Δύο κύματα στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσον.

Διονύση πολύ καλό!! Είσαι ”άπαιχτος”, 3 κύματα, συμβολή, στάσιμο ,τρέχοντα..  ”3 πράγματα σε συσκευασία ενός”  ΠΑΡΤΕ ΚΟΣΜΕ!!!!

Να πω ότι το κατέβασα πρώτος. Εγώ κόλλησα στο ii ερώτημα, στη χρονική στιγμή t = 0,75 βρίσκουμε πόσο έχει προχωρήσει κάθε κύμα και μετά τα συνθέτουμε σε μια γραφική?

Έχει πολύ πληροφορία Δάσκαλε, βάζεις πολύ δουλειά. Έβαλες όλα τα μηχανικά κύματα σε μια άσκηση?

Συμφωνώ με τον Πρόδρομο Διονύση. Είσαι άπαιχτος!!! Είναι πράγματι ο χαρακτηρισμός που και εμένα μου ήλθε αυθόρμητα και δεν μπορώ να μην τον γράψω. Μας λέει όμως ψέμματα ο τίτλος για δυο κύματα… εγώ θα έλεγα ότι αυτό το θέμα είναι όλα τα κύματα…

Πρόδρομε, Κώστα και Μανώλη, σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.

Η αλήθεια είναι ότι διαβάζοντας τα σχόλιά σας, προβληματίστηκα, ότι μάλλον το παράκανα:-)

Πιθανόν να μαζεύτηκαν πολλά, αλλά δεν μου ήταν εύκολο να κόψω πράγματα όταν την έγραφα…

Να πω και αυτό, να φανεί και κείνο… τελικά μάλλον έπεσε βαριά!

Είπες κι αυτό, φάνηκε και κείνο… όλα καλά μάστορα!

Εξαιρετικο Διονυση απο την αρχη μεχρι το τελος !

Εχει πολυ δουλεια βεβαια και χρειαζεται ιδιαιτερη προσοχη στην δημιουργια των εξισωσεων καθως και των περιορισμων που χρειαζονται. Ολες λοιπον οι πιθανες περιπτωσεις δοσμενες με εξαιρετικο τροπο!

Καλο θα ηταν την t2=3 sec απο (0 -> 4)m που εχουμε στασιμο και ολα τα σημεια βρισκονται στην θεση ισορροπιας να φαινονταν και η φορα κινησης των κοιλιων .Δηλ

χ=0m βελος προς τα πανω ,      χ=1m βελος προς τα κατω ,       χ=2m  βελος προς τα πανω, χ=3m βελος προς τα κατω  και  χ=4m βελος προς τα πανω.

Διονύση

Τα είπαν οι προλαλήσαντες, συμφωνώ και προσαυξάνω.

Καλησπέρα

Κώστα (Παπ) και Κώστα (Ψυλ) καλησπέρα και ευχαριστώ για το σχολιασμό.

Όσον αφορά για τη φορά κίνησης των κοιλιών θα συμφωνήσω ότι έτσι “κάνουμε” συνήθως.

Αυτό έχει καταστεί σχεδόν κανόνας, αλλά δεν συμφωνώ ότι όταν ζητάμε στιγμιότυπο, είναι υποχρεωμένος κάποιος να σημειώσει ταχύτητες, εκτός και αν του ζητηθεί…

Καλησπέρα Μανώλη.

Γράφαμε μαζί και τώρα είδα και το δικό σου σχόλιο.

Σε ευχαριστώ.

Καλησπέρα συνάδελφοι

Δεν θα συμφωνήσω με τα σχόλια σας.

Έχω την εντύπωση ότι σωστά λύνει ο Διονύσης μόνο το πρώτο ερώτημα.

Θεωρώ ότι το κύμα που δημιουργεί η Ο₁ και διαδίδεται προς τα δεξιά δεν θα περάσει δεξιά της Ο₂. Το γεγονός ότι τα σημεία Ο₁, Ο₂ είναι υποχρεωμένα να ταλαντώνονται με εξίσωση y=Aημωt δημιουργεί στα σημεία αυτά συνθήκες ανάκλασης του κύματος.

Ας γίνω λίγο πιο σαφής.

