by 
Έστω ότι κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, μιας χορδής, διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα με εξίσωση:
y=Α∙ημ2π(t/Τ-x/λ)
Η χορδή τείνεται με δύναμη F, έχοντας γραμμική πυκνότητα μ, με αποτέλεσμα η ταχύτητα διάδοσης του κύματος, κατά μήκος της, να δίνεται από την γνωστή εξίσωση υ=√F/m.
Διαβάστε τη συνέχεια…
ή
Η ενέργεια και η ισχύς σε ένα αρμονικό κύμα.
Η ενέργεια και η ισχύς σε ένα αρμονικό κύμα.
Βαγγέλη,
το καταλαβαίνω πως ό,τι θέλω μπορώ να ορίζω, αλλά τότε ενδέχεται να μείνω να μιλάω μόνη μου.
Κατανοώ επίσης αυτό που γράφεις π.χ. για τον ορισμό της ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης.
Όμως:
Και η ελεύθερη πτώση είναι ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση, αλλά τη βγάζουμε από το τσουβάλι και της δίνουμε ειδικό ορισμό για να την ξεχωρίσουμε (και κάποιο λόγο θα έχουμε) από τις υπόλοιπες ομαλά μεταβαλλόμενες κινήσεις.
Και στην ελεύθερη πτώση ο ορισμός δίνεται με βάση τη δύναμη ή κάνω λάθος;
Έτσι και από όλες τις Αρμονικές Ταλαντώσεις ξεχωρίσαμε εκείνη που ονομάσαμε Απλή Αρμονική Ταλάντωση.
Η ΑΑΤ είναι αρμονική ταλάντωση, αλλά κάθε αρμονική ταλάντωση δεν είναι ΑΑΤ.
Όπως και η ελεύθερη πτώση είναι ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση, αλλά κάθε ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση δεν είναι ελεύθερη πτώση.
Βαγγέλη,
Στο βιβλίο της Γ Λυκείου διαβάζω:
«Η απλή αρμονική ταλάντωση είναι μια ειδική περίπτωση γραμμικής ταλάντωσης» (σελ. 9)
Το «γραμμική» έχει να κάνει αποκλειστικά με το είδος της τροχιάς (ευθεία γραμμή), το αναφέρει δυο σειρές πιο πάνω.
Το «απλή» είναι προσδιορισμός στο «αρμονική», προφανώς για να την ξεχωρίσει από τις υπόλοιπες αρμονικές.
Το «γραμμική» και το «απλή» δε θεωρώ πως υποδηλώνουν το ίδιο πράγμα, όπως διαβάζω στο βιβλίο σου της Β Γενικής, σελίδα 202-203 (τα έντονα δικά μου):
«Τέτοιες ταλαντώσεις όπου η κίνηση του σώματος είναι ευθύγραμμη λέγονται γραμμικές ταλαντώσεις. Μια τέτοια, ειδικής μορφής, ταλάντωση είναι η γραμμική (ή απλή) αρμονική ταλάντωση […]»
Το τι συνεπάγεται ο προσδιορισμός «απλή» για τη συνισταμένη δύναμη, τη διαφορική εξίσωση και την ενέργεια, το έχουν γράψει πολλοί, υπάρχουν άπειρα δείγματα γραφής μέσα στο δίκτυο και όχι μόνο (ένα έδωσε πριν ο Ανδρέας και τον ευχαριστώ).
Εγώ τα διάβασα, με έπεισαν και τα αποδέχτηκα.
Εσύ επιμένεις σε αυτό που έγραψες στο βιβλίο της Β και θέλεις να αναιρέσεις ό,τι συζητάμε στο δίκτυο για χρόνια.
Δεν έχω τίποτε άλλο να πω, παρά να ρίξεις μια ματιά εδώ.
Νίκο,
Με βάση όσα έγραψα παραπάνω στο Βαγγέλη, στο αρμονικό κύμα τα σημεία του μέσου κάνουν αρμονική ταλάντωση, αλλά όχι απλή αρμονική ταλάντωση.
