by 
Υπάρχει κάποιο πρόβλημα στον τρόπο που διδάσκουμε διανυσματικά μεγέθη στο μάθημα της Φυσικής; Είναι ξεκάθαρο για το τι μιλάμε και τι εννοούμε; Μήπως οι μαθητές μας βρίσκονται σε σύγχυση και είναι οι τελευταίοι που φταίνε γι΄ αυτό;
Τι ακριβώς γράφουν τα σχολικά βιβλία, τι γράφουν τα περισσότερα φροντιστηριακά και τι διδάσκουμε καθημερινά όλοι μας; Είναι καθαρή η πορεία;
Ένα διάνυσμα έχει μέτρο και κατεύθυνση. Οι μαθηματικοί όταν αναφέρονται στο μέτρο ενός διανύσματος γράφουν 
. Στη Φυσική δεν το κάνουμε και φαίνεται να μην το κάνουν και διεθνώς. Θέλετε γιατί είναι πιο δύσκολη η σωστή αναγραφή, θέλετε γιατί δεν πρέπει να τρομάξουμε τα παιδιά, με τους μαθηματικούς συμβολισμούς, πάντως δεν το κάνουμε.
Έτσι μιλάμε για ταχύτητα υ1=2m/s. Και τι είναι αυτό το υ1; Προφανώς το μέτρο της ταχύτητας, αλλά στη συνέχεια, μπορεί να είναι και η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας… Και ποια η διαφορά; Ο καθένας ό,τι κατάλαβε…
Η ταχύτητα ενός σώματος έχει μέτρο και κατεύθυνση. Δεν έχει αλγεβρική τιμή, παρά μόνο αν ΕΜΕΙΣ ορίσουμε ένα προσανατολισμένο άξονα, ορίσουμε θετική φορά και αποφασίσουμε να δουλέψουμε με αλγεβρικές τιμές μεγεθών! Μέχρι να γίνουν αυτά, η ταχύτητα έχει μόνο μέτρο (και κατεύθυνση). Το σώμα διανύει 2m σε κάθε s! Αλλά το πώς θα δουλέψουμε, πρέπει να είναι ξεκάθαρο. Θα δουλέψουμε με μέτρα ή με αλγεβρικές τιμές; Αν αυτό δεν το έχουμε καθαρό στο μυαλό μας, θα πέφτουμε συνεχώς σε αντιφάσεις και το κυριότερο, ο μαθητής θα βρίσκεται διαρκώς σε σύγχυση.
Ας δούμε μερικά παραδείγματα, για να φανεί για ποιο πράγμα μιλάμε.
1) ένα σώμα κινείται με ταχύτητα υο=4m/s όταν αποκτά επιβράδυνση α=1m/s2. Να βρεθεί η απόσταση που θα διανύσει το σώμα μέχρι τη στιγμή t1=2s.
Τι είναι αυτό το υο και τι το α; Είναι μέτρα ή αλγεβρικές τιμές; Παλιότερα διδάσκαμε το διάστημα και δουλεύοντας με μέτρα γράφαμε s=υ0t – ½ αt2. Σήμερα διδάσκουμε μετατοπίσεις και το ίδιο το βιβλίο δίνει Δx= υ0∙t – ½ αt2!!! Από πού; Από το πουθενά. Θεωρεί ότι χρησιμοποιεί αλγεβρικές τιμές και υπολογίζει την αλγεβρική τιμή της μετατόπισης, αλλά το α είναι το μέτρο της επιτάχυνσης…
Αν μιλάγαμε σοβαρά και με συνέπεια θα έπρεπε η εκφώνηση να λέει ότι:
«σώμα κινείται με ταχύτητα 4m/s όταν αποκτά επιβράδυνση 1m/s2»
Και στη συνέχεια να ορίζαμε την κίνηση κατά μήκος προσανατολισμένου άξονα x. Και μετά;
Υπάρχουν δύο διαφορετικά ενδεχόμενα:
-Θεωρούμε υ0=+4m/s και α= – 1m/s2 . Οπότε στη συνέχεια γράφουμε:
Δx= υ0t + ½ αt2= 4∙2+ ½ (-1)∙22=6m
Προσέξτε κάναμε απλά αντικατάσταση στα σύμβολα. Δεν αλλάξαμε την εξίσωση της κίνησης.
