by 
Μόνο για Καθηγητές
Έστω μια ελαστική μετωπική κρούση δύο σφαιρών Α και Β, οι οποίες κινούνται στην ίδια ευθεία, όπως στο σχήμα.
Να βρεθεί η ταχύτητα της σφαίρας Α μετά την κρούση, με δεδομένο ότι η ώθηση της δύναμης που ασκείται πάνω της μέχρι τη στιγμή της μέγιστης παραμόρφωσης, είναι ίση με την ώθησή της, από κει και πέρα.
ή
Κάτι περίεργο συμβαίνει στην ελαστική κρούση!!!
Κάτι περίεργο συμβαίνει στην ελαστική κρούση!!!
Έχεις γράψει πάλι μια ανάλογη αλλά είναι δύσκολο να την βρω.
Η παλιότερη μου έδωσε το ερέθισμα που σου είπα σε άλλη συζήτηση.
Εκτός αν ήταν με σώματα και ελατήριο ανάμεσα και τη στιγμή μέγιστης συσπείρωσης είχαν κοινή ταχύτητα.
Μάλλον με ελατήριο ήταν η άλλη που αναφέρεις Γιάννη.
Αλλά έτσι ξακάθαρα, πρώτη φορά τουλάχιστον εγώ, το βλέπω…
Μην μου πεις το γνωστό Γηράσκω…
Ας υποθέσουμε ότι οι ωθήσεις ήταν διαφορετικές ( διαφορετικό εμβαδόν F-t). Αυτό σημαίνει πως ένα μέρος της ορμής του συστήματος δεν ανακτάται αλλά παραμένει ως μεταβολή της ορμής των σωματιδίων του συστήματος. Άρα σημαίνει μια αύξηση της εσωτερικής ενέργειας του συστήματος ( και της θερμοκρασίας του ). Ίσως τελικά αυτό που περιγράφουν οι δυο αρχές διατήρησης (Ενέργειας -Ορμής) να τείνουν να ταυτιστούν κατά την μικροσκοπική ερμηνεία. ( Λέτε να σχετίζεται με το γεγονός πως η διάσπαση του χωροχρονικού συνεχούς σε χώρο και χρόνο είναι απλά μια ψευδαίσθηση του μακρόκοσμου που ζούμε;)
Μπράβο Διονύση!!!
Καλησπέρα σε όλους τους φίλους.
Έχει ενδιαφέρον το εξής ιστορικό στοιχείο. Ο Huygens , ασχολούμενος με τις κρούσεις, υπέθεσε ότι όταν δύο ίσες μάζες συγκρούονται ελαστικά με ταχύτητες ίσου μέτρου αντίθετης φοράς (+-υ) ανταλλάσσουν τις ταχύτητές τους. Αυτό χωρίς αναφορά στην κινητική ενέργεια , απλά στηριζόμενος στη συμμετρία του προβλήματος. Στη συνέχεια σκέφτηκε την ίδια κρούση να γίνεται πάνω σε μία βάρκα που κινείται με ταχύτητα υ ως προς την ακτή. Για ένα παρατηρητή στην ακτή μια μάζα ακίνητη συγκρούεται με μια άλλη που κινείται με ταχύτητα 2υ. Μετά την κρούση η πρώτη μάζα αποκτά ταχύτητα 2υ και η δεύτερη μένει ακίνητη. Πιο γενικά αν η βάρκα έχει ταχύτητα u, διαφορετική από το υ, τότε οι ταχύτητες των σωμάτων πριν την κρούση θα είναι: u+υ και u-υ ενώ μετά την κρούση θα είναι u-υ και u+υ αντίστοιχα. Έτσι έφθασε στο συμπέρασμα ότι σε κάθε ελαστική κρούση μεταξύ δύο σωμάτων ίσης μάζας, το μέτρο της σχετικής τους ταχύτητας παραμένει σταθερό. Στη συνέχεια με μια σειρά από συλλογισμούς καταλήγει στο συμπέρασμα ότι το μέτρο της σχετικής ταχύτητας παραμένει σταθερό (πριν και μετά την κρούση) και στην περίπτωση που οι δύο μάζες είναι διαφορετικές. Τώρα η διατήρηση της ορμής μαζί με το συμπέρασμα του Huygens οδηγούν σε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους. Με τις λύσεις στα χέρια του εύκολα βλέπει κανείς ότι η κινητική ενέργεια διατηρείται.
Καλημέρα Διονύση
Το αποτέλεσμα είναι μη αναμενόμενο.
