by 
Ένα σώμα μάζας 1kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου. Το σώμα συγκρούεται στιγμιαία με άλλο κινούμενο σώμα, με αποτέλεσμα να τίθεται σε ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης:
x1=0,4∙ημ(7t), (μονάδες στο S.Ι.).
i) Να βρεθεί η σταθερά του ελατηρίου, καθώς και η ενέργεια ταλάντωσης.
ii) Ακινητοποιούμε το σώμα στη θέση x=0 και κάποια στιγμή (t0=0) ασκούμε πάνω του μια οριζόντια μεταβλητή δύναμη της μορφής F=Fο∙ημ(8t), όπως στο κάτω σχήμα. Το σώμα τίθεται σε εξαναγκασμένη ταλάντωση με εξίσωση κίνησης:
x= 0,27∙ημ(7t) – 0,3∙ημ(8t) (μονάδες στο S.Ι.)
α) Να υπολογίσετε την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας (x=0) και την ταχύτητα του σώματος τις χρονικές στιγμές t1 =π/3 s και t2= π s.
β) Να υπολογιστεί η κινητική και η δυναμική ενέργεια του σώματος τις παραπάνω στιγμές.
γ) Στο παρακάτω διάγραμμα δίνεται η απομάκρυνση του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο.
Παρατηρούμε ότι η κίνηση παρουσιάζει διακροτήματα. Ποια η περίοδος του διακροτήματος και πόσες ταλαντώσεις εκτελεί το σώμα σε χρόνο ίσο με την περίοδο του διακροτήματος;
ή
Μια ΑΑΤ και μια σύνθετη ταλάντωση
Μια ΑΑΤ και μια σύνθετη ταλάντωση
Καλημέρα κύριε Μάργαρη.
Σαν παράδειγμα για την σύνθεση δύο αατ μπορούμε να πούμε τη συμβολή δύο κυμάτων.
Εσείς τι παραδείγματα δίνετε στην τάξη για την σύνθεση;
"Αυτή είναι η περιγραφή και αυτή οδηγεί στη γραφική παράσταση που δόθηκε και που αποδεικνύει ότι έχουμε μια κίνηση που εμφανίζει διακροτήματα.".
Στην συγκεκριμένη άσκηση που θα στηρίζατε το γεγονός ότι το σώμα εκτελεί αατ με γωνιακή συχνότητα 7rad/s από τη στιγμή που ακινητοποιείται; Πώς το αποδείξατε αυτό;
Πώς θα εξηγήσετε στην τάξη τις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις όταν θα τους αναφέρετε για την περιοδική αρμονική δύναμη που ασκεί ο διεγέρτης;
Δεν διακρίνω κάποιο φυσικό νόημα στην συγκεκριμένη άσκηση. Άλλο φυσικό νόημα, άλλο παίζουμε με τα ημίτονα.
Εγώ θα απαντήσω μόνο στο ερώτημα:
Από ποιον διαιωνίζεται το θέμα τελικά;
Ένας από τους δράστες, υπευθύνους για την διαιώνιση του θέματος αυτού είμαι εγώ.
Σαν να μην έφταναν όσα έγραψα πολύ παλιότερα, επανήλθα φέτος με την αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων.
Η παρούσα περίπτωση που ο Διονύσης περιγράφει είναι όντως μια κίνηση με εξίσωση θέσης ένα άθροισμα αρμονικών όρων. Όμως ουδείς απαγορεύει την αντιμετώπιση μιας κίνησης ως σύνθετης. Μου δίδεται μια κίνηση ευθύγραμμη και ομαλή. Αν θέλω μπορώ να την μελετήσω ως σύνθεση δύο κινήσεων , μιας κυκλικής και μίας με τροχιά κυκλοειδές. Το ότι δεν το κάνω διότι δεν είναι απλή η ανάλυση, δεν σημαίνει τίποτα. Η παρούσα κίνηση που έθεσε ο Διονύσης δεν μελετάται ευκολότερα ως σύνθεση. Ο Διονύσης την γραμμικότητα επικαλείται ουσιαστικά. Αθροίζουμε όχι μόνο όταν έχουμε σύνθεση αλλά και όταν συναντάμε γραμμικά φαινόμενα.