Για να μελετήσουμε τι γίνεται στο μέσο θα πρέπει να λύσουμε την κυματική εξίσωση με τις κατάλληλες αρχικές και συνοριακές συνθήκες.

Προφανώς θα πρέπει να διακρίνουμε τρεις περιοχές : x≤0 , 0≤x≤4, x≥4.

Ας πάρουμε την περιοχή x≤0

Αναζητούμε λύση της κυματικής εξίσωσης y(x,t) με συνοριακή συνθήκη y(0,t)=Aημωt και αρχικές συνθήκες y(x,0)=0 και y_t(x,0)=0.

Αυτές οι συνοριακές συνθήκες είναι ίδιες με αυτές που θα είχαμε αν δεν υπήρχε το τμήμα του μέσου δεξιά του Ο₁.

Επομένως και η λύση είναι ίδια με αυτήν που έχουμε όταν δεν υπάρχει το τμήμα που είναι δεξιά του Ο1.

Το ίδιο γίνεται και με τις υπόλοιπες περιοχές.

Τα τμήματα του μέσου ουσιαστικά δεν αλληλεπιδρούν.

Οι ταλαντωτές που έχουμε τοποθετήσει στα Ο₁ και Ο₂ δεν επιτρέπουν να μεταφερθεί η πληροφορία από το ένα τμήμα στο άλλο.

Έτσι η κατάσταση που έχουμε στο μέσο είναι η εξής:

α) Ένα κύμα διαδίδεται αριστερά της Ο₁

β)Ένα κύμα διαδίδεται δεξιά της Ο₂

γ) Μεταξύ των Ο₁ και Ο₂ γίνεται κόλαση.

Τα κύματα που δημιουργούν οι δύο πηγές πηγαινοέρχονται μεταξύ των Ο₁ και Ο₂ προσθέτοντας συνεχώς νέους όρους στην λύση.

Δεν αποκαθίσταται ποτέ στάσιμη κατάσταση.

Ένα αριθμητικό παράδειγμα που επιβεβαιώνει τα παραπάνω είναι το εξής.

Το σημείο Ο₂ (x=4) έχει εξίσωση y=0,4∙ημ2πt.

Επομένως η απομάκρυνσή του την στιγμή t=3.25s είναι 0.4ημ(6.5π)=0.4m και όχι 0,8m.

Βαγγέλη αν είναι μεγάφωνα δεν θα περάσει το κύμα;

Αν είναι σχοινί αλλάζει το θέμα.

Αν είναι το γραμμικό ελαστικό μέσο του Ηλία Καλογήρου και οι πηγές είναι δύο ηλεκτρομαγνήτες έλκουν περιοδικά τις μεταλλικές τάπες στα Ο1 και Ο2;

Αν φύγουμε από κύματα ελαστικότητας και πάμε σε μικροκύματα ή φως;

Είχα ακριβώς την ίδια ένσταση με εσένα και τη σκεφτόμουν.

Στο στάσιμο διαφοροποιούμαι από σένα.

Θεωρητικά μάλιστα (νομίζω ότι) αν τεθεί σε λειτουργία η Ο2 με καθυστέρηση τότε θα έχουμε (στην περίπτωση σχοινιού) μόνο ένα κύμα προς τα δεξιά.

Όμως αν η φύση των πηγών το επιτρέπει μάλλον λύθηκε σωστά η άσκηση.

Καλησπέρα Βαγγέλη.

Μόλις γύρισα από ένα σινεμαδάκι και διάβασα το σχόλιό σου.

Ένα πρώτο σχόλιο, σαν συνέχεια μιας παράλληλης τοποθέτησής μου σε διπλανή συζήτηση του Γιάννη.

Δίνεις συγκεκριμένες ιδιότητες στις πηγές, πράγμα που η εκφώνηση δεν στο επιτρέπει. Δεν ξέρεις τι είναι οι πηγές και τι ιδιότητες έχουν.

Εξάλλου η εκφώνηση μιλάει για δεξιά της Ο1 και μόνο.

Αναλυτικά θα απαντήσω το πρωί, αφού τέτοια ώρα….

Καλό βράδυ.

Καλημέρα Βαγγέλη.

