Γιάννη και Διονύση, επειδή νιώθω ότι η συζήτηση, αντίθετα με το κύμα, έχει αποσυντονιστεί, πρέπει να ξαναβρεί το συντονισμό της. Γι΄ αυτό ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή.
Λες λοιπόν εσύ: ο νεαρός κουνάει το χερι του με πλάτος 2 cm ενώ το πλάτος του κύματος είναι 30 cm. Που το αποδίδεις αυτό;
Ας υποθέσουμε, Γιάννη, ότι ο νεαρός δεν βρίσκεται ακριβώς στο σημείο του δεσμού αλλά ελάχιστα πριν ή μετά από αυτό. Στο στάσιμο κύμα που αντιστοιχεί στη συχνότητα που κουνάει ο νεαρός το χερι του, δεν θα έπρεπε να περιμένουμε ότι στο σημείο αυτό η χορδή κινείται με πολύ μικρό πλάτος;
Περιμένω να μου απαντήσεις "ναι".
Θεωρώντας σαν δεδομένο ένα πλάτος κοιλίας 30 cm, έστω ότι σε κείνο το σημείο περιμένουμε μια ταλάντωση πλάτους 2 cm.
Λέει λοιπον ο νεαρός στο σημείο εκείνο κοντά στο δεσμό "μη κουνιέσαι εσύ 2 cm, θα σε κουνάω εγώ 2 cm".
Από την άλλη μεριά καταλαβαίνεις και συ ότι, αν δούμε το πρόβλημα σαν ένα πρόβλημα οριακών συνθηκών, έχουμε μονοσήμαντη λύση γιατί έχουμε τις 2 οριακές συνθήκες: μηδενική ταλάντωση στο άκρο της χορδής, 2 cm ταλάντωση εκεί που είναι ο νεαρός.
Το συμπέρασμα είναι ότι είτε κουνάει ο νεαρός εκείνο το σημείο με κίνηση 2 cm, είτε δεν κουνάει κανένας το σημείο αλλά το δημιουργούμενο στάσιμο κύμα έχει σε κείνο το σημείο πλάτος 2 cm από μόνο του, ένα και μοναδικό κύμα σχηματίζεται: αυτό που οι κοιλίες του έχουν πλάτος ταλάντωσης 30 cm.
Εκτός από το συντονισμό υπάρχει και η λύση των οριακών συνθηκών.
Ο νεαρός πρέπει να κάνει λίγο μεγαλύτερη κίνηση από αυτή που προβλέπεται θεωρώντας κύματα χωρίς απόσβεση ώστε να δώσει τη χαμένη ενέργεια. Γι΄ αυτό, αν βρίσκεται ακριβώς στο δεσμό, πρέπει να κουνάει το χέρι του λίγο περισσότερο από 0 cm.
Όχι ακριβώς. Είναι μάλλον το αντίστροφο. Η χορδή έχει τις ιδιοσυχνότητές της. Αν ο νεαρός βάλει κάποια από αυτές γίνεται στάσιμο με θεωρητικά άπειρο πλάτος. Οι αποσβέσεις και η μη γραμμικότητα δεν επιτρέπουν απειρισμό πλάτους.
Οι αποσβέσεις επίσης επιβάλλουν συνεχή κίνηση του διεγέρτη-χεριού.
Πιστεύω από την εξέλιξη της συζήτησης πως κατανοείς τη θέση μου τώρα. Εξισώσεις περιγράφουν μια πραγματικότητα, αλλά ένα άθροισμα (στο οποίο αναλύεται μια εξίσωση) δεν καθίσταται πραγματικότητα. Η πραγματικότητα δεν είναι τόσο "Πλατωνική".
Εσύ αναλύεις το στάσιμο σε ένα άθροισμα κυμάτων. Δεν σημαίνει αυτό πως στάσιμο και συμβολή ταυτίζονται.
Σε δουλειά σου (αν υποπτεύομαι καλά) κάνεις αντιστοίχιση του V με την F και του Ι με την υ και υπολογίζεις ισχύ όπως θα την υπολόγιζες σε γραμμή μεταφοράς. Λες ότι δεν σου χρειάστηκε η δυναμική ενέργεια του ελαστικού μέσου.
