Και κάτι άλλο: Η ανάλυση στηρίχτηκε στην αρχή και φυσικά είναι σωστό, στο ότι $latex \displaystyle \sqrt{1+{{(\frac{\partial y}{\partial x})}^{2}}}\simeq 1+\frac{1}{2}{{(\frac{\partial y}{\partial x})}^{2}}$ ( ανάπτυγμα Taylor ) . Είναι το επόμενο λάθος στο θέμα Γ όπου Α>>λ …
Θα απαντήσω στην ερώτηση του Νίκου: "από που προκύπτει διαμήκες κύμα στην ανάλυση του Γιάννη".
Ο Γιάννης θεωρεί ότι κάθε στοιχειώδες τμήμα της χορδής επιμηκύνεται. Αν η επιμήκυνση αυτή δεν είναι ομογενής, δηλ. είναι συνάρτηση του x και του t, τότε διαδίδεται κυματικά. Η κυματική διάδοση της επιμήκυνσης συνιστά κύμα. Πρόκειται για το διαμήκες κύμα που συνήθως είναι πολύ ταχύτερο του εγκαρσίου. Το ερώτημα είναι: ποιά ταχύτητα θεωρεί ο Γιάννης σαν v; Τη διαμήκη ή την εγκάρσια; Οι τύποι του δείχνουν ότι χρησιμοποιεί την εγκάρσια.
Όταν μελετάμε εγκάρσιο κύμα σε χορδή, τη θεωρούμε σαν στερεό σώμα. Δεν λαμβάνουμε υπ΄ όψιν τις επιμηκύνσεις. (Για την ακρίβεια τη θεωρούμε σαν στερεό μόνο ως προς το μήκος).
Η σταθερά Εο έχει ενδιαφέρον. Δεν είναι σαν τις σταθερές των ασκήσεων των Μαθηματικών, μικρής δηλαδή σημασίας.
Στις ασκήσεις αυτές γράφουμε λ.χ. f(x)=x.ημx+C και αδιαφορούμε για την C, είτε διότι δεν είναι μία αλλά οιαδήποτε, είτε διότι δεν μας ενδιαφέρει και τόσο ο υπολογισμός της.
Αντίθετα εδώ η Εο μας ενδιαφέρει πολύ περισσότερο από τον αρμονικό όρο. Δηλαδή αν έχουμε μήκος κύματος 1m και χορδή με μήκος 100 μέτρων και 30 πόντων, τότε ο αρμονικός όρος είναι ασήμαντος. Μια γραφική παράσταση θα έδειχνε έναν σχεδόν σταθερό όρο μα μια μικρή διακύμανση.
Γιάννη, πριν απαντήσω στο κρίσιμο ερώτημα που αφορά τη σταθερά Ε0, θα απαντήσω στο ερώτημα αν καταλήγουμε στο ίδιο αποτέλεσμα. Δεν είναι το ίδιο γιατί ο συντελεστής των αρμονικών συναρτήσεων είναι διαφορετικός σε μένα.
Τώρα όσον αφορά ποιά είναι η ταχύτητα κύματος που χρησιμοποιείς, είναι η εγκάρσια. Αλλά εσύ χρησιμοποιείς και το εγκάρσιο και το διαμήκες κύμα. Κάνεις λόγο για διαμήκη παραμόρφωση της χορδής. Αυτή διαδίδεται με την ταχύτητα των διαμήκων κυμάτων. Όταν μελετάμε εγκάρσια κύματα θεωρούμε ότι η διαμήκης παραμόρφωση της χορδής είναι ενιαία (ίδια σε όλο το μήκος) και δεν ασχολούμαστε μ΄ αυτήν. Τα διαμήκη κύματα είναι πολύ γρήγορα σε σχέση με τα εγκάρσια, επομένως οποιαδήποτε διαμήκης παραμόρφωση σε ένα σημείο δημιουργεί ενιαία παραμόρφωση σε χρόνο μηδέν.