Επανέρχομαι για επεξηγήσεις πάνω στο χθεσινοβραδινό σχόλιό σου.

Χθες βράδυ έγραψα ότι θεωρείς δεδομένες ιδιότητες των πηγών, πράγμα που δεν είναι δεδομένο. Στο ίδιο μήκος κύματος ήταν και σχόλιο του Γιάννη, λίγο πιο πάνω. Χθες εξάλλου σε συζήτηση του Γιάννη, είχα γράψει αντίστοιχο σχόλιο περιγράφοντας διαφορετικά χαρακτηριστικά πηγών. Μπορείς να το διαβάσεις εδώ.

Ας έρθουμε λοιπόν στην επιφάνεια ενός ηρεμούντος υγρού και δυο ακίδες που εκτελώντας κατακόρυφες ταλαντώσεις, δημιουργούν κύματα με λ=2m και πλάτους Α. Οι πηγές απέχουν 4m. Έστω ε η ευθεία που περιλαμβάνει τις δυο πηγές.

i) Πόσο είναι το πλάτος ταλάντωσης του σημείου O στο οποίο «κτυπά» η μια ακίδα μετά τη συμβολή;

ii) Πόσο είναι το πλάτος ταλάντωσης των σημείων Β, Γ και Δ, αν το Β είναι στο μέσο της απόστασης των δύο πηγών, (ΒΓ)=0,5m και Δ ένα τυχαίο σημείο δεξιά του Δ;
i) Νομίζω ότι θα συμφωνήσουμε όλοι ότι το σημείο Ο θα ταλαντώνεται με πλάτος 2 Α και όχι Α, παρότι η ακίδα δημιουργεί κύμα πλάτους Α.

ii) Στο μέσον Β το πλάτος θα είναι επίσης 2 Α, ενώ στο Γ είναι μηδενικό. Είναι έτσι; Θα μπορούσε κάποιος να μιλήσει για στάσιμο κύμα μεταξύ των Κ και Λ;

Δεξιά του Ο διαδίδεται κύμα με πλάτος 2 Α; Πού και πώς προκύπτει το κύμα αυτό;

Και ας έρθουμε τώρα σε ένα μακρύ νήμα, στερεωμένο στα δυο του άκρα, όπου κάπου στο μέσον του, σε σημείο Ο, έχουμε προσδέσει μια μικρή σιδερένια πλάκα, κάτω από την οποία έχουμε έναν ηλεκτρομαγνήτη.
 Αν ο ηλεκτρομαγνήτης διαρρέεται από εναλλασσόμενο ρεύμα συχνότητας f, το σημείο Ο θα λειτουργήσει ως πηγή κύματος και θα δημιουργήσει κύματα, τα οποία θα διαδοθούν και προς τις δύο κατευθύνσεις, με την ίδια συχνότητα; Νομίζω ότι δεν υπάρχει αντίρρηση.

Και αν αντί για ένα ηλεκτρομαγνήτη βάλουμε δύο όπως στο σχήμα;
Τα σημεία Ο₁ και Ο₂ θα λειτουργήσουν ως πηγές των κυμάτων που έχουν σχεδιαστεί στο παραπάνω σχήμα;

Υπάρχει κάποιος περιορισμός στο πλάτος ταλάντωσης των «πηγών» αυτών; Θα μπορούσε να είναι 2 Α ή 1,2 Α ή και μηδέν;

Αλλά αν είναι έτσι, τότε μεταξύ των σημείων Ο₁ και Ο₂ θα δημιουργηθεί στάσιμο κύμα ή όχι;

Στην ανάρτηση λοιπόν παραπάνω θεώρησα ότι θα δημιουργηθούν 3 κύματα (προφανώς θα υπάρχουν 4, αλλά δεν ασχολήθηκα για θέσεις x<0, για να μην γίνει ακόμη πολυπλοκότερη η κατάσταση) και σχεδίασα για t=0,75s το στιγμιότυπο:

Μόλις τα δυο κύματα συναντηθούν στη θέση x=2m, συμβάλουν και έχουμε την εικόνα:

Αλλά τότε το σημείο στην θέση x=2m δεν θα αρχίσει να ταλαντώνεται με πλάτος 2 Α;