Γι’ αυτό είπα το πρωί πως ο ορισμός της ΑΑΤ δεν είναι αυτός που δίνεις.
Αν δεν το αποδέχεσαι αυτό, μπορείς να ρίξεις, αν θέλεις, μια ματιά στην ίδια συζήτηση που παρέπεμψα και το Βαγγέλη.
Δεν καταλαβαίνω όμως από πού συμπεραίνεις το τελευταίο:
«Τώρα, σύμφωνα με τη θεωρία "η πλειοψηφία έχει δίκιο" αυτό αναιρείται. Όχι και πως μ΄ ενδιαφέρει και πολύ δηλαδή, αλλά δικαιώνεται τελικα το θέμα;»
Το φετινό θέμα Γ ήταν λάθος και δε νομίζω, στο δίκτυο τουλάχιστον, να υποστήριξε κανείς το αντίθετο. Δεν μπορούμε να ξεσηκώνουμε τη θεωρία της ΑΑΤ και να την εφαρμόζουμε όπου να ναι.
Θα επανέλθω και με κάτι ακόμα σχετικά με την αφιέρωση που μου έκανες.
Επειδή βλέπω να επανέρχεται θέμα για την ΑΑΤ και πότε και αν ο ορισμός και πως και γιατί, μια τοποθέτηση του Φεβρουαρίου του 2010.
Το κείμενο δόθηκε με αφορμή τη συζήτηση για το βιβλίο του Μαχαίρα, τη διεύθυνση της οποίας έδωσε παραπάνω η Ελευθερία και συγκεκριμένα εδώ.
Περί κινηματικής ο λόγος.
Γειά σου Ελευθερία! Βλέπεις εγώ και ευχαριστώ σου είπα, και αφιέρωση σου έκανα γιατί περίμενα να μου φερθείς πιο ανθρώπινα. Γιατί ανάποδος μπορεί να είμαι, κακός όμως όχι.
Ο προσδιορισμός απλή πιστεύω ότι μπαίνει για να ξεχωρίσει αυτή την ταλάντωση από την εξαναγκασμένη. Τώρα, όσον αφορά τις ενέργειες που γίνεται τόση συζήτηση: είναι λάθος να συγκρίνουμε την ενέργεια ταλάντωσης ενός τμήματος dx της χορδής με την ενέργεια του ΑΑΤ. Ένα εγκάρσιο κύμα δεν αποτελείται από ανεξάρτητους ταλαντωτές.
α, ρε θηρίο, Ελευθερία!
ήμουν σίγουρος ότι θα είχες "άσσο στο μανίκι" την ελεύθερη πτώση (την είχε επικαλεστεί και παλιά ο Θοδωρής, τότε που στο δίκτυο ήμασταν λίγοι, κάπου το 2010, την είχα υπ' όψη μου και τη μεγάλη συζήτηση που παραπέμπεις για το "λάθη και παραλείψεις"), άλλη, πάντως περίπτωση δεν γνωρίζω
πράγματι "οι συνταγές" δεν πετυχαίνουν παντού…
επανέρχομαι, άρα, με άλλο καραμπινάτο παράδειγμα ορισμού της δικής μου "οπτικής γωνίας", με βάση δηλαδή τα αποτελέσματα που εισπράττει ένας παρατηρητής και όχι την (ή τις) αιτία που τα προκαλεί και που, άλλωστε, είναι και αρμοδιότητα του νόμου, αν κάποτε τον βρούμε: ομαλή κυκλική ονομάζεται η κίνηση…σε ίσους χρόνους διατρέχει ίσα τόξα και όχι … που η συνισταμένη των δυνάμεων είναι κεντρομόλα, δηλαδή…
ηθικόν δίδαγμα: εξακολουθώ να μη διακρίνω διαφορά ανάμεσα στη γραμμική και την απλή αρμονική ταλάντωση, και, σε κάθε περίπτωση, λειτουργώντας ως μαθητής (και όχι ως πεισματάρης γέρων, που, μάλιστα, σήμερα ανανέωσε για δεύτερη φορά (!) το δίπλωμα οδήγησης και αισθάνεται “κάπως”…) δεν βλέπω σε κανένα επίσημο σχολικό βιβλίο τον ορισμό ούτε της μιας, πλέον, ούτε της άλλης
ας δώσει κάποιος τους ορισμούς και ας επισημάνει τις διαφορές
ποτέ δεν είναι αργά για να αναθεωρήσει κάποιος τις απόψεις του (αυτό το γράφω για να …αυτοπαρηγορηθώ, διότι η, για δεύτερη φορά, ανανέωση του διπλώματος δεν είναι και μικρό χτύπημα…)
Είναι λάθος να συγκρίνουμε την ενέργεια ταλάντωσης ενός τμήματος dx της χορδής με την ενέργεια του ΑΑΤ.