– Θεωρούμε υ0=-4m/s και α= + 1m/s2 . Τότε γράφουμε:
Δx= υ0t + ½ αt2= (-4)∙2+ ½ 1∙22= – 6m
Προσέξτε: Και τις δυο φορές γράψαμε την ίδια εξίσωση κίνησης. Δεν μπορεί να αλλάζει η εξίσωση, ανάλογα με τον προσανατολισμό του άξονα.
Αλήθεια θα διδάσκατε συνάδελφοι στην δεύτερη περίπτωση ότι Δx= -υ0t+ ½ αt2; Και αν το διδάσκατε, θα περιμένατε να ανταποκριθούν και οι μαθητές σας;
2) Δύο σώματα κινούνται αντίθετα σε ευθύγραμμο δρόμο με ταχύτητες υ1=4m/s και υ2=6m/s, όπως στο σχήμα…
Τι είναι το υ1 και υ2; Είναι τα μέτρα; Θα μπορούσε να το έλεγε: «με ταχύτητες μέτρων υ1=4m/s και υ2=6m/s»
Αλλά αν μιλάμε για την Α΄Λυκείου, (έστω ότι η κίνηση είναι ΕΟΚ), πώς θα κάνει τις μετατροπές ο μαθητής και θα αλλάξει τους συμβολισμούς για να γράψει ότι υ1=+4m/s και υ2=-6m/s, οπότε στη συνέχεια να γράψει:
Δx1=υ1∙t και Δx2=υ2∙t και να συνεχίσει;
Ή πώς θα αποφύγει το λάθος στη Γ΄Λυκείου όταν κάνει αντικατάσταση για την ελαστική κρούση μεταξύ των σφαιρών;
- Θα μπορούσε να μίλαγε η εκφώνηση για κίνηση κατά μήκος προσανατολισμένου άξονα δίνοντας και υ1=+4m/s και υ2=-6m/s.
- Θα μπορούσε να μίλαγε για ταχύτητες με μέτρα 4m/s και 6m/s, χωρίς σύμβολα και πρόσημα, τα οποία θα έβαζε ο μαθητής.
Δεν κάνουμε ούτε το ένα ούτε το άλλο. Κάνουμε το χειρότερο.
Διονύση, Γιάννη, Σταύρο,
καλημέρα,
εκτιμώ ότι έχει ουσιαστικό νόημα ο διδακτικός στόχος που προβλέπει την εξοικείωση των μαθητών με τους πολλαπλούς τρόπους μαθηματικής αναπαράστασης των φυσικών καταστάσεων. Πάντα στο μέτρο που εισαγωγικά οι πιο αφηρημένες αναπαραστάσεις δεν χρησιμοποιούνται για προβλέψεις και ερμηνείες, αλλά αποκτούν φυσικό νόημα σε περιβάλλοντα που οι μαθητές έχουν σχετικές εμπειρίες. Το κριτήριο που ενισχύει παρόμοιες επιλογές, θεωρώ ότι είναι εκείνο που χαρακτήρισα ως κατανόηση του φυσικού προβλήματος.
Υπερθεματίζω μάλιστα τις προτεινόμενες από το ylikonet διερευνήσεις που ζητούν μετάβαση από διαγραμματικές αναπαραστάσεις σε ισοδύναμες αλγεβρικές, αφού αυτές αφορούν μεγάλο εύρος μαθητικών ηλικιών, δεδομένου ότι εύκολα μετασχηματίζονται σε αντίστοιχα διδακτικά έργα και για το Γυμνάσιο. Και επ’ αυτού έχω εμπειρία.
Μπορεί Διονύση μια κανονιστική διαδικασία, όπως αυτή που προτείνεις να διευκολύνει αλλαγές προς την κατεύθυνση διδακτικής διαχείρισης πιο αφηρημένων αναπαραστάσεων;
Εξαρτάται από την ποιότητα (κλιμάκωση και νόημα) των παραδειγματικών προτάσεων.
Φαίνεται πάντως ότι η μετάβαση από το χειρισμό της κίνησης μέσω των παραμέτρων διάστημα-χρόνος στον λογισμό μέσω των θέσεων ενός κινητού και των αντίστοιχων χρονικών στιγμών, που επιβλήθηκε κανονιστικά από το εγχειρίδιο της Β Γυμνασίου να συναντά μικρότερες αντιστάσεις από ότι παλαιότερα, διότι εξοικειωθήκαμε όσοι διδάσκουμε στο Γυμνάσιο με την επανειλημμένη εφαρμογή, αναπτύσσοντας εκ των ενόντων σχετικές διδακτικές τακτικές, όπως επισημαίνει και ο Σταύρος.