Και αν πάρουμε ένα στιγμιότυπο τη στιγμή 1,25s δεν θα πάρουμε την παρακάτω κατάσταση;

Όπου τα σημεία Β και Γ έχουν μηδενική ταχύτητα και μηδενική απομάκρυνση;

Αλλά αν συμβαίνει αυτό, τότε τα υλικά σημεία στις θέσεις Β και Γ δεν θα παραμείνουν ακίνητα και στις θέσεις αυτές δεν θα έχουμε δημιουργία δεσμών στάσιμου κύματος;

Αν όμως εκεί δημιουργούνται δεσμοί, προφανώς δεν θα περάσει πλέον ενέργεια μέσω των δεσμών και τα δυο κύματα θα ανακλαστούν στα σημεία Β και Γ και θα έχουμε την κατάσταση;

Η κατάσταση αυτή θα προχωρήσει και κάποια στιγμή δεν θα έχουμε την κατάσταση;

Όπου οι κόκκινες κουκίδες δείχνουν τα σημεία που έχουμε κοιλίες με πλάτος ταλάντωσης 2 Α και οι μπλε, δεσμούς στάσιμου κύματος.

Να κλείσω, αφού νομίζω ότι αρχίζω να επαναλαμβάνομαι:

Στους δεσμούς στις θέσεις 0,5m και 3,5m θα ανακλώνται τα κύματα που δημιουργούν η Ο₁ και Ο₂ αντίστοιχα, οπότε η ενέργεια εγκλωβίζεται στην περιοχή  0,5m ≤ x ≤ 3,5m δημιουργώντας ένα στάσιμο στην περιοχή 0,m ≤ x ≤ 4m  ενώ η ενέργεια που προσφέρουν οι δυο πηγές στο μέσον διαδίδεται αριστερά της Ο₁ και δεξιά της Ο₂, όπου υπάρχουν δύο κύματα με πλάτος 2 Α, τα οποία διαδίδονται, το πρώτο προς τα αριστερά και το 2^ο προς τα δεξιά.

Καλημέρα σε όλους

Διονύση αντιγράφω από την εκφώνηση

«Σε δύο σημεία Ο₁ και Ο₂, τα οποία απέχουν απόσταση (Ο₁Ο₂)=d=4m, ενός άπειρου γραμμικού ελαστικού μέσου, υπάρχουν δυο πηγές κύματος, οι οποίες αρχίζουν να ταλαντώνονται τη στιγμή t₀=0 ταυτόχρονα, με εξίσωση απομάκρυνσης y=0,4∙ημ2πt (S.Ι.).»

Τι μπορώ να υποθέσω για τις πηγές; Ότι στην αρχή ταλαντώνονται με εξίσωση y=0,4∙ημ2πt και υπάρχει η δυνατότητα να μην ταλαντώνονται καθόλου ή να ταλαντώνονται και με πλάτος 0,8; Είδα την παραπομπή σου όσον αφορά τις διάφορες περιπτώσεις πηγών. Θα συμφωνήσεις ότι σε κάθε διαφορετική περίπτωση πηγής έχουμε και διαφορετικές συνοριακές συνθήκες και συνεπώς διαφορετική λύση. Ο δικός μου σχολιασμός αναφέρεται στην περίπτωση που οι πηγές είναι αυτό που λέει η εκφώνηση «ταλαντώνονται με εξίσωση απομάκρυνσης y=0,4∙ημ2πt.»

Πάντως θεωρώντας ως δεδομένο ότι η απομάκρυνση των σημείων Ο₁ και Ο₂ είναι δεδομένη και ίση με 0,4∙ημ2πt, νομίζω ότι το κύμα της Ο₁ κύμα δεν περνά δεξιά του Ο₂.

Γεια σου Βαγγέλη.

Αν προσέξεις το παραπάνω σχόλιό μου, που προσπάθησα να περιγράψω την εξέλιξη του φαινομένου, θα δεις ότι το κύμα της Ο₁ δεν περνά, όχι δεξιά του Ο2 (που γράφεις), αλλά δεν φτάνει πέρα από τα 2,5m, αφού εκεί θα ανακλαστεί, την πρώτη φορά.