Περίεργο αυτό που λες, Νίκο, γιατί μου έδωσες την εντύπωση ότι αυτό ακριβώς προσπαθούσες να κάνεις.
Να βγάλεις δυναμική ενέργεια του τμήματος dx της χορδής όμοια με της ΑΑΤ.
Μισό να το ξαναδώ, τελειώνοντας και αυτό που γράφω.
Εξέφρασα, λοιπόν, Ελευθερία την εξής άποψη: αν ζητήσουμε το πεδίο δυναμικής ενέργειας του οποίου η αρνητική παράγωγος ως προς y δίνει την δύναμη επαναφοράς ενός στοιχειώδους τμήματος της χορδής στην διάδοση ενός αρμονικού εγκάρσιου κύματος, αυτό είναι ανάλογο του y, έχει δηλαδή τη μορφή που έχει και σε ένα ΑΑΤ. Αυτό δεν σήμαινε ότι το στοιχειώδες αυτό τμήμα είχε μια μηχανική ενέργεια που ήταν το άθροισμα της δυναμικής που όρισα με αυτό τον τρόπο και της κινητικής, οριζόμενης με το συνηθισμένο τρόπο. Είναι λίγο μετέωρο τι εννοούμε σαν δυναμική ενέργεια. Εγώ εννοούσα την ενέργεια ενός φανταστικού πεδίου. Αλλά στο απόσπασμα από το βιβλίο του Butkov που εξέθεσα, η δυναμική ενέργεια εγκάρσια δονούμενου τεντωμένου σύρματος είναι αυτή που προκύπτει από το σύνολο των αλληλεπιδράσεων όλων των μερών του. Βέβαια ο Butkov δεν υπολόγισε αυτό το σύνολο των αλληλεπιδράσεων. Αρχικά υπολόγισε τον ρυθμό μεταβολής της ολικής ενέργειας. Μετά αφαίρεσε από αυτόν το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας. Κατά συνέπεια ότι έμεινε το ονόμασε ρυθμό μεταβολής της δυναμικής ενέργειας. Η δυναμική ενέργεια προέκυψε με αόριστη ολοκλήρωση ως προς το χρόνο.
Μπερδεύτηκα σε δυο θέματα:
Το 1 αφορά της ομοιότητες και τις διαφορές της μέσης πυκνότητα q και της συνάρτησης πυκνότητας ( ή μήπως κατανομής ) q(x,t) ;
To 2 αφορά την ερμηνεία των ενεργειακών πάρε δώσε
1 ) Νόμιζα ότι αν έχω μια συνεχή συνάρτηση κατανομής του μεγέθους Α ως συνάρτηση του x και ολοκληρώσω από x=a ως x=b λαμβάνω την ποσότητα του μεγέθους Α στο διάστημα (a,b) .
