by 
Οι μαθητές να παρακάμψουν την παρούσα ανάρτηση.
Τα δυο δοχεία του σχήματος έχουν διατομές 2Α και Α.
Το νερό έχει βάθος 2h στο αριστερό και h στο δεξιό δοχείο.
Ο σωλήνας σύνδεσης έχει διατομή S.
Ανοίγουμε τη βρύση και εισρέει νερό από το αριστερό στο δεξί δοχείο.
Ποιος είναι, ελάχιστο χρόνο μετά, οι ταχύτητες των δύο επιφανειών;
Δίδονται δύο λύσεις.
Καλησπέρα Γιάννη
Μερικές σκέψεις αφού δεν αποτολμά άλλος
Αν S πολύ μικρότερο Α
Ασφαλώς η τρίτη θα δώσει αποτέσμα αρκετά κοντά στην πραγματικότητα
(Σιγά μην πεταχτούν τα μόρια του νερού στην ρευματική γραμμή σου σαν συντριβάνι με ταχύτητα sqrt(8/3gh) πάνω από την ελεύθερη στάθμη )
Βέβαια η διαφορά πιέσεων στα άκρα του σωλήνα δεν είναι διαφορά υδροστατικων μόνο ( ούτε και ατμοσφαιρικών ) αλλά επειδή η ταχύτητα στα δυο άκρα είναι ίδια ( σταθερή διατομή σωλήνα ) άρα οι όροι 0.5ρ(v^2) απλοποιούνται και το αποτέλεσμα είναι και πάλι για την διαφορά πιέσεων ρgh …
Για τις δυο πρωτες εκδοχές νομίζω δεν είναι σωστή η επιλογή ρευματικής γραμμής από Α σε Β … ( ας πούμε ότι έχω μικρούς όρους ταχυτήτων και σχετικά με αυτούς μεγάλους όρους επιταχύνσεων που αγνοήθηκαν. Αντίθετα στον σωλήνα σου ο όρος της ταχύτητας είναι μεγάλος και δεν υπάρχει επιτάχυνση.)
Αυτά σκέφτομαι αλλά ίσως κάνω λάθος
Γεια σου Μήτσο.
Η απόδειξη υπάρχει εδώ:
Βαρέλια και σιφώνια
Δεν θα δώσει απλώς αποτελέσματα κοντά στην πραγματικότητα, αλλά ακριβή.
Προφανώς οι ταχύτητες είναι εξωφρενικές. Θα άδειαζε πισίνα σε 10 δευτερόλεπτα με αυτές.
Ο στόχος της άσκησης είναι "τρομοκρατικός" .
Οι επιταχύνσεις είναι μικρές και το λάθος δεν νομίζω ότι είναι εκεί.
Γιατί μια μαζούλα να έχει ίδια ταχύτητα με όλη την επιφάνεια;
Βλέπουμε χρήση Μπερνούλι σε ασκήσεις αυθαίρετα. Κάποιες φορές βγαίνει και καλή προσέγγιση.
Εδώ ήθελα μία εξωφρενική ταχύτητα.
Τι θα συνέβαινε αν το δοχείο αδειάζει και ο σωλήνας εξόδου φαρδύνει;
Για να μην μείνει μισοάδειος τον κάμπτουμε προς τα πάνω ελαφρώς.
Πάλι Τορικέλι θα πάρουμε;
Βλέποντας τέτοια συμπτώματα θέτω το παρόν πρόβλημα.
Καλησπέρα Γιάννη και Μήτσο.
Εγώ πάλι, γιατί βλέπω δύο λύσεις και όχι τρεις;
Οι δύο πρώτες δεν είναι μία;
Τέτοια ώρα βέβαια δεν είμαι για σοβαρές σκέψεις, αλλά μπορεί η ταχύτητα που κατέρχεται η μια επιφάνεια (και ανέρχεται η άλλη) να είναι ανεξάρτητη της διατομής του σωλήνα, μέσω του οποίου επικοινωνούν τα δύο δοχεία;
Οπότε γ)!
Ναι Διονύση έχεις δίκιο στην συντόμευση της σκέψης .
Γιάννη οι επιταχύνσεις της ελεύθερης επιφάνειας είναι μικρές … αλλά λίγο πριν και λίγο μετά από τον σωλήνα σου ;;
Εκτός αν εννοείς ότιτο ενδιάμεσο δεν έχει σημασία.
Φυσικά είναι μία αφού εξισώνονται τα πρώτα μέλη.
Όμως πως λύθηκε η άσκηση στον διαγωνισμό;
Αυτή με λόγο διατομών 1 προς 3.
Και έβγαλε και καλό προσεγγιστικά αποτέλεσμα.
Η επιτυχία της λύσης μας ωθεί να κάνουμε ακριβώς το ίδιο, τη στιγμή μάλιστα που εδώ η ροή δεν έχει σοβαρές επιταχύνσεις που απαιτούν τον γενικευμένο νόμο Μπερνούλι.
Αφού δουλεύει στη μία να δουλέψει και στην άλλη ο Μπερνούλης.
Δεν δουλεύει!
Ούτε εκεί δούλευε….