Καλημέρα Σταύρο.
Καλημέρα στη Ρόδο.
Μιας και αναφέρεσαι στην δύναμη επαναφοράς, να δώσω μια παλιότερη ανάρτηση (του 2010) του Νίκου Ανδρεάδη, πάνω στο θέμα.
Με κλικ εδώ.
"εξοικειωθήκαμε όσοι διδάσκουμε στο Γυμνάσιο με την επανειλημμένη εφαρμογή, αναπτύσσοντας εκ των ενόντων σχετικές διδακτικές τακτικές,
Γεια σου Γιώργο.
Ακριβώς αυτή είναι η διέξοδος.
Το είπα παραπάνω μιλώντας για την πεδιάδα και το ποτάμι που θα σχηματισθεί. Με την καθοδήγηση του σχολικού βιβλίου, μπορούμε να επιτρέψουμε τη δημιουργία της κοίτης στην κατεύθυνση που επιθυμούμε.
Αν δεν το κάνουμε, αυτή θα σχηματισθεί από τους σχεδιασμούς των βιβλίων της αγοράς.
Καλημέρα Διονύση. Την θυμάμαι την ανάρτηση του Νίκου. Σχεδόν ταυτόχρονα είχα κάνει και εγώ ανάρτηση και μάλιστα ο Νίκος είχε σχολιάσει ότι ήταν πιο προσιτή στους μαθητές. Εννοείται ότι δεν έχω ιδέα πού μπορεί να βρίσκεται 🙂
Καλημέρα Σταύρο.
Η δύναμη του δικτύου είναι …μεγάλη.
Δεν πρόλαβες να αναφέρεις την δική σου ανάρτηση και πήρα στο mail μου το αρχείο.
Μου το έστειλε το μέλος μας, Βλάσης Αλεβιζόπουλος, τον οποίο ευχαριστώ και από εδώ.
Οπότε δες εδώ!
ΥΓ
Ημερομηνία δεν έχουμε, αλλά δεν πειράζει…
Ευχαριστώ τόσο τον Βλάση όσο κι εσένα Διονύση!
Καλημέρα,
πιστεύω η εργασία του κ. Πρωτογεράκη αναδεικνύει την αξία της διανυσματικής αντιμετώπισης. Ένα θέμα που υπάρχει γενικά είναι ότι η παραμόρφωση του ελατηρίου αντιμετωπίζεται ως μήκος ευθύγραμμου τμήματος ( άρα θετικό) και όχι ως διάνυσμα που είναι το σωστό!
Ο έπαινος για την ωραία εργασία του Σταύρου και η έκφραση ενός φόβου διατυπώθηκε εδώ.
Ευχαριστώ πολύ Γιάννη.
Ο Γιώργος έγραψε ένα καλό κείμενο για την αφαίρεση που μια μαθηματική διαδικασία επιβάλει.
Κάθε παράγραφός του θέλει και ένα παράδειγμα. Ο ίδιος έδωσε τον νόμο Coulomb ο οποίος γράφεται κάπως έτσι:
Ένα άλλο παράδειγμα:
Εμπνευσθείς από το βιβλίο Κασσέτα, Δαπόντε, Μουρίκη, Σκιαθίτη, συζήτησα στην τάξη το ότι κάθε τι που έχει μέτρο και κατεύθυνση δεν είναι διάνυσμα.
Αν ταξιδέψεις 10km βόρεια και 10km ανατολικά θα βγεις στο ίδιο σημείο στο οποίο θα βγεις αντιστρέφοντας την σειρά των ταξιδιών.
Αν όμως κάθε ταξίδι είναι 10.000km, το αποτέλεσμα δεν είναι το ίδιο.
Ας σκεφτούμε ότι ένα παιδί σε ρωτάει γιατί είναι το αποτέλεσμα ίδιο στην πρώτη περίπτωση.
Έχεις δύο δυνατότητες.