Επίσης νόμιζα ότι κανείς φυσικός ( κανείς φυσικός ή μαθηματικός ..αλά δεν παίρνω και όρκο ) δεν θα μπέρδευε την χρήση της πυκνότητας ως συνάρτηση q(x) με χρήση της μέσης πυκνότητας του Α η οποία ασφαλώς δεν περιέχει καμιά πληροφορία για την ποσότητα Α σε κάποιο μικρό υποσύνολο του διαστήματος επί του οποίου υπολογίστηκε η μέση πυκνότητα …
2)Δεν τον καταλαβαίνω τον καθηγητή Ευγένιο
Όταν υπολογίζει τη καθαρή ροή ενέργειας σε ένα απειροστού μήκους τμήμα χορδής δεν έχει πρόβλημα να μιλήσει για όρια εντός του οποίου εισέρχεται και εξέρχεται κάποια μορφή ενέργειας που είναι μηχανική αλλά δεν είναι Κινητική.
Αλλά μόλις ονομαστεί Potential Energy ξαφνικά απεντοπίζεται διότι όταν ονομαστεί Potential πρέπει να αποδοθεί σε ένα συστημα πεδίου-αντικειμένου … ( λες και μεγέθη που χρησιμποιήθηκαν – όπως η δύναμη Τ – είναι μέγεθη κατάλληλα για περιγραφή συστήματος πεδίου αντικειμένου )
Τελικά ήταν ποσότητα ενέργειας που εισήλθε μέσω των ορίων ενός τμήματος χορδής όπως αρχικά θεωρήθηκε ; Ή ήταν μια αυθαίρετη μαθηματική οντότητα στο κεφάλι του Ευγένιου που μόλις βαφτίστηκε potential energy απεντοπίστηκε και είναι πλέον όλης της χορδής;
Αντιπροτείνω να μην την ονομάσει potential energy … ας την ονομάσει "contingent energy", ή "eventual energy" ή "pyr" ή "Divine Breath"….και είμαι σίγουρος πως δεν θα υπάρχει κανένα πρόβλημα αρκεί αυτή η διαφορά "αντεβρέστης" που εισήλθε από τα όρια του τμήματος, μείον αυτής που εξήλθε από τα όρια, να είναι ίση με την καθαρή μεταβολή της "αντεβρέστης" … διότι αυτό ονομάσαμε "αντεβρέστη" : "Αντεβρέστη" είναι αυτή που ποτέ δεν χάνεται".
Αν λοιπόν η "αντεβρέστη" που εισήλθε στο "δx" μειον την αντεβρέστη που εξήλθε από το "δx" ξαφνικά βρέθηκε απεντοπισμένη σε όλο το "ΔΧ" κάποια απόδραση διέλαθε της προσοχής μας.
Βέβαια αυτά είναι φιλοσοφίες του αέρα … δεν είναι μαθηματικά.
Ομολογώ πάντως ότι υπάρχουν πολύ αξιοσέβαστοι και αξιοθαύμαστοι δάσκαλοι ( θρύλοι όπως ο κ. H.J.Pain in Imperial College of Science & Technology – London ) οι οποίοι γράφουν ότι : "…If we consider each unit length, mass dm, of the string as a simple harmonic oscillatorof maximum amplitude A, we know that its total energy will be E =1/2 ρ(ω^2)(A^2) where ω is the wave frequency …"
Και αυτό σίγουρα και προφανώς δεν είναι σωστό … διότι αν είναι σωστό τότε η dm ούτε δίνει ούτε παίρνει ενέργεια ( ή όση δίνει τόση παίρνει) και συνεπώς σε αυτήν την περίπτωση δεν έχω ροή ενέργειας ούτε ροή ορμής … Οπότε η διάδοση είναι τελικά μια εξίσωση στο βιβλίο που συνδέει την χρονική μεταβολή του σημαινόμενου δια του συμβόλου y με την χωρική μεταβολή του σημαινόμενου δια του συμβόλου y
Δικαίωμα στην παρανόηση ή στην κακή διατύπωση έχουν και οι ημίθεοι … πόσο μάλλον ο Pain ή …
…πόσο μάλλον εγώ
Δημήτρη, τον έχεις παρεξηγήσει τον κακομοίρη τον Ευγένιο, γιατί κάνει καλούς υπολογισμούς. Και, θα το γράψω να το διαβάσει κι η Ελευθερία, με έχει επηρεάσει περισσότερο από τον Αντωνίου. Άλλωστε σ΄ αυτήν την ανάρτηση που έκανα πριν κάμποσο καιρό, ακολούθησα τη δική του μέθοδο προσδιορισμού της ενέργειας τμήματος χορδής: ο ρυθμός μεταβολής της ισούται με εισερχόμενη μείον εξερχόμενη ροή ενέργειας. Βέβαια, αυτό που κατονομάζει δυναμική ενέργεια είναι μια ενέργεια που δεν είναι ξεκάθαρο αν πρέπει να λέγεται δυναμική ή αντεβρέστη, αλλά μας έχουν μάθει από το σχολείο ότι όλα τα μηχανικά συστήματα έχουν δυο ειδών ενέργεια: κινητική και δυναμική.