Μήτσο πάρε μια στιγμή δύο λεπτά μετά το άνοιγμα της βρύσης, όταν τα ύψη είναι h και 2h και οι επιταχύνσεις ένα πολύ μικρό κλάσμα του g. Αυτές που αποτυπώνονται στα διαγράμματα παροχής-χρόνου.
(4 ασκήσεις με δεξαμενές βρύσες νερά)
Πάρε την απόδειξη που έχω στα σιφώνια. Είναι τόσες οι ταχύτητες και όχι προσεγγιστικά.
Πλησιάζουμε με ακρίβεια 5ου δεκαδικού ψηφίου (τουλάχιστον)
Και προσπαθώντας να "δω" πού γίνεται το λάθος, νομίζω ότι το είπε ο Μήτσος:
"Γιάννη οι επιταχύνσεις της ελεύθερης επιφάνειας είναι μικρές … αλλά λίγο πριν και λίγο μετά από τον σωλήνα σου ;"
Οι ταχύτητες των επιφανειών είναι μικρές, συνεπώς και στα δύο δοχεία έχουμε πολύ μικρές ταχύτητες, Αλλά στο σωλήνα οι ταχύτητες αντίθετα είναι μεγάλες. Συνεπώς;
Γενικευμένη εξίσωση, αφού δεν έχουμε και μόνιμη ροή!
Διονύση ας πάρουμε γενικευμένη μορφή.
Το ολοκλήρωμα της επιτάχυνσης κατά μήκος της διαδρομής είναι μικρό διότι ο σωλήνας είναι μικρός.
Δεν με εμποδίζει κανείς να βάλω σωλήνα μήκος 1cm και h=4m.
Πόση θέλεις να είναι η επιτάχυνση στον σωλήνα;
Ας είναι 10g. Το ολοκλήρωμα είναι ασήμαντο. Φυσικά δεν είναι 10g. Είναι σημαντικά μικρότερη από g οπότε το ολοκλήρωμα παίζει στο … δεκαδικό ψηφίο.
Επίσης η παροχή και συνεπώς οι ταχύτητες δεν επηρεάζονται από το μήκος του σωλήνα αν το υγρό είναι ιδανικό.
Ούτε επηρεάζονται αν έχουμε νερό και σωλήνα δύο ιντσών που συνδέει πισίνες.
Εκεί θα έχουμε ίδιες παροχές είτε ο σωλήνας είναι 10 πόντων είτε είναι 40 πόντων.
Σε αντίθετη περίπτωση θα φαινόταν στην απόδειξη.
Ας πάρουμε μια μαζούλα κοντά στον πάτο του αριστερού δοχείου.
Την βουτάει ο σωλήνας και την οδηγεί σε περιβάλλον άλλης πίεσης. Το γινόμενο "διαφορά πίεσης επί όγκο" είναι το έργο που παρήχθη επ' αυτής. Αυτό γίνεται κινητική ενέργεια της μαζούλας.
Τα παραπάνω οδηγούν εύκολα στο υ=ρίζα(2g.h).
Αυτά θα μας δίνανε σωστά γραμμένο τον νόμο Μπερνούλι και όχι στην γενικευμένη του μορφή, αλλά στην κλασική.
Γιάννη δεν σε προλαβαίνω.
Το ολοκλήρωμα δεν πρεπει να περιοριστεί μόνο στο μήκος του σωλήνα αλλά πολύ πριν και μετά από αυτόν.
Οι επιταχύνσεις είναι μικρότερες από g ( και δεν σχετίζονται μόνο με την μεταβολή του μέτρου αλλά και της κατεύθυνσης της ταχύτητας ) ωστόσο έχουν σημαντικό αποτέλεσμα … Το έχεις γράψει και εσύ : στα τοιχώματα των δεξαμενών απέναντι ακριβώς από την είσοδο και έξοδο του σωλήνα οι ταχύτητες είναι πρακτικά μηδέν …
Όχι περιορίζεται στο μήκος του σωλήνα. Πολλαπλασιάζουμε το θυ/θt με το ds.
Το θυ/θt έχει γελοία τιμή εκτός σωλήνα, τον οποίο μπορώ και να μηδενίσω συγκολλώντας οπές.
Πάρε νόμο Μπερνούλι όπως χρησιμοποιείται στην απόδειξη του θεωρήματος Τορικέλι.
Εκεί δεν επικλείσαι μη μονιμότητα της ροής ούτε επιταχύνσεις. Λες ότι μια μαζούλα οδηγείται σε μειωμένη κατά ρ.g.h .πίεση.
Λες ότι το έργο ρ.g.h.δV γίνεται κινητική ενέργεια 0,5.ρ.δV.υ.υ και βράζεις το αποτέλεσμα.
Ακριβώς το ίδιο πρέπει να γίνει και εδώ.Μ όνο που αντί για εκροή στην ατμόσφαιρα έχουμε εκροή στον πάτο δοχείου.
Παίρνουμε ένα σημείο αριστερά του σωλήνα και ένα δεξιά. Κλασικός νόμος Μπερνούλι και βγαίνει πάλι το ίδιο.
Όμως η απόδειξη με ενέργειες που παρέθεσα στα σιφώνια είναι πιο απλή, επικαλούμενη ενέργειες συστήματος και δεν προκαλεί αμφιβολίες.
Μια ιδέα!
Μιχαήλ εδώ.
Πού τελειώνει η ροή;
Χρήση Μπερνούλι: