποιο “ανάλογο” της κινητικής (νοητικό π’ειραμα )που υποτίθεται ότι οδήγησε τον Neper στον ορισμό του e. (Το άκουσα σε διάλεξη ενός συνάδελφου Μαθηματικού αλλά δεν μπόρεσα να το διασταυρώσω πουθενά, να μάθω λεπτομέρειες, και μ’ ενδιαφέρει)
Γιάννη(Φιορ),Διονύση ,Δημήτρη, Γιάννη(Δογρ), ευχαριστώ για την υποδοχή της ανάρτησης.Το περιεχόμενό της σε προκαλεί να το μοιραστείς.
Γιάννη(Φιορ),σ΄ευχαριστώ και για το σύνδεσμο σε σχέση με τον V.Arnold.
Δημήτρη σε σχέση με αυτό που ρώτησες για τον ορισμό του e, δεν υπάρχει κάτι.
Διονύση ξέρεις ότι δεν αντέχω να μην σε πειράξω.Λοιπόν σε σχέση με την ένταξή σου σ΄αυτούς που έχουν αναρτήσει φωτογραφία, δεν πειράζει που μας άφησες ,όσοι μείναμε εξακολουθούμε ν΄αποτελούμε “συνιστώσα”(στο ylikonet…βεβαίως) 🙂
Γιάννη(Δογρ) ωραίος ο ορισμός που παραθέτεις για την Φυσική.
Θοδωρή σ΄ευχαριστώ, να είσαι καλά για να αντέξεις την και ψυχοφθόρο διαδικασία της βαθμολόγησης, γιατί ξέρω με πόση υπευθυνότητα συμμετέχεις.Με αφορμή την δήθεν απόπειρά μου να “πειράξω “τον Διονύση ήμουν τόσο σίγουρος ότι θα προκαλέσω την αντίδρασή σου , που σου ομολογώ ότι γι αυτό το έκανα :-).
Βαγγέλη σ’ ευχαριστώ.Αντιπαρέρχομαι την επίκληση στην αλλαγή πορείας, δεν θέλω προβλήματα με τις συναδέλφισσες.Εσύ πως να το κάνουμε έχεις άλλη δικαιοδοσία , ως sui generis του δικτύου…:-).
Διονύση(Μάργαρη) σ’ ευχαριστώ.Ελπίζω να μπορέσω να ανταποκριθώ στο σύνθημα.:-)
Δημήτρη (Μυρογιάννη) είναι μια ανάρτηση που σε καλεί να παρέμβεις.Συζητώντας με συναδέλφους Μαθηματικούς μου είπαν για το ολοκλήρωμα του 2ου προβλήματος ότι επειδή για x=1 δεν ορίζεται, θα έπρεπε να υπολογιστεί η τιμή του στο (0, α) και μετά να πάρεις το όριο του ,όταν το α τείνει στο 1…
Γιάννη χαίρομαι που σου άρεσε.Θυμάμαι ότι είχες ξαναδώσει τον τετραγωνισμό του κύκλου.
Σχόλιο από τον/την Δημήτρης Β στις 30 Μάιος 2011 στις 23:29
Συνάδελφε Ξενοφώντα ,πολύ ενδιαφέρουσα η παρουσίαση φυσικών διαδικασιών επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων. Ένα άλλο παράδειγμα όπου η εμπειρική πραγματικότητα υπαγορεύει μη τετριμμένη μαθηματική πρόταση υπάρχει σε σχόλιο του Ευάγγελου Κορφιάτη για το Δ1. Αν σε σώμα δρουν δυνάμεις που εξαρτώνται μόνο από την θέση του και κάποια στιγμή έχει μηδενική ταχύτητα και επιτάχυνση είναι εμπειρικά προφανές ότι παραμένει ακίνητο. Δηλαδή αν mx΄΄(t) = F(x(t)) και x΄(t0) = x΄΄(t0) = 0 για κάποιο t0 , τότε x΄(t) = 0 για κάθε t . Αυτό όμως μαθηματικά δεν είναι προφανές και χρειάζεται απόδειξη.