Με απασχολεί τώρα το αν η παρούσα περίπτωση του Διονύση θα μπορούσε να αποδειχθεί χωρίς χρήση διαφορικών εξισώσεων. Με επιλογή κατάλληλου παρατηρητή και ως σύνθεση δύο κινήσεων.
Αγαπητέ Κωνσταντίνε (αν δικαιούμαι να αποκαλώ τους συνομιλητές μου με το μικρό όνομα, όπως θα ήθελα να με αποκαλούν).
Θα απαντήσω και στο:
Σαν παράδειγμα για την σύνθεση δύο αατ μπορούμε να πούμε τη συμβολή δύο κυμάτων.
Εσείς τι παραδείγματα δίνετε στην τάξη για την σύνθεση;
Το θέμα είναι πάρα πολύ μπερδεμένο. Το βιβλίο παρουσιάζει την σύνθεση ταλαντώσεων για ποιο λόγο;
Φυσικά για να μιλήσει στη συνέχεια για την συμβολή δύο κυμάτων. Όμως υπάρχει διαφορά μεταξύ "σύνθεσης" και "υπέρθεσης".
Υπέρθεση έχουμε όταν το μέσον είναι γραμμικό. Τότε το άθροισμα δύο λύσεων της Δ.Ε. του κύματος αποτελεί λύση.
Για τον λόγο αυτόν προσθέτουμε δύο αρμονικούς όρους. Για τον ίδιο λόγο περιγράφουμε ένα στάσιμο κύμα ως άθροισμα δύο αρμονικών όρων.
Σύνθεση σημαίνει κάτι διαφορετικό. Με απλά λόγια "κινούμαι μέσα σε κινούμενο όχημα".
Με λιγότερο απλά λόγια "Ένας παρατηρητής Β βλέπει εμένα να εκτελώ κυκλική τροχιά και ένας άλλος, ο Α, βλέπει τον Β να κινείται ευθύγραμμα και ομαλά. Τότε ο Α βλέπει εμένα να διαγράφω κυκλοειδές".
Για να μην φεύγω από την παρούσα περίπτωση ένα άλλο παράδειγμα σύνθεσης:
"Ένας παρατηρητής B βλέπει εμένα να ταλαντεύομαι με συχνότητα f. Ένας παρατηρητής Α βλέπει τον Β να ταλαντεύεται στην ίδια διεύθυνση με συχνότητα f΄. Τότε ο Α βλέπει εμένα να εκτελώ διακρότημα, αν οι συχνότητες είναι παραπλήσιες".
Η άθροιση στην δεύτερη περίπτωση δεν επιβάλλεται από κάποια γραμμικότητα. Πρόκειται για σύνθεση και όχι υπέρθεση.
Τώρα γιατί το βιβλίο αναφέρει (αποτυχημένο) παράδειγμα σύνθεσης ενώ θέλει να μιλήσει για υπέρθεση, είναι άλλο θέμα.
Καλά παραδείγματα σύνθεσης δίνουν οι παλμογράφοι του Δημήτρη Τσαούση (μηχανικός και οπτικός).
Καλησπέρα συνάδελφοι.
Ιωάννη σε ευχαριστώ για το σχολιασμό και τον προβληματισμό που θέτεις.
Η αλήθεια είναι ότι γράφοντας "ακινητοποιούμε" στο μυαλό μου είχα την εξής διάσταση. Σταματάμε το σώμα (του αφαιρούμε την ορμή ή την ενέργεια…) και το αφήνουμε οπότε παραμένει ακινητοποιημένο. Δηλαδή η ακινητοποίηση γίνεται σε μια θέση που να μπορεί να παραμείνει ακίνητο, συνεπώς στη θέση ισορροπίας.