Στη συνέχεια ανακλάται στα 1,5m για μια φορά και τελικά ανακλάται διαρκώς στο 0,5m!

Οι πηγές ταλαντεύονται με εξίσωση…. ή προκαλούν ταλάντωση με εξίσωση…. ;;

Είναι περίεργο θέμα.

Η πηγή εδώ ταλαντεύεται οριζόντια προκαλώντας κύματα εγκάρσια. Το πλάτος ταλάντωσης της πηγής είναι 5cm αλλά προκαλεί κύμα μισού μέτρου.

Αν τα Ο1 και Ο2 είναι κολλημένα σε έμβολα που ανεβοκατεβαίνουν τότε εγώ βλέπω ένα κύμα δεξιά και ένα στάσιμο ανάμεσα. Με το κύμα αριστερά του Ο2 δεν ασχολούμαστε.

Αν είναι έτσι τότε στο κυρίως κείμενο θα πρέπει να γίνει διόρθωση του στιγμιότυπου τις στιγμές 3s και 3.25s.

Δεξιά του Ο2 υπάρχει μόνο ένα κύμα πλάτους Α.

Όχι Βαγγέλη.

Το κύμα που ξεκινά από την Ο2 και κινείται προς τα αριστερά, θα ανακλαστεί στον δεσμό στη θέση 3,5m για t>1,75s  και θα διαδοθεί προς τα δεξιά.

Αποτέλεσμα:

Μετά τα 2s, προς τα δεξιά θα έχουμε δύο τρέχοντα κύματα.

Ένα απευθείας από την πηγή Ο2 και ένα μετά από ανάκλαση στον παραπάνω δεσμό.

Η συμβολή των δύο αυτών κυμάτων, δίνει ένα νέο τρέχον κύμα με πλάτος 2Α.

Γιάννη το ερώτημα:

“Οι πηγές ταλαντεύονται με εξίσωση…. ή προκαλούν ταλάντωση με εξίσωση…. ;;”

είναι ένα καλό ερώτημα προβληματισμού. Προσωπικά επέλεξα την πρώτη διατύπωση, αλλά ίσως η δεύτερη να εκφράζει ορθότερα αυτό που υποννοούσα..

Νομίζω ότι η φράση “Οι πηγές ταλαντεύονται με εξίσωση …” είναι κενή περιεχομένου αν δεν συσχετιστεί η εξίσωση ταλάντωσης των πηγών με τις συνέπειές της στα σημεία του μέσου.

Ακριβώς επειδή υπάρχουν  πολλαπλοί τρόποι σύζευξης, οδηγούντες σε διαφορετικά αποτελέσματα, θα πρέπει να είμαστε σαφείς.

Επιμένω ότι αν στα Ο1 και Ο2 υπάρχει ένας ταλαντωτής ο οποίος επιβάλει στα σημεία αυτά κίνηση με εξίσωση y=Aημ(ωt) τότε δεξιά της Ο2 υπάρχει μόνο ένα κύμα πλάτους Α.

Βαγγέλη, πώς εννοείς το “επιβάλει” η πηγή το πλάτος Α στο παράδειγμα της εικόνας;

Διονύση στο παράδειγμα της εικόνας ειλικρινά δεν ξέρω τι να γράψω για την εξίσωση κίνησης των Ο1 και Ο2. Προσωπικά στην διάταξη της εικόνας δεν ξέρω τι συνοριακές συνθήκες να επιβάλλω.

Δεν ξέρω πως αλληλεπιδρά ο ηλεκτρομαγνήτης με το λαμάκι στο Ο2.

Υποψιάζομαι ότι στο λαμάκι ασκείται δύναμη Fοημ(ωt) και πιθανώς να μην έχει νόημα η φράση ταλαντώνεται με εξίσωση Αημ(ωt).

Εσύ έχεις κάποια άποψη επί του θέματος;

Βαγγέλη, η εικόνα που παραπάνω έδωσα, μπορείς να την φανταστείς ότι σε δύο σημεία του νήματος έχουν δεθεί δυο λαμάκια, όπου είναι μόνιμοι μαγνήτες, με βόρειο πόλο την προς τα κάτω επιφάνεια, αυτή που είναι απέναντι στον πυρήνα  του ηλεκτρομαγνήτη.

