by 
Μια μικρή σφαίρα Α μάζας m διαγράφει την οριζόντια κυκλική τροχιά κέντρου Κ και ακτίνας R, δεμένο στο άκρο αβαρούς νήματος μήκους l, με ταχύτητα υ, όπως στο σχήμα.
i) Να βρεθεί η στροφορμή της σφαίρας:
α) ως προς το σημείο Κ, β) ως προς το σημείο Ο, γ) κατά τον άξονα z.
Σχεδιάζοντας και τα αντίστοιχα διανύσματα, όπως και το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας ω της σφαίρας.
ii) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής:
α) ως προς το σημείο Κ, β) ως προς το σημείο Ο, γ) κατά τον άξονα z.
Διονύση καλησπέρα, όπωs και σε όλουs τουs φίλουs
Ωs προs το Κ είναι είναι muR , ωs προs το Ο είναι mul κάθετη στο επίπεδο που ορίζει ο φορέαs τηs ταχύτηταs και το Ο ενώ ωs προs τον άξονα είναι πάλι muR.To ενδιαφέρον είναι ότι η συνιστώσα τηs στροφορμήs ωs προs το σημείο Ο στη διεύθυνση του άξονα μαs δίνει πάλι muR.
Καλημέρα και από εδώ. Συμφωνώ με τον Ιωάννη. Ως προς το Κ το μέτρο της στροφορμής είναι Lκ=mυR με διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο της κυκλικής τροχιάς με φορά προς τα πάνω. Ως προς το Ο το μέτρο της στροφορμής είναι Lo=mυl με διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο που ορίζει η ταχύτητα και το Ο. Ως προς τον άξονα z η στροφορμή είναι η κατακόρυφη συνιστώσα της Lo με μέτρο Lz=mυR. Η γωνιακή ταχύτητα είναι προς τα πάνω.
Ιωάννη και Αποστόλη σας ευχαριστώ για τις άμεσες απαντήσεις, πριν προλάβω καν, να συμπληρώσω με ένα δεύτερο ερώτημα:
Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής:
α) ως προς το σημείο Κ, β) ως προς το σημείο Ο, γ) κατά τον άξονα z.
Ως προς το Κ και κατά τον z είναι νομίζω μηδέν. Ως προς το Ο το διάνυσμα Lo αλλάζει συνεχώς κατεύθυνση και ο ρυθμός μεταβολής της Lo είναι ο ρυθμός μεταβολής της συνιστώσας της, η οποία είναι παράλληλη στην κυκλική τροχιά. Μέχρι εδώ προς το παρόν.
Kαλησπέρα Διονύση και Αποστόλη.Το περίμενα το ερώτημα Διονύση. Ωs προs το Κ και τον άξονα η στροφορμή είναι σταθερή κατά μέτρο και κατεύθυνση. Ωs προs το O αλλάζει κατεύθυνση λόγω τηs ροπήs του βάρουs -ΜgR.
Καλημέρα από την εξοχή ποτίζω μουρέλα. Μόνο ο Παντελής και ο Κυριακόπουλος γνωρίζουν την λέξη ως κρητικοί.
Η φορά του L προκύπτει από τον ορισμό του εξωτερικού γινομένου RXP. Ενίοτε L kai ω έχουν διαφορετικές κατευθύνσεις. Σπάσανε τα λάστιχα…
Διευθύνσεις
50% Κρητικός, αλλά την γνωρίζω.
Διονύση συμφωνώ με τους προλαλησαντες.
Ως προς τον άξονα ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής είναι μηδέν, διότι η ροπή είναι μηδενική.
Όμως η ροπή ως προς το Ο είναι m.g.R.
Η ροπή ως προς το Κ είναι μηδενική διότι αν αναλύσουμε την Τ, η μία συνιστώσα θα περάσει από το Κ και η άλλη θα εξουδετερώσει το βάρος.
Ο Γιάννης σωστά εντόπισε την μεταβολή της διεύθυνσης της στροφορμής ως προς το Ο.
Και ο Αποστόλης εντοπίζει ότι και ο Γιάννης.
Η ομάδα πετάει!!!!
Διονύση ξαναδιάβασα την εκφώνηση. Φοβήθηκα ότι δεν έλεγες αυτό το "διαγράφει την οριζόντια κυκλική τροχιά κέντρου Κ και ακτίνας R". Αν δεν το έλεγες, τότε η ροπή ως προς το Κ δεν θα ήταν μηδενική. Θα αναδυόταν άλλη μια συνιστώσα της στροφορμής.
Το μπαλάκι θα μπορούσε να "κατέβει" ή να "ανέβει".
Να ευχαριστήσω όλους τους φίλους για τις άμεσες (και σωστές…) απαντήσεις.
Το θέμα δεν προτείνεται για κάποιο ιδιαίτερο προβληματισμό, αλλά θεώρησα χρήσιμο να επισημανθούν κάποια γνωστά πράγματα, λόγω εποχής…
Ας δούμε λοιπόν το σχήμα:
Η στροφορμή ως προς το σημείο Κ, είναι κατακόρυφη μέτρου LΚ=mυR.
Η στροφορμή ως προς το σημείο Ο, είναι κάθετη στο επίπεδο που ορίζεται από το διάνυσμα της ταχύτητας και το σημείο Ο, με μέτρο LΟ=mυl, όπου l το μήκος του νήματος.
Αν αναλύσουμε την παραπάνω στροφορμή σε δυο συνιστώσες, μια κατακόρυφη μέτρου LΟz=LΟ∙ημθ=mυl∙(R/l)=mυR=LΚ. Η συνιστώσα αυτή, είναι η στροφορμή κατά τον άξονα z και είναι για όλα τα σημεία του άξονα η ίδια.
Η αντίστοιχη οριζόντια συνιστώσα έχει μέτρο LΟx=LΟ∙συνθ και έχει σταθερό μέτρο, αλλά στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα, ίδια με αυτή του σώματος Α.
Αξίζει να προσέξουμε το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας. Είναι κατακόρυφο στο κέντρο Κ. Συνεπώς, τα διανύσματα ω και L έχουν την ίδια κατεύθυνση, όταν αναφερόμαστε στο Κ, αλλά έχουν διαφορετική διεύθυνση, όταν μιλάμε για στροφορμή ως προς το Ο!
Πάμε στις δυνάμεις που ασκούνται στη σφαίρα και στις ροπές τους:
Ως προς το σημείο Κ τολ=0, αφού Fy=w, οπότε η στροφορμή του σώματος Α ως προς το Κ παραμένει σταθερή.
Αν πάμε όμως στο σημείο Ο, υπάρχει ροπή, οριζόντια, μέτρου τ=mgR με κατεύθυνση όπως στο δεξιό σχήμα, κάθετη στη συνιστώσα LΟx. Αποτέλεσμα της δράσης αυτής της ροπής, είναι να έχουμε μεταβολή της οριζόντιας στροφορμής. Στο κάτω δεξιό σχήμα φαίνονται τα διανύσματα της οριζόντιας στροφορμής δυο χρονικές στιγμές που απέχουν κατά Δt και το διάνυσμα της μεταβολής ΔL, ίδιας κατεύθυνσης με τη ροπή του βάρους.
ΥΓ
Αν το τελευταίο σας θυμίζει την μετάπτωση της σβούρας, δεν είναι καθόλου τυχαία η σύμπτωση…