Μια επισήμανση για το 2ο πρόβλημα (υπολογισμός του ολοκληρώματος). Αν το σημείο εφαρμογής της F κινείται με σταθερή οριζόντια ταχύτητα τότε το σώμα κινείται κατακόρυφα με ταχύτητα ανάλογη της εφαπτομένης της γωνίας του νήματος με την κατακόρυφη. Έχει λοιπόν αυξανόμενη κινητική ενέργεια. Ίσως η διαδικασία θα έπρεπε να είναι η ακόλουθη. Η F ασκείται σε αβαρή χάντρα στην οποία είναι δεμένο το νήμα και η οποία ολισθαίνει χωρίς τριβή σε οριζόντιο οδηγό. Το μέτρο της F ρυθμίζεται ώστε το σώμα ν’ ανεβαίνει με σταθερή ταχύτητα . Από την ισορροπία προκύπτει η F σαν συνάρτηση του x οπότε νομίζω δεν χρειάζονται οι ροπές.
Αγαπητέ Δημήτρη δεν είχα καμμία πρόθεση να επιτιμήσω τα Μαθηματικά ως Επιστήμη, τα οποία επίσης “τα πάω”.Ίσως δεν έγινε κατανοητό ότι η αναφορά μου στον V.Arnold (Εκ των σπουδαιοτέρων Μαθηματικών των τελευταίων δεκαετιών), έγινε για να δείξει τη σχέση ανάμεσα στις δύο Επιστήμες και να ενισχύσει την άποψη ότι αλληλοεξαρτώνται.Απορώ για την παρερμηνεία…Είναι προφανές ότι το “φθηνά” δεν αναφέρεται στην αξία , αλλά στο κόστος.Ελπίζω η δήλωση αυτή να σε καλύπτει.Ίσως δεν είδες σε προηγούμενο σχόλιό μου ότι σε καλώ να παρέμβεις προφανώς ως Μαθηματικό και λάτρη της Φυσικής.Στην επόμενη συνάντηση θα κάτσουμε πιο κοντά για να σε πείσω.:-)
Συνάδελφε Δημήτρη Β, σ΄ευχαριστώ για το ότι θεωρείς την ανάρτηση πολύ ενδιαφέρουσα.Συμφωνώ σε σχέση με την αναφορά σου στο σχόλιο του συναδέλφου Ευάγγελου Κορφιάτη για το Δ1.Σε σχέση με το 2ο πρόβλημα και τον υπολογισμό του ολοκληρώματος συμφωνώ ότι το “Το μέτρο της F ρυθμίζεται ώστε το σώμα ν’ ανεβαίνει με σταθερή ταχύτητα” ίσως έπρεπε να δοθεί και όχι να υπονοηθεί στην εφαρμογή του Θ.Μ.Κ.Ε, νομίζω όμως ότι άν δεν χρησιμοποιήσουμε ροπές θα “μπλέξουμε” με τις κάθετες αντιδράσεις στα Α και Β, που έχοντας τις διευθύνσεις των ΟΑ και ΟΒ αντίστοιχα,τώρα δεν έχουν ροπές ως προς το Ο.
Διονύση να είσαι καλά.Ελπίζω με το προηγούμενο σχόλιό μου να έγινε κατανοητή ή θέση μου.Ελπίζω να διάβασες προηγούμενο σχόλιό μου σε σχέση με την ανάρτηση της φωτογραφίας 🙂
Πιστεύω πάντως ότι ο χώρος εδώ είναι ένα μεγάλο άλμπουμ γεμάτο με τις “φωτογραφίες” όλων! (Και έχουν και πολλή φωτογένεια :-))
Σχετικά με το σχόλιο του συναδέλφου Δημήτρη Β., για να μην ξεχνάμε και την “τέχνη μας”, μπορούμε να πούμε εναλλακτικά ότι το σώμα ανεβαίνει με … μικρή ταχύτητα 🙂
Και το Geogebra διατηρεί προφανώς τις μαθηματικές ιδιότητες όταν προκαλείς μεταβολές.
Πως προκύπτει όμως ότι το άθροισμα αυτό είναι το ελάχιστο;
Με την ευκαιρία, είχα δει κάποια φορά την παρουσίαση ενός λογισμικού που λέγεται Gabri (και αυτός που το χρησιμοποιούσε έκανε ότι βάλει ο νους σου, αλλά λογικό βέβαια).