Αυτό δεν σημαίνει ότι το ελαστικό μέσον δεν έχει δυναμική ενέργεια σε κάποια κατάσταση-στιγμιότυπό του.
Η πραγματικότητα δεν είναι οι εξισώσεις που χρησιμοποιούμε εμείς. Η περιοχή περί τον δεσμό έχει μεγαλύτερη παραμόρφωση από αυτήν κοντά σε κοιλία.
Πάρε δυο εξαναγκασμένες ταλαντώσεις. Στη μία ο διεγέρτης δρα στο σώμα και στην άλλη στο άκρο του ελατηρίου. Οι κινήσεις ολόιδιες.
Οι μαθηματικές μελέτες ολόιδιες. Οι καμπύλες ολόιδιες.
Τα ελατήρια όμως δεν έχουν ίδιες δυναμικές ενέργειες. Έχουμε δύο διαφορετικές πραγματικότητες.
Το ίδιο έχουμε και όταν δύο ήχοι από δύο μεγάφωνα συμβάλλουν. Μαθηματικά έχουμε ίδια εξίσωση με το στάσιμο. Στάσιμο όμως δεν έχουμε.
Τα κύματα περιγράφονται από τις γνωστές εξισώσεις. Οι εξισώσεις όμως αυτές δεν κατέστησαν κύματα.
Το μέσον διάδοσης ενός μηχανικού κύματος δεν είναι μια αφηρημένη ιδέα. Είναι ένα ελαστικό μέσον διαθέτον και δυναμική και κινητική ενέργεια.
Γιάννη, δεν ισχυρίστηκα ποτέ ότι το μέσον δεν έχει δυναμική και κινητική ενέργεια. Πραγματεύτηκα το θέμα "κύματα και ενέργεια" έτσι όπως το πραγματεύτηκα γιατί με βόλευε καλύτερα, ίσως και η εμπειρία μου από τις γραμμές μεταφοράς με οδήγησε να ακολουθήσω αυτό το δρόμο. Εσύ ακολουθείς ένα διαφορετικό γιατί έμαθες να υπολογίζεις ενέργειες αναλύοντάς τες σε δυναμική και κινητική. Ακολουθείς ένα δρόμο που παραδοσιακά ακολουθείται στη μέση εκπαίδευση. Χρησιμοποιείς απτές οντότητες: τέντωμα του ελαστικού μέσου = δυναμική ενέργεια. Κίνηση του ελαστικού μέσου = κινητική ενέργεια.
Οι μέθοδοί σου είναι διδακτικές, δεν υπάρχει καμιά αμφιβολία. Πιστεύεις ότι αυτές οι διδακτικές μέθοδοι είναι ανώτερες στην ερμηνεία των φυσικών φαινομένων από άλλες λιγότερο διδακτικές και περισσότερο επιστημονικές; Στις γραμμές μεταφοράς η ροή ενέργειας στο σημείο x τη στιγμή t είναι το γινόμενο της τάσης επί την ένταση στο σημείο x τη στιγμή t. Γιατί να μην προσδιορίζουμε τη ροή ενέργειας στη χορδή με κάποιον αντίστοιχο τύπο;
Και πολύ έξυπνα έπραξες και πρωτότυπη είναι η αναλογία και μου αρέσουν αυτά. Πρέπει να βλέπουμε προβλήματα από διαφορετικές σκοπιές. Η μαθηματικοποιημένη οδός είναι πολύτιμη κει ιστορικώς επιβραβευθείσα. Άριστα λοιπόν έπραξες.
Δεν ακολουθώ πάντα διδακτικά πρόσφορες μεθόδους. Δεν είμαι ο Διονύσης και διαπράττω αυθαιρεσίες.
Προσπαθώ απλά να έχω εποπτεία ενός προβλήματος. Είναι και ζήτημα ικανοτήτων στα Μαθηματικά.
Εσείς που χειρίζεσθε με άνεση τα μαθηματικά είσαστε σαν τους θηριώδεις μπασκετμπωλίστες που κάνουν αυτό που θεωρούν απλούστερο. Καρφώνουν τη μπάλα. Οι πιο κοντοί κόλπων μετέρχονται.