Το πρόβλημα συσχετισμού της μέσης τιμής με την τοπικη τιμή πυκνότητας δυναμικής ενέργειας, με απασχόλησε και μένα. Γιατί αν το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης του x είναι η ενέργεια, πως μπορεί να είσαι βέβαιος ότι η συνάρτηση είναι η πυκνότητα ενέργειας;
Ο μόνος λογος μπορεί να είναι ότι δεν βρίσκεις καμιά καλύτερη.
Αγαπητέ Νίκο,
(επίτρεψέ μου να παραθέσω και πάλι κάποια κομμάτια από όσα έχεις γράψει, τα έντονα και οι υπογραμμίσεις δικά μου σε όσα μέρη μού έκαναν εντύπωση, εστιάσε σε αυτά)
Γράφεις το πρωί:
«Είναι ξεκάθαρο ότι τα σημεία της χορδής στην οποία διαδίδεται αρμονικό κύμα κάνουν ΑΑΤ και κατά συνέπεια οι ενεργειακές σχέσεις είναι αυτές που γνωρίζουμε από το κεφάλαιο της ΑΑΤ»
Γράφεις τώρα:
«Είναι λάθος να συγκρίνουμε την ενέργεια ταλάντωσης ενός τμήματος dx της χορδής με την ενέργεια του ΑΑΤ»
Έγραψες σε προηγούμενο σχόλιο:
«Η βασική μου άποψη, όπως την έχω εκθέσει αρκετές φορές, είναι να μη συγχέουμε τη δυναμική ενέργεια με την ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης».
Και όλα αυτά επισφραγίζονται με αυτά που σχολιάσα το πρωί:
«Η δυναμική ενέργεια προϋποθέτει την ύπαρξη πεδίου δύναμης. Στην απλή αρμονική ταλάντωση σώματος σε ελατήριο, δεν υπάρχει μεν πεδίο δύναμης, αλλά είναι σαν να υπάρχει γιατί αυτό που κάνει το ιδανικό ελατήριο είναι να υποκαθιστά το πεδίο δύναμης F(x)=-Dx.
Στα εγκάρσια κύματα σε χορδή δεν υπάρχει πεδίο δύναμης. Η δύναμη που ασκείται σε σημείο της χορδής καθώς κινείται στην εγκάρσια κατεύθυνση, δεν εξαρτάται από γεωμετρικές συντεταγμένες (δηλ. x, y, z). Άρα δεν υπάρχει δυναμικη ενέργεια.
Αλλά η παραπάνω δύναμη είναι ανάλογη της δεύτερης μερικής παραγώγου της εγκάρσιας απομάκρυνσης ως προς x. Τι συμβαίνει στις ειδικές περιπτωσεις που αυτή η παράγωγος είναι συνάρτηση της εγκάρσιας απομάκρυνσης (δηλ. του y); Ορίζεται δυναμική ενέργεια σ΄ αυτή την περίπτωση; Αν ναι, τότε θα μπορούσε να οριστεί δυναμική ενέργεια στο αρμονικό εγκάρσιο κύμα γιατί τότε η δεύτερη μερική παράγωγος είναι ανάλογη του y.»
Αλλά και με όσα διαβάζω στο αφιέρωμα:
«Επιπλέον της κινητικής ενέργειας, η δονούμενη χορδή κατέχει επίσης δυναμική ενέργεια.