Τώρα στο κρίσιμο ερώτημα: επειδή υπολογίζω αρχικά τη ροή ενέργειας και έπειτα την ενέργεια, η ενέργεια που υπολογίζω θα περιέχει κατ΄ ανάγκη μια σταθερά. Αυτή είναι η ενέργεια της χορδής τη στιγμή t=0, η οποία είναι αυθαίρετη στιγμή. Αλλά, αν υποθέσουμε ότι το κύμα ξεκίνησε κάποια στιγμή από αριστερά του x1, έφτασε κάποια στιγμή στο x1 και λίγο αργότερα στο x2, και αν θεωρήσουμε σαν αρχική ενέργεια αυτή που είχε εκείνη τη στιγμή, τότε μπορούμε να τη βρούμε εύκολα: αν Δt είναι το χρονικό διάστημα να πάει το κύμα από το x1 στο x2 τοτε η αρχική ενέργεια είναι το ολοκλήρωμα της ροής ενέργειας σ΄ αυτό το διάστημα. Αν βρούμε την ενέργεια αυτή, την παίρνουμε σαν Ε0 και βρίσκουμε την ακριβή ενέργεια κάθε χρονική στιγμή.
Γιάννη, τα αποτελέσματά μας αποκλίνουν. Για να κάνουμε εποικοδομητική δουλειά, ας κοιτάξουμε που κάνουμε (αμφότεροι ή ο ένας) λάθη. Σου έκανα ήδη μερικές παρατηρήσεις:
Πως μπορεί να είναι dU=dK (άρα dE=2dK); Το μdl που παίρνεις σαν μάζα στοιχειώδους τμήματος, δεν είναι μάζα. Το dl είναι επιμήκυνση. Δεν είναι μήκος τμήματος.
Επίσης: θεωρείς πάνω στη χορδή πεδίο επιμηκύνσεων dl (=dl(x,t)). Το πεδίο επιμυκήνσεων διαδίδεται κυματικά αλλά έχει πολύ μεγαλύτερη ταχύτητα από το πεδίο εγκάρσιων παραμορφώσεων. Ποιά είναι λοιπόν η v; Η ταχύτητα του πεδίου επιμηκύνσεων; ή η ταχύτητα του πεδίου εγκάρσιων παραμορφώσεων;
Στην εργασία σου τίθεται και ένα άλλο κρίσιμο ερώτημα: Μπορούμε (χωρίς περίσκεψη, χωρίς αιδώ) να αθροίζουμε στοιχειώδεις ενέργειες σε μια κυμαινόμενη χορδή; σαν να επρόκειτο για ανεξάρτητους ταλαντωτές; έχω πολλές αμφιβολίες.
Στη αναλυση που παραθέτω εδώ κάνω έναν υπολογισμό της ενέργειας στοιχειώδους τμήματος κυμαινόμενης χορδής. Επειδή αυτή είναι σταθερή, θέτω το ερώτημα: μπορούμε να ολοκληρώσουμε για να βρούμε την ενέργεια σε ένα πεπερασμένο τμήμα;
Στην ανάλυση που έγραψες τώρα, έβγαλες την ενέργεια ενός τμήματος σταθερή. Αυτό εγράφη και στο θέμα των Εξετάσεων. Συμφωνείς με αυτό;
Ισχύει κάτι τέτοιο;
Όταν ένα κομμάτι βρίσκεται σε μέγιστη απομάκρυνση έχει και μηδενική ταχύτητα και μηδενική παραμόρφωση. Δηλαδή δεν είναι δυνατόν η μία ενέργεια να μεταβάλλεται συνημιτονικά (στο τετράγωνο) και η άλλη ημιτονικά (στο τετράγωνο). Κάπου έχεις κάνει λάθος.
Οι στοιχειώδεις ενέργειες μεγιστοποιούνται και μηδενίζονται ταυτόχρονα.
Ουσιαστικά έχουμε δυο διαφορές (μέχρι να βρεθεί η τρίτη).
Η μια είναι ότι άλλο πράγμα θεωρείς εσύ σαν δυναμική ενέργεια και άλλο εγώ. Εσύ σαν δυναμική ενέργεια θεωρείς την ελαστική ενέργεια παραμόρφωσης. Εγώ σαν το πεδίο του οποίου η βαθμίδα είναι η δύναμη.
Ο βασικός λόγος που δεν θέλω να πάρω την ελαστική ενέργεια παραμόρφωσης σαν δυναμική ενέργεια είναι ότι, προκειμένου για εγκάρσιο κύμα σε χορδή, πιστεύω ότι η παραμόρφωση είναι ενιαία σε όλο το μήκος. Η παραμορφωμένη χορδή έχει απλώς λίγη μεγαλύτερη τάση από την μη παραμορφωμένη. Είναι σαν να υπερθέτουμε ένα στατικό πεδίο σε ένα δυναμικό. Το πεδίο της κινητικής ενέργειας εξαρτάται από το x και από το t και πρέπει να εισάγουμε μια δυναμική ενέργεια που να εξαρτάται από τις ίδιες μεταβλητές.
Ακόμα κι αν υποθέσουμε ότι η δυναμική ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης εξαρτάται από αυτές τις μεταβλητές, δηλ. συμπεριφέρεται σαν κύμα, είναι κύμα που διαδίδεται με ταχύτητα διαμήκους κύματος (η ταχύτητα εξαρτάται από το μέτρο του Young), ενώ η εγκάρσια διαταραχή, επομένως και το κύμα κινητικής ενέργειας, διαδίδονται με την ταχύτητα διαμήκων κυμάτων. Κι αυτό είναι λάθος.
Επί πλέον η ποσότητα που θεωρώ εγώ σαν δυναμική ενέργεια είναι ανάλογη του -y (είναι -ω^2y). Αφού τα σημεία κάνουν ΓΑΤ, τέτοια δυναμική ενέργεια πρέπει να έχουν.
Ο ενδιασμός μου στην ολοκληρωση του dE κατά μήκος της χορδής οφείλεται στο γεγονός ότι τα στοιχειώδη τμήματα αλληλεπιδρούν και έτσι υφίσταται ενέργεια αλληλεπίδρασης. Μόνο σε ανεξάρτητους ταλαντωτές (πχ στα normal modes) προσθέτουμε τις ενέργειες. Αυτή είναι η δεύτερη διαφορά που έχουμε.
Μόνο σε ανεξάρτητους ταλαντωτές (πχ στα normal modes) προσθέτουμε τις ενέργειες. Αυτή είναι η δεύτερη διαφορά που έχουμε.
Όταν δύο ελατήρια όχι ιδανικά συνδέονται και έχει κάθε ένα την παραμόρφωσή του και κάθε σπείρα την ταχύτητά της, δεν προσθέτουμε ενέργειες;
Πρόκειται για ανεξάρτητους ταλαντωτές;
Όταν σχεδίαζες τρία σώματα συνδεδεμένα μα δύο ελατήρια και ήθελες να γράψεις εξισώσεις (π.χ. Λαγκράνζ) ποια εκλάμβανες ως ολική ενέργεια;
Δεν ήταν το άθροισμα τριών κινητικών και δύο δυναμικών ενεργειών;
Είχαμε ανεξάρτητους ταλαντωτές;
Ο όρος normal modes σχετίζεται με τη λύση, όχι με το ποια είναι η ενέργεια.
Δεν κατανοώ πως είναι δυνατόν να μην αθροίζονται οι ενέργειες των μελών του.
Μην μου απαντήσεις φυσικά επικαλούμενος σύστημα 4 φορτίων όπου η δυναμική ενέργεια προκύπτει από αλληλεπίδραση και αναφέρεται σε σύστημα. Θα ήταν άσχετο θέμα κάτι τέτοιο.
Ο προβληματισμός αν μπορούμε να προσθέσουμε τις δυναμικές ενέργειες, Γιάννη, μου δημιουργήθηκε από το γεγονός ότι σε μια χορδή στην οποία διαδίδεται κύμα κάθε στοιχειώδες τμήμα είναι αρμονικός ταλαντωτής και έχει σταθερή ενέργεια. Αν προσθέταμε τις ενέργειες αυτές σε ένα πεπερασμένο τμήμα, θα έβγαινε ότι το τμήμα έχει σταθερή ενέργεια, ενώ αυτό δεν αληθεύει. Γιατί όμως να μην μπορούμε να τις προσθέσουμε; Μήπως πέρα από το άθροισμα των ενέργειών ταλάντωσης, υπάρχει κι άλλη ενέργεια που την παραβλέπουμε;
Τελικά ίσως δεν είναι λάθος να προσθέτουμε τις ενέργειες ελαστικής παραμόρφωσης σε ένα ελαστικό μέσο. Είναι όμως λάθος να προσθέτουμε τις δυναμικές ενέργειες σωμάτων που συνδέονται σε ελαστικά μέσα. Πχ αν δυο μάζες συνδέονται στα άκρα ελατηρίου, δεν είναι σωστό να πούμε ότι η δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι το άθροισμα των δυναμικών ενεργειών των μαζών. Γιατί, αν η επιμήκυνση είναι l, η δυναμική ενέργεια είναι 1/2 k l^2.
H αντίρρηση που εχω στη δική σου διαπραγμάτευση του θέματος είναι ότι θεωρείς τα δυο πεδία παραμόρφωσης, το διαμήκες και το εγκάρσιο, να διαδίδονται συμφασικά. Εγώ πιστεύω ότι σε κάθε χρονική στιγμή η επιμήκυνση της χορδής δεν αποτελεί πεδίο που διαδίδεται κυματικά αλλά είναι ενιαία κατά μήκος της χορδής. Υπάρχει μόνο μια δυναμική ενέργεια: η ελαστική ενέργεια παραμόρφωσης όλης της χορδής. Αυτή είναι συνάρτηση μόνο του χρόνου. Όσο για την κινητική ενέργεια, είναι το ολοκληρωμα των dK κατά μήκος της χορδής.
Αν προσθέταμε τις ενέργειες αυτές σε ένα πεπερασμένο τμήμα, θα έβγαινε ότι το τμήμα έχει σταθερή ενέργεια, ενώ αυτό δεν αληθεύει.
Που είδες να βγάζω σταθερή ενέργεια σε ένα δεδομένο τμήμα;
Το αντίθετο, βγάζω ενέργεια περιοδικώς κυμαινόμενη περί κάποια τιμή. Ακριβώς αυτό ήταν ο στόχος της ανάρτησης. Να "πολεμήσει" την τάχα μου σταθερότητα αυτήν. Υπολογισμός που βγάζει σταθερή ενέργεια έχει λάθος.
Μόνο ένα τμήμα πολλαπλάσιο του λ/2 έχει σταθερή ενέργεια.
Έπειτα λες:
Μήπως πέρα από το άθροισμα των ενεργειών ταλάντωσης….
Δεν υπάρχουν ενέργειες ταλάντωσης. Υπάρχουν κινητικές ενέργειες και δυναμικές ενέργειες λόγω παραμόρφωσης.
Είναι όμως λάθος να προσθέτουμε τις δυναμικές ενέργειες σωμάτων που συνδέονται σε ελαστικά μέσα. Πχ αν δυο μάζες συνδέονται στα άκρα ελατηρίου, δεν είναι σωστό να πούμε ότι η δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι το άθροισμα των δυναμικών ενεργειών των μαζών. Γιατί, αν η επιμήκυνση είναι l, η δυναμική ενέργεια είναι 1/2 k l^2.
Αυτό δεν το κατάλαβα. Η δυναμική ενέργεια ενός τέτοιου συστήματος είναι άθροισμα τριών προσθετέων. Των:
by 
Πόση είναι η πραγματική ενέργεια ταλάντωσης, όταν ένα κύμα διαδίδεται σε μια χορδή;
Και κάτι άλλο: Η ανάλυση στηρίχτηκε στην αρχή και φυσικά είναι σωστό, στο ότι $latex \displaystyle \sqrt{1+{{(\frac{\partial y}{\partial x})}^{2}}}\simeq 1+\frac{1}{2}{{(\frac{\partial y}{\partial x})}^{2}}$ ( ανάπτυγμα Taylor ) . Είναι το επόμενο λάθος στο θέμα Γ όπου Α>>λ …
Καλημέρα Χρήστο σ' ευχαριστώ πολύ!
Υ.Γ. Είναι τόσα πολλά αυτά με τα οποία έχετε ασχοληθεί στο yliko που σχεδόν για οτιδήποτε υπάρχει και μία εργασία
Καλημέρα σε όλους.
Θα απαντήσω στην ερώτηση του Νίκου: "από που προκύπτει διαμήκες κύμα στην ανάλυση του Γιάννη".
Ο Γιάννης θεωρεί ότι κάθε στοιχειώδες τμήμα της χορδής επιμηκύνεται. Αν η επιμήκυνση αυτή δεν είναι ομογενής, δηλ. είναι συνάρτηση του x και του t, τότε διαδίδεται κυματικά. Η κυματική διάδοση της επιμήκυνσης συνιστά κύμα. Πρόκειται για το διαμήκες κύμα που συνήθως είναι πολύ ταχύτερο του εγκαρσίου. Το ερώτημα είναι: ποιά ταχύτητα θεωρεί ο Γιάννης σαν v; Τη διαμήκη ή την εγκάρσια; Οι τύποι του δείχνουν ότι χρησιμοποιεί την εγκάρσια.
Όταν μελετάμε εγκάρσιο κύμα σε χορδή, τη θεωρούμε σαν στερεό σώμα. Δεν λαμβάνουμε υπ΄ όψιν τις επιμηκύνσεις. (Για την ακρίβεια τη θεωρούμε σαν στερεό μόνο ως προς το μήκος).
Νίκο καλή δουλειά είναι.
Νομίζω πως ταυτίζεται το αποτέλεσμα με αυτό που έγραψα.
Η ταχύτητα των εγκαρσίων δεν είναι ρίζα(F/μ) ;
Να προσθέσω σχόλιο στην μελέτη σου.
Η σταθερά Εο έχει ενδιαφέρον. Δεν είναι σαν τις σταθερές των ασκήσεων των Μαθηματικών, μικρής δηλαδή σημασίας.
Στις ασκήσεις αυτές γράφουμε λ.χ. f(x)=x.ημx+C και αδιαφορούμε για την C, είτε διότι δεν είναι μία αλλά οιαδήποτε, είτε διότι δεν μας ενδιαφέρει και τόσο ο υπολογισμός της.
Αντίθετα εδώ η Εο μας ενδιαφέρει πολύ περισσότερο από τον αρμονικό όρο. Δηλαδή αν έχουμε μήκος κύματος 1m και χορδή με μήκος 100 μέτρων και 30 πόντων, τότε ο αρμονικός όρος είναι ασήμαντος. Μια γραφική παράσταση θα έδειχνε έναν σχεδόν σταθερό όρο μα μια μικρή διακύμανση.
Γιάννη, πριν απαντήσω στο κρίσιμο ερώτημα που αφορά τη σταθερά Ε0, θα απαντήσω στο ερώτημα αν καταλήγουμε στο ίδιο αποτέλεσμα. Δεν είναι το ίδιο γιατί ο συντελεστής των αρμονικών συναρτήσεων είναι διαφορετικός σε μένα.
Τώρα όσον αφορά ποιά είναι η ταχύτητα κύματος που χρησιμοποιείς, είναι η εγκάρσια. Αλλά εσύ χρησιμοποιείς και το εγκάρσιο και το διαμήκες κύμα. Κάνεις λόγο για διαμήκη παραμόρφωση της χορδής. Αυτή διαδίδεται με την ταχύτητα των διαμήκων κυμάτων. Όταν μελετάμε εγκάρσια κύματα θεωρούμε ότι η διαμήκης παραμόρφωση της χορδής είναι ενιαία (ίδια σε όλο το μήκος) και δεν ασχολούμαστε μ΄ αυτήν. Τα διαμήκη κύματα είναι πολύ γρήγορα σε σχέση με τα εγκάρσια, επομένως οποιαδήποτε διαμήκης παραμόρφωση σε ένα σημείο δημιουργεί ενιαία παραμόρφωση σε χρόνο μηδέν.
Τώρα στο κρίσιμο ερώτημα: επειδή υπολογίζω αρχικά τη ροή ενέργειας και έπειτα την ενέργεια, η ενέργεια που υπολογίζω θα περιέχει κατ΄ ανάγκη μια σταθερά. Αυτή είναι η ενέργεια της χορδής τη στιγμή t=0, η οποία είναι αυθαίρετη στιγμή. Αλλά, αν υποθέσουμε ότι το κύμα ξεκίνησε κάποια στιγμή από αριστερά του x1, έφτασε κάποια στιγμή στο x1 και λίγο αργότερα στο x2, και αν θεωρήσουμε σαν αρχική ενέργεια αυτή που είχε εκείνη τη στιγμή, τότε μπορούμε να τη βρούμε εύκολα: αν Δt είναι το χρονικό διάστημα να πάει το κύμα από το x1 στο x2 τοτε η αρχική ενέργεια είναι το ολοκλήρωμα της ροής ενέργειας σ΄ αυτό το διάστημα. Αν βρούμε την ενέργεια αυτή, την παίρνουμε σαν Ε0 και βρίσκουμε την ακριβή ενέργεια κάθε χρονική στιγμή.
Νίκο οι αποδείξεις που παραθέτουν πανεπιστημιακά βιβλία για την ταχύτητα εγκαρσίων κυμάτων διαφέρουν;
Δες λίγο και το κείμενο του Βαγγέλη στις σελίδες 3,4,5.
Για την Εο δεν είπα πως κάνεις λάθος. Αν την βρούμε θα την βρούμε. Είναι αυτονόητο.
Έχει όμως ενδιαφέρον. Δεν πρόκειται για μια άσκηση Μαθηματικών.
Γιάννη, τα αποτελέσματά μας αποκλίνουν. Για να κάνουμε εποικοδομητική δουλειά, ας κοιτάξουμε που κάνουμε (αμφότεροι ή ο ένας) λάθη. Σου έκανα ήδη μερικές παρατηρήσεις:
Πως μπορεί να είναι dU=dK (άρα dE=2dK); Το μdl που παίρνεις σαν μάζα στοιχειώδους τμήματος, δεν είναι μάζα. Το dl είναι επιμήκυνση. Δεν είναι μήκος τμήματος.
Επίσης: θεωρείς πάνω στη χορδή πεδίο επιμηκύνσεων dl (=dl(x,t)). Το πεδίο επιμυκήνσεων διαδίδεται κυματικά αλλά έχει πολύ μεγαλύτερη ταχύτητα από το πεδίο εγκάρσιων παραμορφώσεων. Ποιά είναι λοιπόν η v; Η ταχύτητα του πεδίου επιμηκύνσεων; ή η ταχύτητα του πεδίου εγκάρσιων παραμορφώσεων;
Στην εργασία σου τίθεται και ένα άλλο κρίσιμο ερώτημα: Μπορούμε (χωρίς περίσκεψη, χωρίς αιδώ) να αθροίζουμε στοιχειώδεις ενέργειες σε μια κυμαινόμενη χορδή; σαν να επρόκειτο για ανεξάρτητους ταλαντωτές; έχω πολλές αμφιβολίες.
Στη αναλυση που παραθέτω εδώ κάνω έναν υπολογισμό της ενέργειας στοιχειώδους τμήματος κυμαινόμενης χορδής. Επειδή αυτή είναι σταθερή, θέτω το ερώτημα: μπορούμε να ολοκληρώσουμε για να βρούμε την ενέργεια σε ένα πεπερασμένο τμήμα;
Στην ανάλυση που έγραψες τώρα, έβγαλες την ενέργεια ενός τμήματος σταθερή. Αυτό εγράφη και στο θέμα των Εξετάσεων. Συμφωνείς με αυτό;
Ισχύει κάτι τέτοιο;
Όταν ένα κομμάτι βρίσκεται σε μέγιστη απομάκρυνση έχει και μηδενική ταχύτητα και μηδενική παραμόρφωση. Δηλαδή δεν είναι δυνατόν η μία ενέργεια να μεταβάλλεται συνημιτονικά (στο τετράγωνο) και η άλλη ημιτονικά (στο τετράγωνο). Κάπου έχεις κάνει λάθος.
Οι στοιχειώδεις ενέργειες μεγιστοποιούνται και μηδενίζονται ταυτόχρονα.
Το dm το παίρνεις σαν μdx. Εδώ συμφωνώ.
Ουσιαστικά έχουμε δυο διαφορές (μέχρι να βρεθεί η τρίτη).
Η μια είναι ότι άλλο πράγμα θεωρείς εσύ σαν δυναμική ενέργεια και άλλο εγώ. Εσύ σαν δυναμική ενέργεια θεωρείς την ελαστική ενέργεια παραμόρφωσης. Εγώ σαν το πεδίο του οποίου η βαθμίδα είναι η δύναμη.