Σε μεγάλο επί Γης ταξίδιον με διαδρομές μικρότερες, βρέθηκε πιτσιρικάς (τυπικά κακός μαθητής) που εξήγησε ότι 1.000km λ.χ. στον ισημερινό σε φέρνουνε λιγότερο ανατολικά, γιατί είναι μεγάλος ο κύκλος. Μεγαλύτερος από αυτόν της Ελλάδας, και ας μην χρησιμοποίησε τους όρους “μεσημβρινός” και “παράλληλος”.
Απαντήσεις του τύπου “ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα στην πρόσθεση”, καταλήγουν σε ορθές απαντήσεις. Οι μαθητές μπορεί να εκπαιδευτούν να τις δίνουν. Όμως είναι ανώτερη νοητική διαδικασία η πρώτη, η γεωμετρική.
Άσε δε που μπορεί να καταλάβουν και κάτι, πέραν του να διατυπώνουν διακηρύξεις ή να χειρίζονται περίεργες μαθηματικές οντότητες χωρίς να έχουν εμβαθύνει.
Όπως εμείς στο δεύτερο έτος που χρησιμοποιούσαμε την Λαγκράνζιαν και βγάζαμε εξισώσεις κινήσεων, χωρίς να έχουμε πολυκαταλάβει το φαινόμενο.
Όπως ένας που ογηγεί αυτοκίνητο και αγνοεί την λειτουργία του.
Καλησπέρα Γιάννη. Λες:
" Όμως είναι ανώτερη νοητική διαδικασία η πρώτη, η γεωμετρική."
Προφανώς έχεις δίκιο, αλλά για το λόγο αυτό είναι και πολύ πιο δύσκολη. Αν διδάξεις την πρώτη περί μεταθετικής ιδιότητας, θα την επικαλεστούν εύκολα σε αντίστοιχη περίπτωση, χωρίς όμως να "τους λέει" και κάτι.
Αλλά μήπως αυτό δεν συμβαίνει λίγο-πολύ σε κάθε νέα γνώση;
Αυτό το "κάτι" είναι το δύσκολο, που έρχεται αργότερα κάποια στιγμή, αν έρθει…
Αλλά μιας και θυμήθηκες την Λαγκράνζιαν , δες και ένα σχετικό βίντεο με τη Βιογραφία του!
Καλησπέρα Διονύση.
Συμφωνώ πως συμβαίνει συνήθως σε κάθε νέα γνώση.
Στο παρόν θέμα, συμβαίνει με την εισαγωγή της "αλγεβρικής τιμής". Ενώ είναι περισσότερο εύχρηστη, είναι ευκολότερο το να ζωγραφίζεις διανύσματα και να τα προσθέτεις αν έχουν ίδια φορά, να τα αφαιρείς, ή να τα συνθέτεις (λ.χ. με χρήση Πυθαγορείου).
Καλημέρα σε όλους,
Ήθελα να γράψω κι εγώ μια τοποθέτηση με παραδείγματα, αλλά με έχουν ήδη καλύψει οι τοποθετήσεις των συναδέλφων.
Να τονίσω λοιπόν μόνο ένα σημείο, το οποίο υπάρχει έμμεσα ή άμεσα στις τοποθετήσεις.
Όταν μιλάμε για διανυσματικό άθροισμα διανυσμάτων, μεταβολή διανύσματος, κλπ., αναφερόμαστε σε πράξεις διανυσμάτων που ο χειρισμός γίνεται με διανυσματικό λογισμό / ανάλυση.
Σε επίπεδο λυκείου ο αντίστοιχος χειρισμός γίνεται με ζωγραφική και τριγωνομετρία ή με ανάλυση σε άξονες.
Σε κάθε άξονα (ή και στο μοναδικό άξονα αν τα διανύσματα είναι συγγραμμικά) μετατρέπουμε το διανυσματικό άθροισμα σε αλγεβρικό, αντιστοιχίζοντας στη φορά ένα πρόσημο.
Το πρόβλημα που αναδεικνύεται είναι στη χρήση των συμβόλων των μεγεθών.
Επειδή δεν χρησιμοποιούμε καθορισμένα σύμβολα για μέτρα / αλγεβρικές τιμές προκύπτει η σύγχυση.
Αν τα σύμβολα παριστάνουν όλα αλγεβρικές τιμές τότε στη συμβολική γραφή δεν χρειάζεται να έχουμε καν ορίσει θετική φορά.