Θέτοντας όμως το ζήτημα εσύ, σκέφτομαι ότι μάλλον αυθαίρετη ήταν η σειρά των συλλογισμών και μπορούμε να κρατήσουμε ακινητοποιημένο το σώμα, ασκώντας του μια κατάλληλη δύναμη… Μάλλον θα χρειαστεί επεξήγηση…
Κ. Αναστασίου η συμβολή δύο κυμάτων δεν είναι σύνθεση δύο ΑΑΤ (με την έννοια που λέγοντας ΑΑΤ αναφερόμαστε σε άσκηση συντηρητικής δύναμης όπου η κινητική ενέργεια μετατρέπεται σε δυναμική και αντίστροφα).
"Στην συγκεκριμένη άσκηση που θα στηρίζατε το γεγονός ότι το σώμα εκτελεί αατ με γωνιακή συχνότητα 7rad/s από τη στιγμή που ακινητοποιείται; Πώς το αποδείξατε αυτό;"
Δεν απέδειξα ότι εκτελεί μια ΑΑΤ! Δεν το είπα πουθενά αυτό!
Έδωσα μια εξίσωση κίνησης με δύο προσθετέους, λέγοντας ότι:
"το αποτέλεσμα είναι μια κίνηση η οποία μπορεί να μελετηθεί ως επαλληλία δύο ταλαντώσεων, εκ των οποίων, μόνο η μία είναι ΑΑΤ!"
Ας προσέξουμε το "μπορεί να μελετηθεί"! Άλλωστε αν διαβάσει κάποιος το ερώτημα ii) β) θα δει ότι όταν υπολόγισα δυναμική ενέργεια, αντικατέστησα το x, όχι αυτό που θα είχε το σώμα αν εκτελούσε μόνο την ΑΑΤ, αλλά το χ της σύνθετης κίνησης. Αν κάποιος έχε αντίρρηση θα του έλεγα να κοιτάξει τι κάνει το ελατήριο και την ενέργεια που έχει…
Από κει και πέρα ο καθένας έχει το δικαίωμα να κρίνει ως καλή, μέτρια, άσχημη ή με όποιον άλλο χαρακτηρισμό νομίζει, την παρούσα ανάρτηση. Δεν υποχρέωσα κάποιον να την χρησιμοποιήσει στη διδασκαλία του.
Του κάνει, μπορεί να την χρησιμοποιήσει.
Δεν την θεωρεί επιστημονικά ορθή ή ότι δεν του χρειάζεται; Την αφήνει στην άκρη…
Γιάννη, τι λες για την παρακάτω οπτική γωνία:
Το σώμα εκτελεί ΑΑΤ δεμένο στο άκρο ελατηρίου με εξίσωση x= 0,27∙ημ(7t) .
Ένας παρατηρητής Α βρίσκεται σε ένα μικρό βαγόνι, το οποίο κινείται παράλληλα με το σώμα, γύρω από τη θέση x= 0 και με εξίσωση x= 0,3∙ημ(8t) . Τι κίνηση βλέπει ο παρατηρητής Α;
Διονύση μου αρέσει αυτό που είπες. Ένας ταλαντευόμενος παρατηρητής θα βλέπει την ακίνητη άκρη του ελατηρίου να εκτελεί ταλάντωση αρμονική.
Θα βλέπει τον τοίχο ως διεγέρτη. Η δύναμη του τοίχου-διεγέρτη μαζί με την δύναμη D' Alembert θα εξουδετερώνουν κάθε στιγμή την δύναμη του "ορθόδοξου" διεγέρτη.
Ο παρατηρητής αυτός θα βλέπει το σώμα εκτελούν αρμονική ταλάντωση. Θέση ισορροπίας η γνωστή και κάποια αρχική ταχύτητα.
Εξίσωση τελικά η x= 0,27∙ημ(7t).
Εμείς οι "ακίνητοι" οφείλουμε να αφαιρέσουμε τον όρο x= 0,3∙ημ(8t). Έτσι οδηγούμαστε σε διακρότημα χωρίς να καταφύγουμε σε διαφορική εξίσωση. Θέλει κάποια δουλειά όμως, που θα κάνω μάλλον αύριο ή μεθαύριο.