Ο βασικός λόγος που δεν θέλω να πάρω την ελαστική ενέργεια παραμόρφωσης σαν δυναμική ενέργεια είναι ότι, προκειμένου για εγκάρσιο κύμα σε χορδή, πιστεύω ότι η παραμόρφωση είναι ενιαία σε όλο το μήκος. Η παραμορφωμένη χορδή έχει απλώς λίγη μεγαλύτερη τάση από την μη παραμορφωμένη. Είναι σαν να υπερθέτουμε ένα στατικό πεδίο σε ένα δυναμικό. Το πεδίο της κινητικής ενέργειας εξαρτάται από το x και από το t και πρέπει να εισάγουμε μια δυναμική ενέργεια που να εξαρτάται από τις ίδιες μεταβλητές.
Ακόμα κι αν υποθέσουμε ότι η δυναμική ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης εξαρτάται από αυτές τις μεταβλητές, δηλ. συμπεριφέρεται σαν κύμα, είναι κύμα που διαδίδεται με ταχύτητα διαμήκους κύματος (η ταχύτητα εξαρτάται από το μέτρο του Young), ενώ η εγκάρσια διαταραχή, επομένως και το κύμα κινητικής ενέργειας, διαδίδονται με την ταχύτητα διαμήκων κυμάτων. Κι αυτό είναι λάθος.
Επί πλέον η ποσότητα που θεωρώ εγώ σαν δυναμική ενέργεια είναι ανάλογη του -y (είναι -ω^2y). Αφού τα σημεία κάνουν ΓΑΤ, τέτοια δυναμική ενέργεια πρέπει να έχουν.
Ο ενδιασμός μου στην ολοκληρωση του dE κατά μήκος της χορδής οφείλεται στο γεγονός ότι τα στοιχειώδη τμήματα αλληλεπιδρούν και έτσι υφίσταται ενέργεια αλληλεπίδρασης. Μόνο σε ανεξάρτητους ταλαντωτές (πχ στα normal modes) προσθέτουμε τις ενέργειες. Αυτή είναι η δεύτερη διαφορά που έχουμε.
Νίκο καλημέρα.
Δεν καταλαβαίνω κάτι που λες:
Μόνο σε ανεξάρτητους ταλαντωτές (πχ στα normal modes) προσθέτουμε τις ενέργειες. Αυτή είναι η δεύτερη διαφορά που έχουμε.
Όταν δύο ελατήρια όχι ιδανικά συνδέονται και έχει κάθε ένα την παραμόρφωσή του και κάθε σπείρα την ταχύτητά της, δεν προσθέτουμε ενέργειες;
Πρόκειται για ανεξάρτητους ταλαντωτές;
Όταν σχεδίαζες τρία σώματα συνδεδεμένα μα δύο ελατήρια και ήθελες να γράψεις εξισώσεις (π.χ. Λαγκράνζ) ποια εκλάμβανες ως ολική ενέργεια;
Δεν ήταν το άθροισμα τριών κινητικών και δύο δυναμικών ενεργειών;
Είχαμε ανεξάρτητους ταλαντωτές;
Ο όρος normal modes σχετίζεται με τη λύση, όχι με το ποια είναι η ενέργεια.
Δεν κατανοώ πως είναι δυνατόν να μην αθροίζονται οι ενέργειες των μελών του.
Μην μου απαντήσεις φυσικά επικαλούμενος σύστημα 4 φορτίων όπου η δυναμική ενέργεια προκύπτει από αλληλεπίδραση και αναφέρεται σε σύστημα. Θα ήταν άσχετο θέμα κάτι τέτοιο.