Θα μπορούσα να πω ότι έχω δέσει έναν μικρό μαγνήτη, αλλά θα μου έλεγες ότι μπορεί να αναποδογυριστεί:-)

Στη διάταξη λοιπόν αυτή δεν έχεις να επιβάλεις συνοριακές συνθήκες, αφού δεν υπάρχουν σύνορα, παρά τα άκρα του νήματος, το οποίο είναι πολύ μακρύ και μεις συζητάμε την κατάσταση πριν τα κύματα φτάσουν στους δυο τοίχους,

Αλλά προς άρση της παρανόησης, αναδιατύπωσα την εκφώνηση, μιλώντας για τα κύματα που δημιουργούνται και όχι για την ταλάντωση των πηγών.

Διονύση αν τα σημεία Ο1 και Ο2 του νήματος αλληλεπιδρούν με κάποιο τρόπο με το περιβάλλον του, τότε αυτή η αλληλεπίδραση δεν νομίζεις ότι κάπως πρέπει να ληφθεί υπόψιν κατά την επίλυση του προβλήματος; Τα σημεία Ο1 και Ο2 δεν ταλαντώνονται μόνο υπό την επίδραση των δυνάμεων που ασκεί το γειτονικό νήμα αλλά και υπό την επίδραση που ασκεί ο ηλεκτρομαγνήτης.

Βαγγέλη δεν μου είναι καθόλου εύκολο να γράψω εξίσωση για τη δύναμη που ασκεί ο ηλεκτρομαγνήτης στο λαμάκι που έβαλα και πώς αυτή θα μεταβληθεί τη στιγμή που φτάνει το δεύτερο κύμα. Αλλά αυτό δεν με κάνει να αμφιβάλλω για το αποτέλεσμα.

Θα μου πεις βέβαια, (και μπορεί να έχεις δίκιο από τη μεριά σου) ότι έτσι δεν μπορείς να το δεχτείς.

Αλλά μπορώ να υποστηρίξω ότι η κατάσταση είναι όμοια με τα κύματα στην επιφανειακή συμβολή, που ανέφερα και σε προηγούμενο σχόλιό μου. Το ξαναφέρνω για να  δούμε αν κάπου κάνω λάθος:

«Ας έρθουμε λοιπόν στην επιφάνεια ενός ηρεμούντος υγρού και δυο ακίδες που εκτελώντας κατακόρυφες ταλαντώσεις, δημιουργούν κύματα με λ=2m και πλάτους Α. Οι πηγές απέχουν 4m. Έστω ε η ευθεία που περιλαμβάνει τις δυο πηγές.

i) Πόσο είναι το πλάτος ταλάντωσης του σημείου O στο οποίο «κτυπά» η μια ακίδα μετά τη συμβολή;

ii) Πόσο είναι το πλάτος ταλάντωσης των σημείων Β, Γ και Δ, αν το Β είναι στο μέσο της απόστασης των δύο πηγών, (ΒΓ)=0,5m και Δ ένα τυχαίο σημείο δεξιά του Δ;

i) Νομίζω ότι θα συμφωνήσουμε όλοι ότι το σημείο Ο θα ταλαντώνεται με πλάτος 2 Α και όχι Α, παρότι η ακίδα δημιουργεί κύμα πλάτους Α.

ii) Στο μέσον Β το πλάτος θα είναι επίσης 2 Α, ενώ στο Γ είναι μηδενικό. Είναι έτσι; Θα μπορούσε κάποιος να μιλήσει για στάσιμο κύμα μεταξύ των Κ και Λ;

Δεξιά του Ο διαδίδεται κύμα με πλάτος 2 Α; Πού και πώς προκύπτει το κύμα αυτό;»

Και θα σε ρωτήσω Βαγγέλη. Στο σημείο Δ έχουμε πλάτος ταλάντωσης 2 Α ή όχι;

Δεξιά του Ο διαδίδεται κύμα με πλάτος 2 Α; Αν ναι, τι συνέβη με τη πηγή Ο; Πώς η παρουσία του πρώτου κύματος επέδρασε στην συμπεριφορά της πηγής και στη δύναμη που άσκησε στο νερό;

Ας δώσω και δεύτερο παράδειγμα.