Ωστόσο, δεν μπορούμε με κανένα τρόπο να πούμε πόση δυναμική ενέργεια περιέχει κάθε στοιχείο dx, γιατί η δυναμική ενέργεια οφείλεται σε αμοιβαία αλληλεπίδραση όλων των στοιχείων της χορδής.»[…]
Λέει δηλαδή συνάδελφοι ο Butkov ότι (αντίθετα με τον Ευταξία): δεν μπορούμε να μιλάμε για ιδιοενέργεια στοιχειωδών τμημάτων της χορδής. Θα συμφωνήσω με τον Butkov …»
Με αποκορύφωμα αυτό που διάβασα στο τελευταίο σου σχόλιο:
Εγώ εννοούσα την ενέργεια ενός φανταστικού πεδίου.
…………
Είδα από την αρχή ότι προσπαθείς να ορίσεις μια ανύπαρκτη δυναμική ενέργεια για τα σημεία της χορδής, πέρα από την ενέργεια που έχουν λόγω της παραμόρφωσής της.
Ρωτώ το γιατί.
Ενέργεια ενός φανταστικού πεδίου, να την κάνεις τι;
Επιχειρείς να την ορίσεις με τη …μαθηματική σχολή, χαρακτηρίζεις λάθος να τη συγκρίνουμε με την ενέργεια της ΑΑΤ, επιμένεις όμως ότι τα τμήματα κάνουν ΑΑΤ, συμφωνείς με τον Butkov ότι η χορδή έχει δυναμική ενέργεια που οφείλεται στην αλληλεπίδραση των τμημάτων, αλλά προτρέπεις να μη τη συγχέουμε με την ελαστική ενέργεια παραμόρφωσης και επιχειρείς να βρεις άλλη φανταστικού πεδίου σε μεμονωμένη περίπτωση, μιας και γενικά στα εγκάρσια κύματα λες ότι δεν υπάρχει πεδίο δύναμης, άρα δεν υπάρχει δυναμική ενέργεια.
Με συγχωρείς πολύ, Νίκο, αλλά εμένα όλα αυτά που φαίνονται αλληλοσυγκρουόμενα και συγκεχυμένα.
Και θέτω τα ερωτήματα:
1) Η στοιχειώδης μάζα του τμήματος χορδής, όπου διαδίδεται αρμονικό κύμα, κάνει ή δεν κάνει ΑΑΤ;
2) Αν όμως κάνει ΑΑΤ, τότε γιατί δεν μπορούμε με κανένα τρόπο, σύμφωνα με τον Butkov, να πούμε πόση δυναμική ενέργεια περιέχει κάθε στοιχείο dx, αφού αυτή είναι εντελώς καθορισμένη και μάλιστα της μορφής U= ½ Dy2, όπου αυτή η σταθερά D δεν εξαρτάται από τη συχνότητα της πηγής, αλλά οφείλεται σε μια χωροεξαρτώμενη δύναμη επαναφοράς;
3) Η ελαστική ενέργεια παραμόρφωσης είναι ή δεν είναι δυναμική; (το δεν υπάρχει μεν πεδίο δύναμης, αλλά είναι σαν να υπάρχει δεν το δέχομαι…)
Και αν δεν είναι δυναμική, τότε η κίνηση σώματος στο άκρο ελατηρίου είναι τελικά ή δεν είναι ΑΑΤ;
Και αν είναι δυναμική, τότε γιατί ως δυναμική ενέργεια της χορδής δε σου κάνει η ενέργεια παραμόρφωσης λόγω της αλληλεπίδρασης των τμημάτων της και ψάχνεις να ορίσεις άλλη δυναμική ενέργεια φανταστικού πεδίου;
Nα την κάνεις τι;
Προσπαθείς με αυτή να σώσεις κάτι (ας πούμε θέματα σαν το φετινό Γ) ή απλά να κάνεις τη διαφορά;
ΥΓ. Σ’ ευχαριστώ για την αφιέρωση… αλλά το ξέρεις ότι πάντα είμαι ανθρώπινη…
Ελευθερία μου έδωσες μεγάλο homework και δεν θα μπορέσω να το απαντήσω με μιας. Θα προσπαθήσω σ΄ αυτή την απάντηση να απαντήσω ένα μέρος του. Σε επόμενες ίσως απαντήσω το υπόλοιπο.
