by 
Ένας τροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο δάπεδο.
Σε ένα αβαθές αυλάκι είναι τυλιγμένο μη εκτατό νήμα το οποίο έχει περαστεί κατάλληλα από δύο μικρές τροχαλίες. Στην άλλη άκρη του νήματος είναι δεμένο ένα σώμα Σ.
Κάποια χρονική στιγμή το νήμα ΑΓ σχηματίζει γωνία φ με το οριζόντιο επίπεδο που περνά από το Γ. Την στιγμή αυτή η ταχύτητα του κέντρου του τροχού είναι υ1.
Α) Την ίδια στιγμή η ταχύτητα υ2 του σώματος Σ είναι:
Β) Αν την στιγμή αυτή η επιτάχυνση του κέντρου του τροχού είναι a1 πόση είναι η επιτάχυνση του σώματος Σ;
Καλησπέρα Πρόδρομε. Σε ευχαριστώ για την ενασχόληση με το θέμα.
Σύμφωνα με ένα κοινό γνωστό «πώς να καταλάβεις τον ρυθμό ενός ρυθμού ;».
Η επιτάχυνση είναι άτιμο πράγμα.
Ενώ η ταχύτητα του σώματος είναι η προβολή της ταχύτητας του σημείου επαφής Γ στην διεύθυνση του νήματος δεν ισχύει το ίδιο για την επιτάχυνση.
Θεωρώντας ότι η κίνηση του στερεού είναι μεταφορά του κέντρου και περιστροφή γύρω από το κέντρο υπολόγιζα την επιτάχυνση του Γ και στην συνέχεια την προβολή της πάνω στο νήμα. Το αποτέλεσμα ήταν υ1(1+συνφ).
Εσύ άλλαξες τον τρόπο υπολογισμού της επιτάχυνσης του Γ ( πρέπει να ομολογήσω ότι τον μαθηματικό χειρισμό μέσω του Δ δεν τον είχα ξαναδεί).
Όφειλες λοιπόν να βρεις το ίδιο αποτέλεσμα.
Καλησπέρα Βαγγέλη.
Βλέπουμε στο παρακάτω σχήμα δύο σημεία. Ένα στο σχοινί και ένα στον δίσκο.
Έχουν ίδια επιτάχυνση;
Καλησπέρα παιδιά.
Το πρωί βλέποντας την απάντηση του Πρόδρομου (αλλά μη βλέποντας ότι οδηγεί σε άλλο αποτέλεσμα…) μου άρεσε.
Ο τρόπος που φάνηκε απλός και προτιμητέος σε σχέση με τα “μαθηματικά του Βαγγέλη”
Αλλά για μια ακόμη φορά, τα μαθηματικά λένε την αλήθεια.
Διαπιστώνοντας κατόπιν τη διαφορά, να πω δυο σκέψεις:
1) Η λύση του Πρόδρομου, δεν “βάζει στο παιχνίδι” το νήμα. Και ένας τροχός μόνος του να ήταν αν μιλάγαμε για την εφαπτομενική συνιστώσα της επιτάχυνσης ενός σημείου Γ, αυτό θα βρίσκαμε.
2) Τι δείχνει ο τελευταίος προσθετέος στην εξίσωση:
Γι΄αυτό στο 1) μίλησα ότι πρέπει να μπει στο παιχνίδι το νήμα…
Όμως Διονύση γιατί εμφανίζεται το πλην αντί για το συν στον όρο της κεντρομόλου;
καλησπέρα και πάλι Βαγγέλη. Δες τη λύση που προτείνω και βγάζω το ΙΔΙΟ αποτέλεσμα με εσένα. Είχες δίκιο στην τηλεφωνική επικοινωνία μας. Το σημείο Γ, ως σημείο του στερεού ,έχει την επιτάχυνση που βρίσκω με στιγμιαίο άξονα το Δ(σημείο επαφής με το δάπεδο), αλλά η επιτάχυνση του νήματος,άρα και του σώματος Σ, έχει και την κεντρομόλο επιτάχυνση λόγω μεταβολής του νήματος ΑΓ .