Στην ουσία αποδεικνύεις ότι η κρούση είναι ελαστική αν και μόνο αν η ώθηση κάποιας από τιις δύο δυνάμεις αλληλεπίδρασης από την αρχή της κρούσης μέχρι την χρονική στιγμή μέγιστης παραμόρφωσης είναι ίση με την ώθησή της από την στιγμή αυτή μέχρι το τέλος.
Στην αρχική υπόθεση “έστω μια ελαστική μετωπική κρούση” πρέπει να παραλείψης το ελαστική.
Πράγματι Βαγγέλη, το αποτέλεσμα ήταν μη αναμενόμενο.
Η άποψή μου, ταυτιζόταν με τη δική σου, ότι “η ελαστικότητα αν επιβάλει μια συμμετρία είναι η συμμετρικότητα του διαγράμματος δύναμης “παραμόρφωσης”. Επομένως δεν είναι ίσες οι ωθήσεις αλλά τα έργα.”
Αλλά η επιμονή του Γιάννη, με έκανε να το ψάξω λίγο και τελικά προέκυψε το παραπάνω.
Ναι, φαίνεται ότι αν η ώθηση της δύναμης που δέχεται το ένα σώμα, από την αρχή μέχρι τη στιγμή της μέγιστης παραμόρφωσης, είναι ίση με την ώθηση από κει και πέρα, τότε η κρούση είναι ελαστική…
Παρά το γεγονός ότι χρησιμοποίησα την έκφραση συμμετρικότητα διαγράμματος F-x , η έκφραση αυτή δεν είναι σωστή. Ας υποθέσουμε ότι η απόσταση των δύο κέντρων όταν αρχίζει η αλληλεπίδραση είναι α και στην μέγιστη παραμόρφωση είναι β.
Ελαστικότητα (αναφέρομαι σε κεντρική δύναμη) σημαίνει ότι το γράφημα από το α στο β είναι ίδιο με το γράφημα από το β στο α. Επομένως δεν εμφανίζεται βρόχος υστέρησης.
Πολύ με προβληματίζει αυτό το αποτέλεσμα
Μερικές σκέψεις μου πρόχειρα
Θα έλεγα ότι η ελαστικότητα είναι μια έννοια της μακροσκοπικής περιγραφής της κρούσης στην οποία προσεγγίζουμε τη φύση με την ιδανική κατάσταση ανάκτησης της Κινητικής Ενέργειας ( όχι την διατήρησή της ). Σε μικροσκοπικό επίπεδο αυτή η ανάκτηση θα παραβίαζε το δεύτερο Θερμοδυναμικό αξίωμα αν το σύστημα θεωρηθεί μεμονωμένο. (Αντιστρεπτή μεταβολη μονωμένου συστήματος δυο όμοιων δοχείων με έμβολο ,πλήρη αερίων που συγκρούνται.)Ωστόσο μπορεί να προσεγγιστεί ως στατιστικό αποτέλεσμα υποθέτοντας την ανταλλαγή ενέργειας με το περιβάλλον αλλα με αμελητέες τριβές.
Στην πραγματικότητα αυτό που περιγράφουμε μακροσκοπικά είναι και σταδιακή ανταλλαγή ορμών ( διατηρείται μόνο η ορμή του κέντρου μάζας) και συνεπώς οι ωθήσεις πρέπει να είναι συμμετρικές ως προς το χρόνο μέγιστης παραμόρφωσης . Και αυτό δεν μπορεί να αναχθεί σε διατήρηση της ορμής σε μια κρούση στοιχειωδών σωματιδίων στο μικρόκοσμο παρά μόνο με την προσέγγιση της ακαριαίας ταυτόχρονης ανταλλαγής ορμής . (Άλλως είμαστε αναγκασμένοι να συνυπολογίσουμε και την μεταβολή της ορμής του σωματιδίου φορέα της αλληλεπίδρασης με άλλα τώρα προβλήματα που μπορούν να ξεπεραστουν θεωρώντας την επίδραση των άλλων πεδίων αμελητέα)
Από αυτή την άποψη δεν ξέρω αν είναι σωστο να μελετάμε μια κρούση στον μακρόκοσμο ως φαινόμενο με διάρκεια και με παρατηρήσιμες παραμορφώσεις.
Καλησπέρα σε όλους τους φίλους.