Είναι παρόμοιο με το Geogebra; Και το Sketch-pad; Ξέρεις μήπως τι διαφορές έχουν;
Σχόλιο από τον/την Δημήτρης Β στις 31 Μάιος 2011 στις 11:52
Συνάδελφε Ξενοφώντα νομίζω ότι η ΣFx = 0 στην αβαρή χάντρα και η ΣFy = 0 στο σώμα επαρκούν για να εκφραστεί η F σαν συνάρτηση του x. Βέβαια αυτά είναι ‘ανθυπολεπτομέρειες’ μπροστά στο νόημα και την ομορφιά αυτών που μας παρουσίασες. Ο M. Levi στο site του (http://www.math.psu.edu/levi/Theorem_of_cosines.html )δίνει μεταξύ άλλων και μια ωραία φυσική απόδειξη του θεωρήματος του συνημίτονου (άρα και του πυθαγόρειου) με βάση τη διατήρηση της ενέργειας. Η ιδέα για την απόδειξη του πυθαγόρειου: Σε κατακόρυφο ορθογώνιο τρίγωνο με την υποτείνουσα κατακόρυφη αν σώμα βάρους ίσου (αριθμητικά) με την υποτείνουσα κινηθεί κατά μήκος της υποτείνουσας ή κατά μήκος των δύο καθέτων πλευρών τα έργα του βάρους πρέπει να είναι ίσα. Εδώ βέβαια γεννιέται το ερώτημα πως γίνεται η διατήρηση της ενέργειας που προκύπτει από την ομοιογένεια του χρόνου (το αναλλοίωτο της Lagrangian ως προς χρονικές μετατοπίσεις) να δίνει την πυθαγόρεια σχέση η οποία χαρακτηρίζει την ευκλείδεια δομή του χώρου.
Ξενοφώντα η ιδέα είναι όχι μόνο εντυπωσιακή αλλά και προκλητική.
Με εντυπωσίασε περισσότερο το πρώτο μαθηματικό πρόβλημα που λύνεις με την αρχή ελάχιστης ενέργειας.
Είναι ενδιαφέρον ότι αναζητώντας το ελάχιστο ενός βαθμωτού καταλήγεις σε μια διανυσματική εξίσωση ισορροπίας, που μοναδική λύση έχει το σημείο που το βαθμωτό γίνεται ελάχιστο.
Θεωρούμε την εξής παραλλαγή του πρώτου προβλήματος.
Να βρεθεί σημείο Ο τέτοιο ώστε 3ΟΑ+4ΟΒ+5ΟΓ να είναι το ελάχιστο.
Στην περίπτωση αυτή χρειάζεσαι 3 διαφορετικά ελατήρια σταθερής τάσης.
Στο Α κρεμάμε ένα βαράκι 3N στο Β 4Ν και στο Γ 5Ν.
Το σημείο ισορροπίας είναι τέτοιο ώστε η γωνία ΑΟΒ να είναι ορθή και η γωνία ΑΟΓ ίση με 126,87 ( η παραπληρωματική της α).
Μπορούμε να παίξουμε και με γραμμικά ελατήρια αμελητέου μήκους σταθερών κ,λ,μ και να αναζητήσουμε το σημείο στο οποίο το άθροισμα
Ευάγγελε σ΄ ευχαριστώ,ήταν ο εντυπωσιασμός που με οδήγησε στην ανάρτηση.Χαίρομαι για τις παραλλαγές που δίνεις και το γεγονός ότι αξιόλογοι και έμπειροι συνάδελφοι δείχνουν να την απολαμβάνουν.
by 
Ξενοφώντα, τα διάβασα κι έχω μείνει με το στόμα ανοικτό!
Γηράσκω αεί διδασκόμενος 🙂
Ξενοφώντα, δεν βρίσκω λόγια να εκφράσω τον ενθουσιασμό και τον θαυμασμό μου. Μας χάρισες μια ανάρτηση – αριστούργημα . Ειδικά η απόδειξη του νόμου της διάθλασης είναι εκπληκτική. Συμφωνώ απόλυτα με το Διονύση: Γηράσκω αεί διδασκόμενος.
Ξενοφώντα Συγχαρητήρια.
‘Οντως αυτό θυμίζει ¨γηράσκω αεί διδασκόμενος” κι όχι την καρικατούρα “της Δια Βιου Μάθησης”.