Έστω ότι έχω ένα μεγάφωνο που πάλλεται μπροστά από έναν κατακόρυφο τοίχο, παράγοντας ήχο, ο οποίος θα ανακλαστεί και θα επιστρέψει.

Όταν λέμε ότι το τύμπανο ταλαντώνεται εννοούμε ότι δημιουργεί πυκνώματα και αραιώματα, συνεπώς τοπικά η πίεση αξομειώνεται κατά Δp. Όταν σε κάποιο σημείο λέμε ότι έχουμε δεσμό εννοούμε ότι, αν εξαιτίας του κύματος που διαδίδεται προς τα δεξιά φτάνει ένα πύκνωμα με αυξημένη πίεση κατά Δp, εξαιτίας του κύματος προς τα αριστερά φτάνει αραίωμα με μειωμένη πίεση κατά Δp, με αποτέλεσμα να μην έχουμε στο σημείο αυτό ούτε υπερπίεση ούτε υποπίεση.

Αν λοιπόν, τη στιγμή που στο σημείο Σ, (ένα σημείο πολύ κοντά στο τύμπανο), το τύμπανο δημιουργεί πύκνωμα, έρθει εξαιτίας του κύματος προς τα αριστερά ένα αραίωμα, πόση θα είναι η Δp το Σ; Δεν θα είναι μηδέν; Δεν θα έχουμε στο σημείο αυτό δεσμό;

Και αν έρθει πύκνωμα, η υπερπίεση δεν θα είναι 2Δp; Δεν θα έχουμε κοιλία;

Και αν πάρουμε τώρα ένα σημείο Μ αριστερά του τυμπάνου, δεν θα φτάνουν δύο κύματα, ένα απευθείας από το τύμπανο και ένα μετά από ανάκλαση. Η πίεση στο σημείο Μ, δεν θα μεταβάλλεται μεταξύ των τιμών p_ο+2Δp και p_ο-2Δp;

Γιατί ντε και καλά, θα πρέπει στη θέση της πηγής να έχεις μια συγκεκριμένη κατάσταση (δεσμό ή κοιλία ή μεταβολή πίεσης μόνο Δp) και γιατί στο Μ θα υπάρχει μόνο ένα κύμα, αφού η παρουσία της πηγής απαγορεύει στον ήχο να διαδοθεί αριστερά;

Η περίπτωση μπερδεύεται αν προτάσσουμε το μαθηματικό μοντέλο έναντι του φυσικού συστήματος. Και ο Διονύσης επαληθεύεται και ο Βαγγέλης ανάλογα την περίπτωση.

Ας δούμε δύο περιπτώσεις:

Τα έμβολα ανεβοκατεβαίνουν με πλάτη 4cm προκαλώντας κύματα ύψους 40cm.

Αυτό φυσικά αν το καθένα δρα μόνο του.

Δρώντας μαζί φτιάχνονται δύο κύματα από το Ο₁ και δύο από το Ο₂.

Αυτά συμβάλλουν παντού. Έχουμε τρέχον κύμα δεξιά του Ο₂.

Τρέχον κύμα αριστερά του Ο₁ με το οποίο δεν ασχολούμαστε.

Έχουμε στάσιμο ανάμεσα όποια και να είναι η απόσταση.

Λέγοντας στάσιμο μάλλον εννοούμε συμβολή δύο κυμάτων που διαδίδονται αντίθετα και μας δίνουν y=0,8.συνκ.x.ημωt.

Κινηματικός περιορισμός δεν υπάρχει διότι πάνω από το αριστερό έμβολο μπορεί να δημιουργηθεί ακόμα και δεσμός άσχετα με το αν το έμβολο ανεβοκατεβαίνει.

Καλά κάνει αλλά το νερό του δεν κινείται. Θα εκινείτο αν ήταν μόνο του αλλά τώρα δεν κινείται. Στο παράδειγμα του Διονύση κοιλία έχουμε πλάτους 80cm.

Περίπτωση που δικαιώνει τον Βαγγέλη:

Κινηματικοί περιορισμοί στα Ο₁ και Ο₂. Κινούνται εν φάση απέχοντας ακέραιο πολλαπλάσιο του λ. Το κύμα από το Ο₁ δεν περνάει δεξιά του Ο₂.