Ποιο ωραίο είναι όταν ένα φυσικό πρόβλημα και τις ποσότητες που εμπλέκονται σ΄ αυτό, τα απεικονίζεις στον ιδεατό κόσμο των μαθηματικών. Αποκτούν κάτι από την τελειότητα αυτού του κόσμου. Απ΄ όλες τις θετικές επιστήμες μόνο στη φυσική μπορεί να γίνει αυτό.
Στον τελευταίο υπολογισμό που είχα κάνει στο κύματα και ενέργεια εδω, είχα δώσει έναν τύπο που δίνει την ενέργεια οδεύοντος αρμονικου εγκάρσιου κύματος σε μήκος χορδής l. Αν μας ενδιαφέρει η ενέργεια μιας τράκτου προκύπτει εύκολα απ΄ αυτό τον τύπο πως είναι 1/2mv^2 όπου v το πλάτος της ταχύτητας. Η κινητική ενέργεια της ατράκτου είναι το μισό απ΄ αυτό.
by 
Πόση είναι η πραγματική ενέργεια ταλάντωσης, όταν ένα κύμα διαδίδεται σε μια χορδή;
Γιάννη και Διονύση, επειδή νιώθω ότι η συζήτηση, αντίθετα με το κύμα, έχει αποσυντονιστεί, πρέπει να ξαναβρεί το συντονισμό της. Γι΄ αυτό ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή.
Λες λοιπόν εσύ: ο νεαρός κουνάει το χερι του με πλάτος 2 cm ενώ το πλάτος του κύματος είναι 30 cm. Που το αποδίδεις αυτό;
Δεν είπα το πλάτος του κύματος. Μίλησα για πλάτος ταλάντωσης κοιλιών.
Δεν το ισχυρίζομαι. Προκύπτει από το βίντεο.
Που το αποδίδω;
Περισσότερα εδώ.
Εκτός από την παρούσα μαθηματική λύση, έχω και συντομότατη γραφική.
Για να φανεί το πόσο σύντομη είναι παραθέτω την λύση του προβλήματος που έθεσα πριν:
Αν θέσουμε 2cm το 0,68, τότε προκύπτει ως πλάτος κοιλιών τιμή 2,94 cm.
Το ίδιο θα προέκυπτε και από την μαθηματική λύση που παρέπεμψα λίγο πριν, στο παρόν σχόλιο.
Αν δεν καταφύγουμε στο συντονισμό, μπορεί να προκύψει το 30 cm πλάτος ταλάντωσης κοιλιών με άλλο τρόπο;
Τι θα πει "αν δεν καταφύγουμε στον συντονισμό";
Δεν έχουμε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση;
Αν στο χέρι μας έχουμε δεσμό θα έχουμε συντονισμό.
Αν στο χέρι μας έχουμε κοιλία θα έχουμε αντισυντονισμό.
Σε κάθε άλλη περίπτωση έχουμε μια κοινή εξαναγκασμένη ταλάντωση, εκτός συντονισμού. Το πλάτος θα είναι μεγαλύτερο από 2cm.
Προκύπτει 30cm διότι ο νεαρός πλησίασε κατάσταση συντονισμού.
Στο δικό μου πρόβλημα πλησίασα αντισυντονισμό. Μπορώ να δώσω ότι πρόβλημα θέλεις.
Ας υποθέσουμε, Γιάννη, ότι ο νεαρός δεν βρίσκεται ακριβώς στο σημείο του δεσμού αλλά ελάχιστα πριν ή μετά από αυτό. Στο στάσιμο κύμα που αντιστοιχεί στη συχνότητα που κουνάει ο νεαρός το χερι του, δεν θα έπρεπε να περιμένουμε ότι στο σημείο αυτό η χορδή κινείται με πολύ μικρό πλάτος;
Περιμένω να μου απαντήσεις "ναι".
Θεωρώντας σαν δεδομένο ένα πλάτος κοιλίας 30 cm, έστω ότι σε κείνο το σημείο περιμένουμε μια ταλάντωση πλάτους 2 cm.
Λέει λοιπον ο νεαρός στο σημείο εκείνο κοντά στο δεσμό "μη κουνιέσαι εσύ 2 cm, θα σε κουνάω εγώ 2 cm".