(Θα μπορούσαμε να το πούμε και πιο “ήπια” βέβαια : “Μεγαλώνουμε κι ομορφαίνουμε” …με τη βοήθεια του Ξενοφώντα και του Μ.Levi. )
Τελειώνοντας τη δεύτερη γρήγορη ανάγνωση κάτι μ’ έσπρωχνε πίσω στη Γαλαρία να φωνάξω : “Κι ΑΛΛΟοοο…Κι ΑΛΛΟοοο”.
Μετά την εκδήλωση του θαυμασμού μου, για την παρουσίαση σου Ξενοφώντα, θα ήθελα να σου ζητήσω μια χάρη.
Να ρίξεις μια ματιά αν περιέχεται στο βιβλίο κάποιο “ανάλογο” της κινητικής (νοητικό π’ειραμα )που υποτίθεται ότι οδήγησε τον Neper στον ορισμό του e. (Το άκουσα σε διάλεξη ενός συνάδελφου Μαθηματικού αλλά δεν μπόρεσα να το διασταυρώσω πουθενά, να μάθω λεπτομέρειες, και μ’ ενδιαφέρει)
Ξενοφωντα εξαιρετικη παρουσιαση…Διαβασα καπου ενα ”ορισμο της Φυσικης” και μου αρεσε ….
” Φυσικη ειναι …μαθηματικα και ποιηση ”…Να’σαι καλα.
Σχόλιο από τον/την Στεργιάδης Ξενοφών στις 30 Μάιος 2011 στις 20:44
Γιάννη(Φιορ),Διονύση ,Δημήτρη, Γιάννη(Δογρ), ευχαριστώ για την υποδοχή της ανάρτησης.Το περιεχόμενό της σε προκαλεί να το μοιραστείς.
Γιάννη(Φιορ),σ΄ευχαριστώ και για το σύνδεσμο σε σχέση με τον V.Arnold.
Δημήτρη σε σχέση με αυτό που ρώτησες για τον ορισμό του e, δεν υπάρχει κάτι.
Διονύση ξέρεις ότι δεν αντέχω να μην σε πειράξω.Λοιπόν σε σχέση με την ένταξή σου σ΄αυτούς που έχουν αναρτήσει φωτογραφία, δεν πειράζει που μας άφησες ,όσοι μείναμε εξακολουθούμε ν΄αποτελούμε “συνιστώσα”(στο ylikonet…βεβαίως) 🙂
Γιάννη(Δογρ) ωραίος ο ορισμός που παραθέτεις για την Φυσική.
Οι “συνιστώσες” καθορίζουν τη δυναμική της συνισταμένης Ξενοφώντα
Συγχαρητήρια λοιπόν για την …..”εναλλακτική-ριζοσπαστική” ανάρτηση
σε καιρούς ……βαθμολογι-λογίας”
Σχόλιο από τον/την Στεργιάδης Ξενοφών στις 30 Μάιος 2011 στις 21:16
Θοδωρή σ΄ευχαριστώ, να είσαι καλά για να αντέξεις την και ψυχοφθόρο διαδικασία της βαθμολόγησης, γιατί ξέρω με πόση υπευθυνότητα συμμετέχεις.Με αφορμή την δήθεν απόπειρά μου να “πειράξω “τον Διονύση ήμουν τόσο σίγουρος ότι θα προκαλέσω την αντίδρασή σου , που σου ομολογώ ότι γι αυτό το έκανα :-).
Αγαπητέ Ξενοφώντα, με εξέπληξες ευχάριστα!
Ωραία απόδειξη Ξενοφών
(μου φαίνεται πάντως ότι
ο ναυαγοσώστης δεν λαμβάνει υπ’ όψιν του το νόμο του Snell,
αλλά “χαράζει πορεία” ανάλογα με τις … ξαπλωμένες στην άμμο …,
μήπως στο σχήμα α πρέπει με τριβές και όχι χωρίς;)
Δημήτρη κρατάω το “ομορφαίνουμε”
(για το “μεγαλώνουμε” δεν έχω περιθώρια, “δώσαμε, δώσαμε” ..)
Δες και τον Διονύση…
Κούκλος έγινε …
(και δεν ήταν παρά κάτι σαν υπογραφή, σαν ορθογώνιο τρίγωνο …)
Άλλε Διονύση,
τι “έπιασε” το σύστημα και άλλαξε τη σειρά σχολίων;
Γεια σου Ξενοφώντα. Το μόνο που μπορώ να πω, είναι να ενώσω τη φωνή μου με του Δημήτρη και να φωνάξουμε μαζί, για να ακουστεί:
“Κι ΑΛΛΟοοο…Κι ΑΛΛΟοοο”.
Σχόλιο από τον/την Στεργιάδης Ξενοφών στις 30 Μάιος 2011 στις 22:27
Αγαπητέ συνάδελφε Εμμανουήλ(Μανώλη), σ’ ευχαριστώ.Η ανάρτηση έγινε για να δείξει πόσα πράγματα και με πόσους τρόπους μπορεί να πει η Φυσική.
Σχόλιο από τον/την Στεργιάδης Ξενοφών στις 30 Μάιος 2011 στις 22:54
Βαγγέλη σ’ ευχαριστώ.Αντιπαρέρχομαι την επίκληση στην αλλαγή πορείας, δεν θέλω προβλήματα με τις συναδέλφισσες.Εσύ πως να το κάνουμε έχεις άλλη δικαιοδοσία , ως sui generis του δικτύου…:-).
Διονύση(Μάργαρη) σ’ ευχαριστώ.Ελπίζω να μπορέσω να ανταποκριθώ στο σύνθημα.:-)
Δημήτρη (Μυρογιάννη) είναι μια ανάρτηση που σε καλεί να παρέμβεις.Συζητώντας με συναδέλφους Μαθηματικούς μου είπαν για το ολοκλήρωμα του 2ου προβλήματος ότι επειδή για x=1 δεν ορίζεται, θα έπρεπε να υπολογιστεί η τιμή του στο (0, α) και μετά να πάρεις το όριο του ,όταν το α τείνει στο 1…
Ξενοφώντα μπράβο.Ψοφάω για τέτοια.
Για πλάκα στέλνω τετραγωνισμό κύκλου. Το είχα στείλει πέρυσι αλλά το έχω χάσει και το ξανάγραψα.
Τετραγωνισμός κύκλου
Όχι παιδιά δεν την ψώνισα. Πλάκα να γίνεται.
Η τριχοτόμηση της γωνίας είναι απλούστερη. Θέλει τροχαλία. Το Δήλιο πρόβλημα θα το σκεφτώ.
Σχόλιο από τον/την Στεργιάδης Ξενοφών στις 30 Μάιος 2011 στις 23:26
Γιάννη χαίρομαι που σου άρεσε.Θυμάμαι ότι είχες ξαναδώσει τον τετραγωνισμό του κύκλου.
Σχόλιο από τον/την Δημήτρης Β στις 30 Μάιος 2011 στις 23:29
Συνάδελφε Ξενοφώντα ,πολύ ενδιαφέρουσα η παρουσίαση φυσικών διαδικασιών επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων. Ένα άλλο παράδειγμα όπου η εμπειρική πραγματικότητα υπαγορεύει μη τετριμμένη μαθηματική πρόταση υπάρχει σε σχόλιο του Ευάγγελου Κορφιάτη για το Δ1. Αν σε σώμα δρουν δυνάμεις που εξαρτώνται μόνο από την θέση του και κάποια στιγμή έχει μηδενική ταχύτητα και επιτάχυνση είναι εμπειρικά προφανές ότι παραμένει ακίνητο. Δηλαδή αν mx΄΄(t) = F(x(t)) και x΄(t0) = x΄΄(t0) = 0 για κάποιο t0 , τότε x΄(t) = 0 για κάθε t . Αυτό όμως μαθηματικά δεν είναι προφανές και χρειάζεται απόδειξη.
Μια επισήμανση για το 2ο πρόβλημα (υπολογισμός του ολοκληρώματος). Αν το σημείο εφαρμογής της F κινείται με σταθερή οριζόντια ταχύτητα τότε το σώμα κινείται κατακόρυφα με ταχύτητα ανάλογη της εφαπτομένης της γωνίας του νήματος με την κατακόρυφη. Έχει λοιπόν αυξανόμενη κινητική ενέργεια. Ίσως η διαδικασία θα έπρεπε να είναι η ακόλουθη. Η F ασκείται σε αβαρή χάντρα στην οποία είναι δεμένο το νήμα και η οποία ολισθαίνει χωρίς τριβή σε οριζόντιο οδηγό. Το μέτρο της F ρυθμίζεται ώστε το σώμα ν’ ανεβαίνει με σταθερή ταχύτητα . Από την ισορροπία προκύπτει η F σαν συνάρτηση του x οπότε νομίζω δεν χρειάζονται οι ροπές.
Δημήτρη δες εδώ:
http://pauli.uni-muenster.de/~munsteg/arnold.html
Σχόλιο από τον/την Στεργιάδης Ξενοφών στις 31 Μάιος 2011 στις 0:17
Αγαπητέ Δημήτρη δεν είχα καμμία πρόθεση να επιτιμήσω τα Μαθηματικά ως Επιστήμη, τα οποία επίσης “τα πάω”.Ίσως δεν έγινε κατανοητό ότι η αναφορά μου στον V.Arnold (Εκ των σπουδαιοτέρων Μαθηματικών των τελευταίων δεκαετιών), έγινε για να δείξει τη σχέση ανάμεσα στις δύο Επιστήμες και να ενισχύσει την άποψη ότι αλληλοεξαρτώνται.Απορώ για την παρερμηνεία…Είναι προφανές ότι το “φθηνά” δεν αναφέρεται στην αξία , αλλά στο κόστος.Ελπίζω η δήλωση αυτή να σε καλύπτει.Ίσως δεν είδες σε προηγούμενο σχόλιό μου ότι σε καλώ να παρέμβεις προφανώς ως Μαθηματικό και λάτρη της Φυσικής.Στην επόμενη συνάντηση θα κάτσουμε πιο κοντά για να σε πείσω.:-)
Ξενοφώντα νομίζω κατάφερες να αγγίξεις τις χορδές όλων μας!
Δημήτρη είμαι βέβαιος ότι ο Ξενοφώντας δεν εννοούσε … επιλήψιμόν τι, τουναντίον … !
(Χωρίς μαθηματικά = χωρίς γλώσσα! Άσε που αν εννοούσε θα βρει κι όλους τους φυσικούς … απέναντι :-))
Σ’ ευχαριστούμε για το Geogebra. Πώς κατάφερες και μένουν 120 μοίρες οι γωνίες όταν μετακινούμε τα Α, Β, Γ;
Γιάννη με την κύλιση και με τις τροχαλίες θ’ αρχίσει ο Δημήτρης να βγάζει … καπνούς 🙂
(Βαγγέλη το φοβόμουν το δούλεμα! Μου φαίνεται θα ξαναβάλω το τρίγωνο :-))
Σχόλιο από τον/την Στεργιάδης Ξενοφών στις 31 Μάιος 2011 στις 1:24
Συνάδελφε Δημήτρη Β, σ΄ευχαριστώ για το ότι θεωρείς την ανάρτηση πολύ ενδιαφέρουσα.Συμφωνώ σε σχέση με την αναφορά σου στο σχόλιο του συναδέλφου Ευάγγελου Κορφιάτη για το Δ1.Σε σχέση με το 2ο πρόβλημα και τον υπολογισμό του ολοκληρώματος συμφωνώ ότι το “Το μέτρο της F ρυθμίζεται ώστε το σώμα ν’ ανεβαίνει με σταθερή ταχύτητα” ίσως έπρεπε να δοθεί και όχι να υπονοηθεί στην εφαρμογή του Θ.Μ.Κ.Ε, νομίζω όμως ότι άν δεν χρησιμοποιήσουμε ροπές θα “μπλέξουμε” με τις κάθετες αντιδράσεις στα Α και Β, που έχοντας τις διευθύνσεις των ΟΑ και ΟΒ αντίστοιχα,τώρα δεν έχουν ροπές ως προς το Ο.
Σχόλιο από τον/την Στεργιάδης Ξενοφών στις 31 Μάιος 2011 στις 1:32
Διονύση να είσαι καλά.Ελπίζω με το προηγούμενο σχόλιό μου να έγινε κατανοητή ή θέση μου.Ελπίζω να διάβασες προηγούμενο σχόλιό μου σε σχέση με την ανάρτηση της φωτογραφίας 🙂
Φυσικά και το διάβασα Ξενοφώντα 🙂
Πιστεύω πάντως ότι ο χώρος εδώ είναι ένα μεγάλο άλμπουμ γεμάτο με τις “φωτογραφίες” όλων! (Και έχουν και πολλή φωτογένεια :-))
Σχετικά με το σχόλιο του συναδέλφου Δημήτρη Β., για να μην ξεχνάμε και την “τέχνη μας”, μπορούμε να πούμε εναλλακτικά ότι το σώμα ανεβαίνει με … μικρή ταχύτητα 🙂
Έχεις δίκιο Δημήτρη.