Το αλγεβρικό άθροισμα π.χ. πολλών συγγραμμικών δυνάμεων είναι πάντα:
ΣF = F1 + F2 + F3 + …
Η επιλογή της θετικής φοράς θα χρειαστεί μόνο στην αριθμητική αντικατάσταση, π.χ. F1=+5N, F2=–7N, κλπ.
Το αποτέλεσμα είναι κι αυτό αλγεβρική τιμή και το πρόσημό του υποδεικνύει τη φορά του διανύσματος.
Αν όμως τα σύμβολά μας παριστάνουν τα μέτρα των αντίστοιχων δυνάμεων, τότε οι αλγεβρικές τους τιμές θα είναι αντίστοιχα ±F1, ±F2, ±F3, κλπ., ανάλογα με την επιλογή της θετικής φοράς.
Το αλγεβρικό μας άθροισμα θα είναι τώρα:
ΣF = ±F1 ± F2 ± F3 ± …
Θα πρέπει επομένως να έχουμε εκ των προτέρων επιλέξει τη θετική φορά ώστε να χρησιμοποιήσουμε το σωστό πρόσημο.
Το αποτέλεσμα θα είναι πάλι αλγεβρική τιμή και το πρόσημό του υποδεικνύει τη φορά του διανύσματος.
Τέλος, χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή όταν χρησιμοποιούμε νόμους που περιέχουν διανυσματικά μεγέθη, π.χ. ΣF = mα, ΣF=–Dx, κλπ.
Αν τα διανύσματα είναι συγγραμμικά πάνω σε προσανατολισμένο άξονα τότε μετατρέπουμε τη διανυσματική σχέση σε αλγεβρική.
Αν όλα τα σύμβολα παριστάνουν αλγεβρικές τιμές, τότε για τη συμβολική γραφή δεν απαιτείται εκ των προτέρων να έχουμε ορίσει τη θετική φορά:
F1 + F2 + F3 + … = mα
Ο καθορισμός της θετικής φοράς θα χρειαστεί μόνο στην περίπτωση αριθμητικής αντικατάστασης για να μπουν τα κατάλληλα πρόσημα.
Αν όμως θέλουμε ένα, περισσότερα ή και όλα τα σύμβολα να παριστάνουν τα μέτρα των αντίστοιχων μεγεθών, τότε οι αλγεβρικές τους τιμές θα είναι ±F1, ± F2, κλπ. Και η αντίστοιχη αλγεβρική σχέση θα είναι:
±F1 ± F2 ± F3 ± … =m(±α)
Θα πρέπει επομένως εκ των προτέρων να ορίσουμε τη θετική φορά ώστε να συμπεριλάβουμε στη συμβολική σχέση το σωστό πρόσημο, ανάλογα με τη φορά του αντίστοιχου διανύσματος.
Αν τώρα είναι άγνωστο κάποιο από τα μεγέθη που το σύμβολό του παριστάνει μέτρο, τότε θα πρέπει να κάνουμε μια αυθαίρετη υπόθεση για τη φορά του, και να βάλουμε το αντίστοιχο πρόσημο. Το αποτέλεσμα θα πρέπει να βγει θετικό αφού πρόκειται για μέτρο.
Αν όμως βγει αρνητικό, τότε ήταν λάθος η φορά που αυθαίρετα επιλέξαμε και η σωστή φορά είναι η αντίθετή της.
Καλό απόγευμα Διονύση και σε ευχαριστώ για τις σκέψεις που μας κατέθεσες.
Κρατώ:
"Αν όλα τα σύμβολα παριστάνουν αλγεβρικές τιμές, τότε για τη συμβολική γραφή δεν απαιτείται εκ των προτέρων να έχουμε ορίσει τη θετική φορά:
F1 + F2 + F3 + … = mα"
Αφού στο προηγούμενο διάστημα που υποστήριζα τη θέση αυτή, μάλλον κανείς δεν έδειχνε ότι έδινε καμιά σημασία στο πρόσημο + που έβαζα μπροστά από κάθε μέγεθος.
Αν θέλουμε να εμφανίσουμε μέτρα, τότε βεβαίως μπορούμε να γράψουμε
±F1 ± F2 ± F3 ± … =m(±α)
Αλλά τώρα κάποια σύμβολα παριστούν μέτρα και όχι αλγεβρικές τιμές.