Η νέα λύση ΕΔΩ
Παιδιά νομίζω ότι υπάρχει πρόβλημα. Διότι:
Αυτή η ανάλυση Γιάννη, δεν οδηγεί σε κεντρομόλο ως προς το Α, η οποία δικαιολογεί και το (-);
Συνεχίζω:
Αν υπάρχει λάθος σε όσα γράφω το συζητάμε.
Διονύση υπάρχει πρόβλημα διπλό.
Η ταχύτητα (νομίζω ότι) υπολογίστηκε λανθασμένα.
Κεντρομόλο (ως προς Κ) έχει το σημείο του δίσκου αλλά όχι το σημείο του σχοινιού.
Η επιτάχυνση του κρεμασμένου σχετίζεται με το σημείο του σχοινιού και όχι του δίσκου.
Να εξηγήσω καλύτερα την σκέψη μου:
Τραβάω τον σπάγκο και φροντίζω να μένει τεντωμένος. Κρατάω τον κύλινδρο ώστε να διατηρεί τον προσανατολισμό του.
Έχω βάψει με μπογιά ένα κομμάτι του σπάγκου. Αφού αλλάζει σημείο επαφής ο σπάγκος δεν θα λερωθεί ο κύλινδρος;
Το μπογιαντισμένο κομμάτι δεν τυλίχτηκε στον κύλινδρο;
Σπάγκος τυλίγεται ή ξετυλίγεται στον κύλινδρο;
Πιστεύω ότι τυλίγεται. Το ότι το χέρι μου προχωρεί (ή το κρεμασμένο κατεβαίνει αν θέλουμε) οφείλεται στην προς τα δεξιά μετατόπιση και όχι σε ξετύλιγμα σπάγκου.
Αν τώρα ο κύλινδρος κυλίεται το "φαινόμενο" αυτό εξακολουθεί να υπάρχει. Ανταγωνίζεται (και χάνει) το ξετύλιγμα του σπάγκου λόγω κύλισής του.
Κάνω λάθος.
Ο σπάγκος ξετυλίγεται και στην σχέση:
το μείον πρέπει να γίνει συν.
Δηλαδή +(R/l).ημθ.
Πάντως βλέπω άλλη σχέση.
Γιάννη καλησπέρα και πάλι. Έκανα μια άλλη λύση και βγάζω το αποτέλεσμα του Βαγγέλη και πάλι, με άλλη προσέγγιση,δες την εδώ .
Καλό βράδυ.
Πρόδρομε μπορεί να κάνω λάθος αλλά βλέπω το ίδιο πρόβλημα.
Το σημείο επαφής δεν είναι το ίδιο σημείο. Δηλαδή:
Αν ο κύλινδρος ούτε στρέφεται, ούτε προχωράει τι γίνεται;
Μηδέν επιτάχυνση;
Φαντάσου τον εαυτό σου να κρατάει ένα σχοινί τυλιγμένο σε στύλο ακίνητο και να τρέχει. Δεν τυλίγεται σχοινί ή (ανάλογα με την φορά που τρέχεις) δεν ξετυλίγεται;
Γιάννη εφόσον το νήμα δεν γλυστρά πάνω στον τροχό,θα έχει τη ταχύτητα του τροχού στο σημείο Γ. Η επιταχυνση του σώματος Σ είναι και η επιτάχυνση του Γ συμπεριλαβανομένης και της περιστροφής του Γ γύρω απο το Α. Παραγώγισα και βγήκε η σχέση που δίνει και Κορφιάτης. Δεν ξέρω πού εϊναι το λάθος μου.
Καλησπέρα Γιάννη , καλησπέρα Διονύση.
Πριν καταλάβω τι ακριβώς λέει ο Γιάννης:
Τα προβλήματα δεν τα δημιουργεί η περιστροφή του τροχού αλλά η μεταφορά του.
Οι όροι που οφείλονται στην περιστροφή είναι ο υ1 στην ταχύτητα του σώματος και ο αγR=a1 στην επιτάχυνσή του.
Επομένως, μπορούμε να επικεντρώσουμε τον προβληματισμό μας στην μεταφορική κίνηση του τροχού.