Και το Geogebra διατηρεί προφανώς τις μαθηματικές ιδιότητες όταν προκαλείς μεταβολές.
Πως προκύπτει όμως ότι το άθροισμα αυτό είναι το ελάχιστο;
Με την ευκαιρία, είχα δει κάποια φορά την παρουσίαση ενός λογισμικού που λέγεται Gabri (και αυτός που το χρησιμοποιούσε έκανε ότι βάλει ο νους σου, αλλά λογικό βέβαια).
Είναι παρόμοιο με το Geogebra; Και το Sketch-pad; Ξέρεις μήπως τι διαφορές έχουν;
Σχόλιο από τον/την Δημήτρης Β στις 31 Μάιος 2011 στις 11:52
Συνάδελφε Ξενοφώντα νομίζω ότι η ΣFx = 0 στην αβαρή χάντρα και η ΣFy = 0 στο σώμα επαρκούν για να εκφραστεί η F σαν συνάρτηση του x. Βέβαια αυτά είναι ‘ανθυπολεπτομέρειες’ μπροστά στο νόημα και την ομορφιά αυτών που μας παρουσίασες. Ο M. Levi στο site του (http://www.math.psu.edu/levi/Theorem_of_cosines.html )δίνει μεταξύ άλλων και μια ωραία φυσική απόδειξη του θεωρήματος του συνημίτονου (άρα και του πυθαγόρειου) με βάση τη διατήρηση της ενέργειας. Η ιδέα για την απόδειξη του πυθαγόρειου: Σε κατακόρυφο ορθογώνιο τρίγωνο με την υποτείνουσα κατακόρυφη αν σώμα βάρους ίσου (αριθμητικά) με την υποτείνουσα κινηθεί κατά μήκος της υποτείνουσας ή κατά μήκος των δύο καθέτων πλευρών τα έργα του βάρους πρέπει να είναι ίσα. Εδώ βέβαια γεννιέται το ερώτημα πως γίνεται η διατήρηση της ενέργειας που προκύπτει από την ομοιογένεια του χρόνου (το αναλλοίωτο της Lagrangian ως προς χρονικές μετατοπίσεις) να δίνει την πυθαγόρεια σχέση η οποία χαρακτηρίζει την ευκλείδεια δομή του χώρου.
Ξενοφώντα η ιδέα είναι όχι μόνο εντυπωσιακή αλλά και προκλητική.
Με εντυπωσίασε περισσότερο το πρώτο μαθηματικό πρόβλημα που λύνεις με την αρχή ελάχιστης ενέργειας.
Είναι ενδιαφέρον ότι αναζητώντας το ελάχιστο ενός βαθμωτού καταλήγεις σε μια διανυσματική εξίσωση ισορροπίας, που μοναδική λύση έχει το σημείο που το βαθμωτό γίνεται ελάχιστο.
Θεωρούμε την εξής παραλλαγή του πρώτου προβλήματος.
Να βρεθεί σημείο Ο τέτοιο ώστε 3ΟΑ+4ΟΒ+5ΟΓ να είναι το ελάχιστο.
Στην περίπτωση αυτή χρειάζεσαι 3 διαφορετικά ελατήρια σταθερής τάσης.
Στο Α κρεμάμε ένα βαράκι 3N στο Β 4Ν και στο Γ 5Ν.
Το σημείο ισορροπίας είναι τέτοιο ώστε η γωνία ΑΟΒ να είναι ορθή και η γωνία ΑΟΓ ίση με 126,87 ( η παραπληρωματική της α).
Μπορούμε να παίξουμε και με γραμμικά ελατήρια αμελητέου μήκους σταθερών κ,λ,μ και να αναζητήσουμε το σημείο στο οποίο το άθροισμα
γίνεται ελάχιστο.
Σχόλιο από τον/την Στεργιάδης Ξενοφών στις 31 Μάιος 2011 στις 14:59
Ευάγγελε σ΄ ευχαριστώ,ήταν ο εντυπωσιασμός που με οδήγησε στην ανάρτηση.Χαίρομαι για τις παραλλαγές που δίνεις και το γεγονός ότι αξιόλογοι και έμπειροι συνάδελφοι δείχνουν να την απολαμβάνουν.