Ο προβληματισμός αν μπορούμε να προσθέσουμε τις δυναμικές ενέργειες, Γιάννη, μου δημιουργήθηκε από το γεγονός ότι σε μια χορδή στην οποία διαδίδεται κύμα κάθε στοιχειώδες τμήμα είναι αρμονικός ταλαντωτής και έχει σταθερή ενέργεια. Αν προσθέταμε τις ενέργειες αυτές σε ένα πεπερασμένο τμήμα, θα έβγαινε ότι το τμήμα έχει σταθερή ενέργεια, ενώ αυτό δεν αληθεύει. Γιατί όμως να μην μπορούμε να τις προσθέσουμε; Μήπως πέρα από το άθροισμα των ενέργειών ταλάντωσης, υπάρχει κι άλλη ενέργεια που την παραβλέπουμε;
Τελικά ίσως δεν είναι λάθος να προσθέτουμε τις ενέργειες ελαστικής παραμόρφωσης σε ένα ελαστικό μέσο. Είναι όμως λάθος να προσθέτουμε τις δυναμικές ενέργειες σωμάτων που συνδέονται σε ελαστικά μέσα. Πχ αν δυο μάζες συνδέονται στα άκρα ελατηρίου, δεν είναι σωστό να πούμε ότι η δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι το άθροισμα των δυναμικών ενεργειών των μαζών. Γιατί, αν η επιμήκυνση είναι l, η δυναμική ενέργεια είναι 1/2 k l^2.
H αντίρρηση που εχω στη δική σου διαπραγμάτευση του θέματος είναι ότι θεωρείς τα δυο πεδία παραμόρφωσης, το διαμήκες και το εγκάρσιο, να διαδίδονται συμφασικά. Εγώ πιστεύω ότι σε κάθε χρονική στιγμή η επιμήκυνση της χορδής δεν αποτελεί πεδίο που διαδίδεται κυματικά αλλά είναι ενιαία κατά μήκος της χορδής. Υπάρχει μόνο μια δυναμική ενέργεια: η ελαστική ενέργεια παραμόρφωσης όλης της χορδής. Αυτή είναι συνάρτηση μόνο του χρόνου. Όσο για την κινητική ενέργεια, είναι το ολοκληρωμα των dK κατά μήκος της χορδής.
Όπα! Ένα-ένα.
Λες:
Αν προσθέταμε τις ενέργειες αυτές σε ένα πεπερασμένο τμήμα, θα έβγαινε ότι το τμήμα έχει σταθερή ενέργεια, ενώ αυτό δεν αληθεύει.
Που είδες να βγάζω σταθερή ενέργεια σε ένα δεδομένο τμήμα;
Το αντίθετο, βγάζω ενέργεια περιοδικώς κυμαινόμενη περί κάποια τιμή. Ακριβώς αυτό ήταν ο στόχος της ανάρτησης. Να "πολεμήσει" την τάχα μου σταθερότητα αυτήν. Υπολογισμός που βγάζει σταθερή ενέργεια έχει λάθος.
Μόνο ένα τμήμα πολλαπλάσιο του λ/2 έχει σταθερή ενέργεια.
Έπειτα λες:
Μήπως πέρα από το άθροισμα των ενεργειών ταλάντωσης….
Δεν υπάρχουν ενέργειες ταλάντωσης. Υπάρχουν κινητικές ενέργειες και δυναμικές ενέργειες λόγω παραμόρφωσης.
Κάτσε να κάνω σχήμα.
Την παραμορφώνω. Πως; Δεν ξέρω, ίσως είμαι εκατόγχειρας ή χρησιμοποιώ καλούπια.
Αν έχει αρχικά ενέργεια 10J και παράξω έργο άλλων 50J, τότε αποκτά δυναμική ενέργεια 60J.
Όταν είναι στην κατάσταση αυτήν θα έχει υποχρεωτικά τόση ενέργεια, ότι και να κάνει.
Η ενέργεια αυτή είναι ίση με το άθροισμα των (λόγω παραμόρφωσης) δυναμικών ενεργειών των (οιωνδήποτε) τμημάτων της.
Μετά λες:
Είναι όμως λάθος να προσθέτουμε τις δυναμικές ενέργειες σωμάτων που συνδέονται σε ελαστικά μέσα. Πχ αν δυο μάζες συνδέονται στα άκρα ελατηρίου, δεν είναι σωστό να πούμε ότι η δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι το άθροισμα των δυναμικών ενεργειών των μαζών. Γιατί, αν η επιμήκυνση είναι l, η δυναμική ενέργεια είναι 1/2 k l^2.
Αυτό δεν το κατάλαβα. Η δυναμική ενέργεια ενός τέτοιου συστήματος είναι άθροισμα τριών προσθετέων. Των:
m.g.H1+m.g.H2+1/2k.Δl2