Στο εγκάρσιο αρμονικό κύμα κάθε μικρό κομμάτι της χορδής κάνει ΑΑΤ. Η συνισταμένη δύναμη στο κομμάτι είναι της μορφής -Dy, όπως απαιτείται για ΑΑΤ στον άξονα y. Αυτό συμβαίνει γιατί, ειδικά στο αρμονικό εγκάρσιο κύμα, η δεύτερη μερική παράγωγος του y ως προς x είναι ανάλογη του -y (θυμάσαι τους κανόνες παραγώγισης αρμονικών συναρτήσεων).
Επομένως έχουμε ένα σώμα (το στοιχείο dx) που κάνει μια ταλάντωση στην οποία η δύναμη επαναφοράς είναι της μορφής: F(y)=-Dy. Έχουμε επομένως κάθε δικαίωμα να ορίσουμε μια δυναμική ενέργεια που η αρνητική της παράγωγος να δίνει την δύναμη. Αυτή δεν είναι άλλη από την 1/2 D y^2+C. Αυτή είναι η φανταστική δυναμική ενέργεια, όπως την ονόμαζα.
Με δυναμική ενέργεια αυτή τη συγκεκριμένη και κινητική αυτή που ορίζουμε κανονικά σαν κινητική, το στοιχείο dx κάνει ΑΑΤ διατηρώντας την ενέργεια.
Από την άλλη μεριά, αν ορίζαμε αυτή τη δυναμική ενέργεια σε κάθε κομματάκι dx της χορδής, θα διαπράταμε το ολέθριο σφάλμα να χωρίζαμε τη χορδή σε ένα μεγάλο αριθμό από ανεξάρτητους ΑΑΤ. Αν δηλαδή ο καθένας απ΄ αυτούς είχε σταθερή μηχανική ενέργεια, η χορδή θα είχε σταθερή ενέργεια που θα ήταν το άθροισμα των ενεργειών αυτών των ταλαντωτών. Βέβαια η χορδή δεν έχει σταθερή ενέργεια. Επομένως η δυναμική ενέργεια που ορίσαμε για το στοιχείο dx, δεν είναι η πραγματική δυναμική του ενέργεια.
Ποιά είναι λοιπόν η πραγματική δυναμική ενέργεια του στοιχείου dx; Η απάντηση είναι ότι δεν υπάρχει. Στη δονούμενη τεντωμένη χορδή μπορεί να οριστεί μια ποσότητα που αφορά σε ολόκληρη τη χορδή και αυτή να την πούμε "δυναμική ενέργεια της χορδής" ή "ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης" ή όπως άλλιώς θέλεις. Αν μάλιστα αυτή ορίζεται σαν το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης των x και t μπορούμε να κάνουμε ένα ακόμα βήμα: να θεωρήσουμε την ολοκληρωτέα σαν "πυκνότητα δυναμικής ενέργειας στο σημείο x τη στιγμή t". Έτσι κάνει ο Butkov. Τώρα το πως θα εξασφαλίσουμε ότι αυτή η πυκνότητα ορίστηκε μονοσήμαντα έτσι όπως ορίστηκε είναι "άλλου παπά ευαγγέλιο".
Τα υπόλοιπα αύριο. Bye for now.
Καλημέρα σε όλους.
Ο Θρασύβουλος Μαχαίρας μου έστειλε ένα κείμενο – παρέμβαση στο θέμα που συζητάμε:
Καλημέρα Νίκο
Ο σύνδεσμος που παραπέμπει το κείμενο με κλικ εδώ.