Διονύση η ανάρτησή σου έχει εξαιρετικό ενδιαφέρον! Διαβάζοντας και τα σχόλια των συναδέλφων μου δημιουργήθηκε η απορία: Όταν ικανοποιείται η συνθήκη που περιγράφει ο Διονύσης για την ώθηση, τότε η κρούση αποδεικνύεται ελαστική. Μπορούμε να ισχυρισθούμε και το αντίστροφο; Ότι δηλαδή κάθε ελαστική (μονοδιάσταστη) κρούση ικανοποιεί το κριτήριο που έθεσε ο Διονύσης; Διαβάζοντας και το σχόλιο του Βαγγέλη πιστεύω πως μάλλον ναι . Αν ισχύει λοιπόν και το αντίστροφο, τότε το “κριτήριο” του Διονύση αποτελεί ένα ισοδύναμο ορισμό της ελαστικής κρούσης.
Δημήτρη, νιώθω να θέλω να βγω παραλία και ψάχνοντας πώς να πάω (απέχει 15 λεπτά με τα πόδια από το σπίτι μου), εσύ να μου προτείνεις το κονκόρτ!!!
Γιάννη ισχύει και το αντίστροφο, αποδεικνύεται πολύ εύκολα, ότι στην μετωπική ελαστική κρούση οι δυο παραπάνω ωθήσεις είναι ίσες. Το γράφω…και επανέρχομαι.
Γιάννη η απόδειξη που αναφέρεις, με κλικ εδώ.
Πράγματι Διονύση!
Εδώ σίγουρα ταιριάζει το “γηράσκω αεί…”
Σε ευχαριστώ πολύ!
Nα κάνω μια ανόητη ερώτηση; Τα υλικά σημεία παραμορφώνονται;
Το υλικό σημείο είναι πρότυπο με συγκεκριμένες ιδιότητες και δεν παραμορφώνεται. Δεν είναι κάτι υπαρκτό.
Συνεπώς δεν έχει διαστάσεις και άρα δεν μπορούμε να μιλάμε για παραμόρφωση υλικού σημείου. Συνεπώς, μιλάμε για κρούση σωμάτων με διαστάσεις που κατά τη διάρκειά της συμβαίνει παραμόρφωσή τους. Σωστά; Τα σώματα μπορούν να έχουν μόνον τη μορφή σφαίρας ή και άλλου σχήματος; Σκέψεις κάνω…
Δίκιο έχεις Σταύρο για το ερώτημα που θέτεις και σωστή η απάντηση του Σαράντου. Διορθώνω την εκφώνηση, όπου θέλοντας να αφαιρέσω το δικαίωμα της σφαίρας να περιστρέφεται, της απέδωσα ιδιότητες υλικού σημείου.
Διονύση σκέφτομαι πως το όλο θέμα έχει “ντυθεί” με μπόλικη συμμετρία, αν εκφράζομαι σωστά. Η σφαίρα για παράδειγμα. Η τέλεια, απόλυτη συμμετρία. Τί γίνεται στην κρούση δυο ζαριών; Χμ… ερώτημα για τους “Mythbusters”! Ενδιαφέρουσα πάντως η μελέτη σου Διονύση και δίνω μεγάλη βάση στις σκέψεις του Δημήτρη (Γκ.)
Μία αναφορά που ίσως βοηθήσει. Από επιστημονικό άρθρο και συμπεράσματα στο εργαστήριο.
N. MAW, J.R BARBER and J.N. FAWCETT Vol.4,
The response of bodies in oblique impact, though due to higly localized interaction, appears to be closely predicted using the bulk properties of the colliding materials.
Αναφέρονται αρκετά κατατοπιστικά. Μη ξεχνάμε και τι είναι η επιστήμη 🙂
Επίσης μη ξεχνάμε πως η διατήρηση της ενέργειας προκύπτει από συμμετρία των νόμων της φυσικής
εδώ μια παλιότερη ανάρτησή. Τι πρέπει να γνωρίζουν.
Διονύση καλησπέρα…με έχει προβληματίσει η πολύ ενδιαφέρουσα ανάρτησή σου.
και μια άλλη κρούση
Ο λόγος των ωθήσεων σχετίζεται με τον συντελεστή επαναφοράς e που είχα αναφέρει παλαιότερα. Περισσότερα εδώ .
Δημήτρη καλημέρα. Μάλλον αρχίσεις βλέπω να συμβιβάζεσαι με την ιδέα…
Καλημέρα Νίκο, πάντα εύστοχος!
Kαλημέρα Διονύση και …Χρόνια Πολλά!
Νίκο, τον ίδιο συντελεστή παλιά βιβλία τον ονομάζουν συντελεστή κρούσης k, με k=0 στην πλαστική, k=1 ελαστική και 0<k<1 στην ημιελαστική ή ανελαστική κρούση και εμπεριέχει την ΑΔΟ και την ΑΔΕ. Συνήθως δίνεται με γνωστή τιμή (π.χ. έστω k=0,5 κλπ)
Καλημέρα συνάδελφοι.
