by Στ
ο σχήμα παριστάνεται ένας ελαστικός σωλήνας (σιφόνι), τον οποίο μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για τη μετάγγιση νερού από το δοχείο Δ1 στο δοχείο Δ2. Τα σημεία 2,3,5,6 βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο (επίπεδο αναφοράς). Κάποια χρονική στιγμή το ύψος του νερού στα δυο δοχεία είναι h1 και h2 ενώ το ανώτερο σημείο 4 του σωλήνα μετάγγισης βρίσκεται σε ύψος h από το οριζόντιο επίπεδο αναφοράς. Τότε:α) Να συγκρίνετε τις πιέσεις P2 και P3, P5 και P6, P3 και P5
β) Να υπολογιστεί η ταχύτητα ροής του σωλήνα μέσα στο σωλήνα
γ) Να υπολογιστεί η πίεση P4 στην κορυφή του σωλήνα.
Απο την αναλυση του προβληματος κομβικο σημειο στην ευρεση της ταχυτητας , η οποια θα λυσει το ολο θεμα , ειναι η γνωση της πιεσης στο 4 η οποια θα πρεπει να ειναι μικροτερη της P3 και κατα συνεπεια μικροτερη της Patm= 100 kPa . Επισης μπορει κανεις στο πειραμα να μετρησει τα υψη .
Εχουμε λοιπον τα εξης : P4 = 0.5Patm , h1=2h2 , h=3h1 , h2=5cm.
1==>4 (Bern.) : Patm + ρgh1= P4 + 0.5ρυ^2 + ρgh => 0.5ρυ^2 = 0.5Patm – 2ρgh1=>
υ = 4sqrt6 m/s
P2 = Patm + ρgh1 => P2 = 101 kPa
1==>3 (Bern.) : P3 = P2 – 0.5ρυ^2 => P3 = 53 kPa
1==>5 (Bern.) : Patm + ρgh1 = P5 + 0.5ρυ^2 => P5 = P2 – 0.5ρυ^2 => P5 = 53 kPa
(Αναμενομενο αν καναμε 3==>5 (Bern.) ==> P3 = P5 )
Τελος P6 = Patm + ρgh2 => P6 = 100.5 kPa
Επομενως εχουμε αποτελεσματα που ειναι πιο κοντα στην πραγματικοτητα
P2 = 101 kPa > P3 = 53 kPa και P6 = 100.5 kPa > P5 = 53 kPa
Ένας έλεγχος του αποτελέσματος χωρίς Μπερνουλιές:
Θα συμφωνήσουμε όλοι ότι P3=P5.
Τούτο διότι μια μαζούλα ξεκινάει από το 3 και πάει στο 5 έχοντας ίδια κινητική ενέργεια και ίδια δυναμική ενέργεια.
Επομένως δεν έχει παραχθεί επ’ αυτής έργο.
Συνεπώς βρέθηκε σε περιβάλλον ίδιας πίεσης.
Θα συμφωνήσουμε επίσης ότι P2=ρ.g.h1 και ότι P6=ρ.g.h2.
Σε αντίθετη περίπτωση να μην προχωρήσω ακόμα.
Μια επιπλεον διερευνηση
1==>5 (Bern.) : Patm + ρgh1 = P5 + 0.5ρυ^2 => P5 = Patm + ρgh1 – 0.5ρυ^2 (1)
P6 = Patm + ρgh2 (2)
1==>4 (Bern.) : Patm + ρgh1= P4 + 0.5ρυ^2 + ρgh => ρgh1 – 0.5ρυ^2 = P4 – Patm + ρgh (3)
(1) μεσω της (3) => P5 = P4 + ρgh (4)
Αν δεχθουμε οτι P5 = P6 τοτε απο την (2) και (4) ==> Patm – P4 = ρg (h-h2) δεδομενου οτι τα υψη ειναι αυτα που αναφερα πριν θα εχουμε
Patm – P4 = 5ρgh2 => P4 = 97.5 kPa και απο την (3) => υ=1m/s
στην συνεχεια η P2 = Patm + ρgh1 => P2 = 101 kPa
η P3 = P2 – 0.5ρυ^2 => P3 = 100.5 kPa = P5 και φυσικα εφοσον το υποθεσαμε θα βγει και η πιεση στο 6 ιση με την πιεση στο 5 δηλ P6 = Patm + ρgh2 => P6 = 100.5 kPa
Αυτην την επιπλεον διερευνηση την εκανα μετα απο μια συζητηση – προβληματισμο που ειχαμε με τον Μιχαηλ !
Καλησπέρα Κώστα.
Γράφεις:
“Αν δεχθούμε οτι P5 = P6 ”
Προφανώς αν δεχτούμε ότι α=5, θα βρούμε α=5!!!
Γιάννη, προφανώς θέλεις να πεις ότι p2=patm+ρgh1.
Θα το δεχθώ, με την προϋπόθεση, ότι είναι μια προσέγγιση και όχι η ακριβής τιμή.
Το νερό στα δοχεία δεν είναι σε ισορροπία.
Διονύση έφαγα την ατμοσφαιρική.
Πρόσεξε όμως τα δύο δοχεία δεν είναι στην ίδια κατάσταση.
Στο δεξί υπάρχουν περιδινήσεις. Στο αριστερό Τα περισσότερα τμήματα είναι ακίνητα.
Όμως δέχεσαι την ταχύτητα που υπολόγισα;
Αν όχι μην προχωρήσω ακόμα.
Δεν ξέρω Γιάννη, αν το ιδανικό ρευστό κάνει περιδινήσεις.
Διονυση προφανως και εχεις δικιο !!!
Ομως θελησα να δω η αναλυση και ο συσχετισμος των τυπων που με οδηγει . Καναμε μια σειρα απο συσχετισμους δεδομενων με σκοπο να πλησιασει η P5 την P6.
Σιγουρα ομως το ποιο ασφαλες θεωρω οτι ειναι το παραπανω που εχω κανει με τα δεδομενα που εχω δωσει οπου εκει βγαινει το P6 > P5.
Ειδα και την αναλυση του Γιαννη η οποια εχει ενδιαφερον και καταληγει σε ενα τυπο για την ταχυτητα ιδιο με του Μιχαηλ. Αρα λογικο ειναι να το βγουν οι πιεσεις στο 5 και 6 ισες !
Εχω ομως τον εξης προβληματισμο : αν δεν ειχαμε το δευτερο δοχειο και στο 5 ειχαμε εκροη στην ατμοσφαιρα τοτε θα ειχε πιεση ιση με Pατμ . Τοση ομως θα ηταν προφανως και η πιεση στο 6 . Τι αλλαζει τωρα ; Η εκροη γινεται μεσα στο υγρο επομενως , εκτιμω , οτι θα πρεπει να υπαρχει αυτη η διαφορα πιεσης P6 > P5 ωστε το υγρο να επιβραδυνθει οσο πιο αμεσα γινεται . Κατι που στην εκροη στο αερα δεν συμβαινει γιατι το νερο θα κινηθει κανοντας μια κατακορυφη βολη προς τα κατω αρα ειναι λογικο η P6=Patm.
Πως την βλεπεις αυτη την αναλυση ;
Ας ελεγχθεί η παρακάτω πορεία.
Δεν αναμιγνύω ούτε Μπερνούλι , ούτε ροϊκές γραμμές. Μόνο ενέργεια:
Έστω ότι η πίεση στο 6 ήταν μεγαλύτερη από αυτήν στο 5.
Τότε η μαζούλα μας, πηγαίνοντας από το 5 στο 6, θα δεχόταν αρνητικό έργο και θα επιβραδυνόταν.
Τι θα γινόταν η κινητική της ενέργεια αν όχι αύξηση της κινητικής ενέργειας του υγρού του δεξιού δοχείου;
Αν πάλι θεωρήσουμε ότι γίνεται θερμική ενέργεια, τότε δεν μιλάμε για ιδανικό ρευστό.
Στο δεξί δοχείο όταν θα πάψει η ροή θα έχουμε είτε θερμική ενέργεια, είτε κινητική ενέργεια υγρού.
Δεν μπορεί να έχουμε κάτι άλλο από τα δύο προηγούμενα ενδεχόμενα.