Από την άλλη μεριά καταλαβαίνεις και συ ότι, αν δούμε το πρόβλημα σαν ένα πρόβλημα οριακών συνθηκών, έχουμε μονοσήμαντη λύση γιατί έχουμε τις 2 οριακές συνθήκες: μηδενική ταλάντωση στο άκρο της χορδής, 2 cm ταλάντωση εκεί που είναι ο νεαρός.
Το συμπέρασμα είναι ότι είτε κουνάει ο νεαρός εκείνο το σημείο με κίνηση 2 cm, είτε δεν κουνάει κανένας το σημείο αλλά το δημιουργούμενο στάσιμο κύμα έχει σε κείνο το σημείο πλάτος 2 cm από μόνο του, ένα και μοναδικό κύμα σχηματίζεται: αυτό που οι κοιλίες του έχουν πλάτος ταλάντωσης 30 cm.
Εκτός από το συντονισμό υπάρχει και η λύση των οριακών συνθηκών.
Ο νεαρός πρέπει να κάνει λίγο μεγαλύτερη κίνηση από αυτή που προβλέπεται θεωρώντας κύματα χωρίς απόσβεση ώστε να δώσει τη χαμένη ενέργεια. Γι΄ αυτό, αν βρίσκεται ακριβώς στο δεσμό, πρέπει να κουνάει το χέρι του λίγο περισσότερο από 0 cm.
Όχι ακριβώς. Είναι μάλλον το αντίστροφο. Η χορδή έχει τις ιδιοσυχνότητές της. Αν ο νεαρός βάλει κάποια από αυτές γίνεται στάσιμο με θεωρητικά άπειρο πλάτος. Οι αποσβέσεις και η μη γραμμικότητα δεν επιτρέπουν απειρισμό πλάτους.
Οι αποσβέσεις επίσης επιβάλλουν συνεχή κίνηση του διεγέρτη-χεριού.
Πιστεύω από την εξέλιξη της συζήτησης πως κατανοείς τη θέση μου τώρα. Εξισώσεις περιγράφουν μια πραγματικότητα, αλλά ένα άθροισμα (στο οποίο αναλύεται μια εξίσωση) δεν καθίσταται πραγματικότητα. Η πραγματικότητα δεν είναι τόσο "Πλατωνική".
Εσύ αναλύεις το στάσιμο σε ένα άθροισμα κυμάτων. Δεν σημαίνει αυτό πως στάσιμο και συμβολή ταυτίζονται.
Σε δουλειά σου (αν υποπτεύομαι καλά) κάνεις αντιστοίχιση του V με την F και του Ι με την υ και υπολογίζεις ισχύ όπως θα την υπολόγιζες σε γραμμή μεταφοράς. Λες ότι δεν σου χρειάστηκε η δυναμική ενέργεια του ελαστικού μέσου.
Αυτό δεν σημαίνει ότι το ελαστικό μέσον δεν έχει δυναμική ενέργεια σε κάποια κατάσταση-στιγμιότυπό του.
Η πραγματικότητα δεν είναι οι εξισώσεις που χρησιμοποιούμε εμείς. Η περιοχή περί τον δεσμό έχει μεγαλύτερη παραμόρφωση από αυτήν κοντά σε κοιλία.
Πάρε δυο εξαναγκασμένες ταλαντώσεις. Στη μία ο διεγέρτης δρα στο σώμα και στην άλλη στο άκρο του ελατηρίου. Οι κινήσεις ολόιδιες.
Οι μαθηματικές μελέτες ολόιδιες. Οι καμπύλες ολόιδιες.
Τα ελατήρια όμως δεν έχουν ίδιες δυναμικές ενέργειες. Έχουμε δύο διαφορετικές πραγματικότητες.
Το ίδιο έχουμε και όταν δύο ήχοι από δύο μεγάφωνα συμβάλλουν. Μαθηματικά έχουμε ίδια εξίσωση με το στάσιμο. Στάσιμο όμως δεν έχουμε.
Τα κύματα περιγράφονται από τις γνωστές εξισώσεις. Οι εξισώσεις όμως αυτές δεν κατέστησαν κύματα.
Το μέσον διάδοσης ενός μηχανικού κύματος δεν είναι μια αφηρημένη ιδέα. Είναι ένα ελαστικό μέσον διαθέτον και δυναμική και κινητική ενέργεια.