Μεταξύ τους στήνεται στάσιμο με τεράστιο πλάτος κοιλιών.

Έξω από τις πηγές τρέχοντα κύματα πλάτους 40cm.

Διονύση θα διαφωνήσω κατηγορηματικά με την επιχειρηματολογία που αφορά στην επιφανειακή συμβολή. Ξέρουμε και οι δύο ότι στην επιφάνεια υγρού με σημειακές πηγές κύματα πλάτους Α δεν υφίστανται.

Στο μόνο που θα συμφωνήσω είναι ότι παρά το γεγονός ότι οι ακίδες ταλαντώνονται με εξίσωση Αημ(ωt) το τμήμα του υγρού που είναι από κάτω τους δεν είναι υποχρεωμένο να κινείται με την ίδια εξίσωση. Πάντως σε αυτά τα σημεία έχουμε επιπλέον συνθήκες που δεν τις έχουμε στα υπόλοιπα (ποιες είναι άραγε;).

Στο παράδειγμα με το ηχείο έχω την εντύπωση ότι για αποστάσεις του ηχείου από τον τοίχο συγκρίσιμες με τις διαστάσεις του ηχείου και στο κεντρικό τμήμα της περιοχής μεταξύ τοίχου ηχείου δημιουργείται επίπεδο κύμα ( η ισοφασική επιφάνεια είναι επίπεδο παράλληλο με τον τοίχο). Αυτό προσομοιάζει με γραμμικό ελαστικό μέσο. Επειδή το τύμπανο χωρίζει τον αέρα σε δύο μέρη θεωρώ ότι το κύμα από ανάκλαση δεν θα φτάσει πίσω από το τύμπανο.

Γιάννη η κατάσταση στα δύο σχήματα παραπάνω είναι ριζικά διαφορετική.

Στην μια περίπτωση έχεις να λύσεις την κυματική εξίσωση σε δύο διαστάσεις και στην άλλη σε μια.

Στην δεύτερη η συνάρτηση ημ(ωt)συν(κχ) είναι λύση στην πρώτη όχι.

Βαγγέλη νομίζω μεταθέτεις το πρόβλημα, μιλώντας για το πλάτος του κύματος και την μείωσή του στην επιφάνεια του υγρού.

Ωραία στο σημείο Δ εξαιτίας της πηγής Ο θα έφτανε κύμα με πλάτος 0,6Α.

Ερώτηση: Τόσο είναι μόνο το πλάτος στο Δ; Ή είναι μεγαλύτερο εξαιτίας και του άλλο κύματος;

Όσον αφορά το ηχείο, πάρε το σημείο Μ ελαφρά μετατοπισμένο:-) ή πάρε την πηγή απειροελάχιστου εμβαδού, ώστε να μην το κρύβει…

Βαγγέλη μια διάσταση έβαλα. Μακριά δεξαμενή κυματισμών.

Γιατί δύο διαστάσεις;

Δες προηγούμενη φωτογραφία.

Παρέλειψα, είναι η αλήθεια, να αναφέρω ότι η δεξαμενή είναι στενή. Ούτε δυο μέτρα.

Τα έμβολα έχουν ίδιο πλάτος και είναι λίγο κάτω από την επιφάνεια.

Κύματα σε μία διάσταση.

Γιάννη μετά την διευκρίνιση για τα έμβολα συμφωνώ.

Διονύση θα συμφωνήσω ότι στην επιφάνεια του υγρού πίσω από την δεύτερη πηγή θα φτάσει και το κύμα της πρώτης. Δεν θα είναι η (απαράδεκτη) κατάσταση που διδάσκουμε αλλά θα έχουμε συμβολή. Αυτό το επιτρέπουν οι δύο διαστάσεις του μέσου. Ένα σημείο στην επιφάνεια ενός υγρού δεν αποτελεί σύνορο. Αποτελεί όμως σύνορο σε μια χορδή.

Η επιφάνεια του υγρού σαφώς δυσκολεύει σε επίπεδο μαθηματικών τα πράγματα αλλά επιτρέπει πράγματα που δεν επιτρέπονται σε ένα γραμμικό μέσο.