Μια κινητική ενέργεια που δεν σχετίζεται με την άνοδο της στάθμης του νερού , η οποία παύει την στιγμή της εξίσωσης των υψών.
Πέφτουν πολλά και γρήγορα.
Το άφησα λοιπόν και πήγα στο φόρουμ, να αλλάξω σκέψη….
Κώστα δεν ξέρω τι απάντηση πρέπει να δώσω, στο ερώτημά σου! Πιθανόν να έχεις δίκιο.
Γιάννη, στο σχόλιο αυτό, κάνεις δύο παραδοχές:
1) η πίεση στο σημείο 2 είναι αυτή που δίνει η ισορροπία.
2) η ταχύτητα του νερού είναι μηδενική.
Έτσι δέχεσαι ότι εξαιτίας της διαφοράς πίεσης μεταξύ 2 και 3 το νερό αποκτά την τελική του ταχύτητα στο στενό σωλήνα.
Στο τελευταίο σου σχόλιο, μου φαίνεται ότι αναιρείς τα περί περιδίνησης.
Και μάλιστα το "αποδεικνύεις", αφού αν πάρουμε την αρχική ενέργεια του νερού και την τελική, μόλις εξισωθούν τα ύψη, δεν έχουμε κάποια απώλεια ενέργειας που να έχει γίνει θερμική.
Διονύση δεν αναιρώ. Αντίθετα ενισχύω.
Όταν πάψει η ροή το νερό του αριστερού δοχείου είναι ακίνητο.
Του δεξιού όμως ή θα κινείται ή θα έχει θερμανθεί.
Θέλουμε ιδανικό υγρό, επομένως όχι θερμάνσεις.
Τότε το νερό έχει μια κινητική ενέργεια ίση με την μεταβολή της δυναμικής ενέργειας του συστήματος.
Αν δεν έγινε κινητική ενέργεια ούτε θερμική τι έγινε; Ακτινοβολήθηκε;
Οπότε ή μιλάμε για πραγματικό υγρό ή για υγρό του οποίου ενώ δεν ανεβαίνει η στάθμη, έχει κινητική ενέργεια. Πως όμως;
Φλέβες νερού διασχίζουν μάζα νερού που είναι ακίνητη ή έχει άλλες ταχύτητες. Ονόμασα την κατάσταση "περιδινήσεις".
Ας την πούμε όπως θέλουμε.
Όμως τι έγινε η κινητική ενέργεια;
Χάθηκε;
Για τον λόγο αυτόν η σχέση των σημείων 2 και 3 είναι διαφορετική από εκείνη των 5 και 6.
Το θέμα όμως είναι , αν έχω κάνει λάθος σε κάτι απ' όσα είπα, να το βρούμε.
Διότι αν η ταχύτητα είναι ρίζα(2gh1-2gh2) τότε οι πιέσεις στα 5 και 6 είναι ίσες.
Αν έχω κάνει λάθος, τότε η ταχύτητα εκροής είναι άλλη. Ποια είναι;
Να το πω αλλιώς:
Το σημείο 2 είναι ένα σημείο του επιπέδου στο οποίο το νερό είναι ακίνητο. Υπάρχει;
Πιστεύω ότι υπάρχει τέτοιο.
Ποιο είναι το 6; Είναι σημείο του επιπέδου ακίνητο; Υπάρχει ακίνητο νερό στο δεξί δοχείο;
Υπάρχει μόνο αν το νερό θερμανθεί. Αν είναι ιδανικό υγρό τότε οι μάζες νερού που χύθηκαν στο δεξί δοχείο μεταβίβασαν στο νερό την κινητική τους ενέργεια.
Έστω ότι υπάρχει ακίνητο σημείο 6 και μια φλέβα νερού περνάει από κάτω του. Θα έχει άλλη πίεση το νερό στην φλέβα απ' ότι στο 6;
Εν πάση περιπτώσει, αλάνθαστος ουδέποτε υπήρξα αλλά ποια είναι η ταχύτητα εκροής;
Είναι ανάλογη της διαφοράς τω υψών;
Πως είναι;
Γιάννη, μην μου ζητάς αποδείξεις:
Αντιρρήσεις έχω μόνο!
Πάμε λοιπόν σε αυτά που είπες.