Γιάννη, δεν ισχυρίστηκα ποτέ ότι το μέσον δεν έχει δυναμική και κινητική ενέργεια. Πραγματεύτηκα το θέμα "κύματα και ενέργεια" έτσι όπως το πραγματεύτηκα γιατί με βόλευε καλύτερα, ίσως και η εμπειρία μου από τις γραμμές μεταφοράς με οδήγησε να ακολουθήσω αυτό το δρόμο. Εσύ ακολουθείς ένα διαφορετικό γιατί έμαθες να υπολογίζεις ενέργειες αναλύοντάς τες σε δυναμική και κινητική. Ακολουθείς ένα δρόμο που παραδοσιακά ακολουθείται στη μέση εκπαίδευση. Χρησιμοποιείς απτές οντότητες: τέντωμα του ελαστικού μέσου = δυναμική ενέργεια. Κίνηση του ελαστικού μέσου = κινητική ενέργεια.
Οι μέθοδοί σου είναι διδακτικές, δεν υπάρχει καμιά αμφιβολία. Πιστεύεις ότι αυτές οι διδακτικές μέθοδοι είναι ανώτερες στην ερμηνεία των φυσικών φαινομένων από άλλες λιγότερο διδακτικές και περισσότερο επιστημονικές; Στις γραμμές μεταφοράς η ροή ενέργειας στο σημείο x τη στιγμή t είναι το γινόμενο της τάσης επί την ένταση στο σημείο x τη στιγμή t. Γιατί να μην προσδιορίζουμε τη ροή ενέργειας στη χορδή με κάποιον αντίστοιχο τύπο;
Καλημέρα Νίκο.
Και πολύ έξυπνα έπραξες και πρωτότυπη είναι η αναλογία και μου αρέσουν αυτά. Πρέπει να βλέπουμε προβλήματα από διαφορετικές σκοπιές. Η μαθηματικοποιημένη οδός είναι πολύτιμη κει ιστορικώς επιβραβευθείσα. Άριστα λοιπόν έπραξες.
Δεν ακολουθώ πάντα διδακτικά πρόσφορες μεθόδους. Δεν είμαι ο Διονύσης και διαπράττω αυθαιρεσίες.
Προσπαθώ απλά να έχω εποπτεία ενός προβλήματος. Είναι και ζήτημα ικανοτήτων στα Μαθηματικά.
Εσείς που χειρίζεσθε με άνεση τα μαθηματικά είσαστε σαν τους θηριώδεις μπασκετμπωλίστες που κάνουν αυτό που θεωρούν απλούστερο. Καρφώνουν τη μπάλα. Οι πιο κοντοί κόλπων μετέρχονται.
Ποιο ωραίο είναι όταν ένα φυσικό πρόβλημα και τις ποσότητες που εμπλέκονται σ΄ αυτό, τα απεικονίζεις στον ιδεατό κόσμο των μαθηματικών. Αποκτούν κάτι από την τελειότητα αυτού του κόσμου. Απ΄ όλες τις θετικές επιστήμες μόνο στη φυσική μπορεί να γίνει αυτό.
Μεράκι βλέπω και ιδεολογία!
Καλημέρα παιδιά.
Οργανώνοντας σήμερα, αλλά και ψιλοτροποποιώντας παλιότερες αναρτήσεις, βρήκα και αυτή του Γιάννη:
Προβλήματα στην διδασκαλία και κατανόηση των στασίμων κυμάτων.
Να είσαι καλά.
Αυτήν την είχα ξεχάσει και είναι η πιο χαρακτηριστική από όσες έχω γράψει για στάσιμα.
Στον τελευταίο υπολογισμό που είχα κάνει στο κύματα και ενέργεια εδω, είχα δώσει έναν τύπο που δίνει την ενέργεια οδεύοντος αρμονικου εγκάρσιου κύματος σε μήκος χορδής l. Αν μας ενδιαφέρει η ενέργεια μιας τράκτου προκύπτει εύκολα απ΄ αυτό τον τύπο πως είναι 1/2mv^2 όπου v το πλάτος της ταχύτητας. Η κινητική ενέργεια της ατράκτου είναι το μισό απ΄ αυτό.