Γιάννη, μάλλον διαφορετικό πράγμα σκεφτόμαστε
Έλεγα το εξής. Ο άνθρωπος ταλαντώνεται με εξίσωση x= 0,3∙ημ(8t) και το σώμα είναι ακίνητο.
Τι βλέπει; Δεν βλέπει το σώμα να ταλαντώνεται με εξίσωση x= -0,3∙ημ(8t);
Αν τώρα το σώμα εκτελέσει πραγματικά (δεν με απασχολεί το πώς, πήρε ενέργεια μέσω κρούσης…) μια ΑΑΤ με εξίσωση x= 0,27∙ημ(7t), ποια η εξίσωση της κίνησης του σώματος που βλέπει ο ταλαντευόμενος παρατηρητής μας;
Διονύση αυτό κατάλαβα. Όμως υπάρχει και η δύναμη του διεγέρτη. Αυτήν πρέπει να εξαφανίσουμε. Ίσως πρέπει να δοκιμάσουμε το 0,15. Θα το δω καλύτερα, αν δεν το βρει άλλος φίλος. Μέχρι τώρα οι δοκιμές στο i.p. απέτυχαν. Πρέπει να ακολουθήσω τον τύπο που δίνει το ακριβές πλάτος. Ξεκίνησα παίζοντας. Αυξομειώνω την διακύμανση αλλά όχι όσο πρέπει. Όχι τόσο ώστε ο παρατηρητής μας να δει την ταλάντωση με την ιδιοσυχνότητα μόνο.
Αναβάλω την όποια μελέτη για αύριο-μεθαύριο.
Τώρα που το λες και γράφω σκέφτηκα και το άλλο:
Η δύναμη του διεγέρτη να καταστεί δύναμη D' Alembert. Θέλει δουλειά πάντως. Κάποιες φορές οι διαφορικές είναι απλούστερες.
Γιάννη, δεν νομίζω ότι πρέπει να ασχοληθείς με δυνάμεις.
Δεν μιλάμε για δυναμική αλλά κινηματική!
Είναι φανερό το ότι αν κάνουμε Κινηματική θα δούμε ότι λες.
Θα δούμε μόνο τη μία από τις δύο ταλαντώσεις. Όποια θέλουμε. Γιατί όχι την α.α.τ.
Με κόκκινο χρώμα αυτό που βλέπει ο ακίνητος. με μπλε ο ταλαντευόμενος. Τα ω είναι 4 και 5.
Ο ένας βλέπει αρμονική ταλάντωση, ο άλλος διακρότημα όμοιο μορφολογικά με το δικό σου.
Αυτό είναι απλό πολύ. Είναι προγραμματιζόμενη συμπεριφορά.
Το θέμα είναι ότι ψάχνω απόδειξη της σχέσης που παρέθεσες χωρίς Δ.Ε. Αυτό δεν είναι Κινηματική.
Θέλουμε δηλαδή να δείξουμε ότι απουσία απόσβεσης και με δύναμη περιοδική έχουμε διακρότημα. Αυτό είναι Δυναμική.
Αυτό είναι δυναμική Γιάννη, αλλά την απόδειξη την έχεις
Έδωσες παραπάνω τη λύση της διαφορικής…
Καλησπέρα σε όλους.
Γιάννη μία παρατήρηση: έχω την εντύπωση ότι η παραπάνω εξίσωση ισχύει μόνον αν, προφανώς, οι αρχικές συνθήκες της κίνησης είναι x(0) = 0 και υ(0)=0 αλλά και η δύναμη του διεγέρτη να λαμβάνει αυστηρά την μορφή Fδ(t) = F0 ημ(ωt).
Καλησπέρα Στάθη.
Έχεις δίκιο, με αυτές τις αρχικές συνθήκες, ισχύει η εξίσωση που έχει δώσει παραπάνω ο Γιάννης.
Αυτές τις αρχικές συνθήκες έχω δώσει και εγώ στην εκφώνηση.