Δημήτρη Γκενέ με μπερδεύει η εξής φράση σου:
«Ας υποθέσουμε ότι οι ωθήσεις ήταν διαφορετικές ( διαφορετικό εμβαδόν F-t). Αυτό σημαίνει πως ένα μέρος της ορμής του συστήματος δεν ανακτάται αλλά παραμένει ως μεταβολή της ορμής των σωματιδίων του συστήματος»
Αυτό που συμπεραίνεις θα ίσχυε αν οι ωθήσεις των δυνάμεων αλληλεπίδρασης στο χρονικό διάστημα της αλληλεπίδρασης ήταν διαφορετικές.
Στο πρόβλημα του Διονύση ή ώθηση μιας από τις δυνάμεις στο πρώτο χρονικό διάστημα της αλληλεπίδρασης είναι ίση με την ώθηση της ίδιας δύναμης στο δεύτερο.
Νομίζω ότι κάτι άλλο ήθελες να γράψεις.
Στο «μια κρούση» αποδεικνύεις ότι ανεξαρτήτως μοντέλου αλληλεπίδαρσης οι δύο παραπάνω ωθήσες είναι ίσες. Αρκεί οι δύο δυνάμεις να είναι κεντρικές.
Η απόδειξη της ισότητάς τους στο σύστημα εργαστηρίου έχει μόνο τον χαρακτήρα εξάσκησης.
Αφού είναι ίσες στο σύστημα κέντρου μάζας είναι ίσες σε οποιοδήποτε αδρανειακό σύστημα αναφοράς.
Υποψιάζομαι ότι πίσω από την τεχνική της απόδειξης με την αρχή διατήρησης της ενέργειας κρύβεται ένα ενδιαφέρον μαθηματικό θεώρημα το οποίο ακόμη δεν μπορώ να δω.
Διονύση προτιμώ το “ανάγκα και άνθρωπος πείθεται” από το “σώζειν τα φαινόμενα”
Βαγγέλη Δεν νομίζω ότι τα είπα σωστά εκεί ( Δυστυχώς ήμουν πάντα απρόσεχτος ). Αυτό που σιγουρεύτηκα είναι ότι το μοντέλο της ελαστικής κρούσης στα μηχανικά συστήματα δεν πρέπει να συνδέεται με διατήρηση της Κινητικής ενέργειας αλλά με ανάκτηση της δηλαδή με διατήρηση της μηχανικής ενέργειας. Η έννοια της ελαστικότητας λοιπόν εξασφαλίζει συντηρητικές δυνάμεις . Τώρα απομένει να σκεφτούμε αν το rigid αντικείμενο με ελαστικότητα του μακρόκοσμου είναι μια εξιδανίκευση όπου αποδίδει στα στερεά σώματα του μακρόκοσμου ιδιότητες του μοντέλου του ιδανικού ελατηρίου ( όπως στο παράδειγμα του Μάργαρη ) ή του στοιχειώδους ( particular, όπως στη δική μου κρούση ). Και τα δυο απαγορεύουν μετατροπές της ενέργειας σε ανοργάνωτες μορφές (θερμότητα )…Η διαφορά είναι ότι η μια αναφέρεται σε δυνάμεις επαφής και ελαστικότητα παραμορφώσεων ή άλλη σε δυναμική ενέργεια συντηρητικού πεδίου δυνάμεων που δρουν από απόσταση. Και μάλλον και τα δυο προϋποθέτουν δυνάμεις επί της διακέντρου των αλληλεπιδρόντων αντικειμένων…;
Ναι αν ισχύει στο σύστημα Κέντρου μάζας ισχύει σε όλα. Αλλά δεν ήθελα να αφήσω να πλανάται ως τερτίπι η επιλογή του προνομιακού συστήματος.
ΝΑΙ κι εγώ νιώθω ότι κάτι ακόμα είναι κρυμμένο στην συμμετρία που έφερε στο φως ο Μάργαρης.:
Σε ποια τάξη του Λυκείου ένας μαθητής ακούει σήμερα για την έννοια της ώθησης δύναμης;
Προς το παρόν Σταύρο δεν την ακούει. Μπορεί όμως στη μελλοντική εμβάθυνση που προβλέπεται αν δεν κάνω λάθος στο εγγύς μέλλον. Πάντως δεν έχει καθοριστική σημασία το τι ακούει ο μαθητής αλλά το αν κατακτά όλες εκείνες τις “δεξιότητες” ώστε να μπορεί να επιλύει με δημιουργικό τρόπο προβλήματα, να έχει επίγνωση των επιστημονικών διαδικασιών και αξιών.