Πάμε τώρα; σε άλλο θέμα:
Έγραψες σε προηγούμενο σχόλιο:
«Η βασική μου άποψη, όπως την έχω εκθέσει αρκετές φορές, είναι να μη συγχέουμε τη δυναμική ενέργεια με την ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης».
Υπάρχουν δύο είδη δυναμικης ενέργειας: η δυναμική ενέργεια ενός σώματος σε πεδίο δύναμης και η δυναμική ενέργεια ενός συστήματος σωμάτων που βρίσκονται σε αμοιβαία αλληλεπίδραση. Η δυναμική ενέργεια μια τεντωμένης χορδής ανήκει σε κάποιο από αυτά τα δύο είδη; Μάλλον όχι, γι' αυτό καλύτερα να την πούμε κάπως αλλιώς.
Επειδή όμως έχει επικρατήσει να τη λέμε κι αυτή δυναμική ενέργεια, κάποιοι συγγραφείς στα βιβλία τους "ξεφεύγουν από τον ορθό δρόμο" και την καλούν έτσι. Για την ακρίβεια "ακολουθούν τον ορθό δρόμο του marketing".
Συνεχίζω με τα επόμενα λάθη που μου καταλογίζονται (από την Ελευθερία αρχικά, θα ασχοληθώ όμως και με τον Θρασύβουλο).
Και όλα αυτά επισφραγίζονται με αυτά που σχολιάσα το πρωί:
«Η δυναμική ενέργεια προϋποθέτει την ύπαρξη πεδίου δύναμης. Στην απλή αρμονική ταλάντωση σώματος σε ελατήριο, δεν υπάρχει μεν πεδίο δύναμης, αλλά είναι σαν να υπάρχει γιατί αυτό που κάνει το ιδανικό ελατήριο είναι να υποκαθιστά το πεδίο δύναμης F(x)=-Dx.
Σε μια άκρως μαθηματικοποιημένη εκδοχή της φυσικής, δεν θα μελετούσαμε την "κίνηση σώματος δεμένου σε ελατήριο" αλλά την "κίνηση σώματος στο πεδίο δύναμης F(x)=-Dx." Αυτό που ουσιαστικά κάνει το ελατήριο στο σώμα είναι να το κάνει να νομίζει ότι κινείται σ΄ αυτό το πεδίο δύναμης. Αλλά η γενίκευση είναι καλή γιατί αυτό το πεδίο δύναμης δεν πραγματοποιείται μόνο με ελατήριο. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι πραγματοποίησης. Θα μπορούσαμε να κατασκευάσουμε ηλεκτρικά ή βαρυτικά πεδία στην ύλη που να πραγματοποιούν αυτό το πεδίο δύναμης. Ο μαθητής βέβαια αρχίζει να μαθαίνει την κίνηση σώματος σε ελατήριο, αλλά σε ένα πιο προχωρημένο στάδιο αντιλαμβάνεται ότι αυτό που έχει σημασία είναι ο νόμος δύναμης και όχι το ελατήριο καθεαυτό.
You quoted also (επεσήμανες επίσης):
Στα εγκάρσια κύματα σε χορδή δεν υπάρχει πεδίο δύναμης. Η δύναμη που ασκείται σε σημείο της χορδής καθώς κινείται στην εγκάρσια κατεύθυνση, δεν εξαρτάται από γεωμετρικές συντεταγμένες (δηλ. x, y, z). Άρα δεν υπάρχει δυναμικη ενέργεια.
Αλλά η παραπάνω δύναμη είναι ανάλογη της δεύτερης μερικής παραγώγου της εγκάρσιας απομάκρυνσης ως προς x. Τι συμβαίνει στις ειδικές περιπτωσεις που αυτή η παράγωγος είναι συνάρτηση της εγκάρσιας απομάκρυνσης (δηλ. του y); Ορίζεται δυναμική ενέργεια σ΄ αυτή την περίπτωση; Αν ναι, τότε θα μπορούσε να οριστεί δυναμική ενέργεια στο αρμονικό εγκάρσιο κύμα γιατί τότε η δεύτερη μερική παράγωγος είναι ανάλογη του y.»
Το πεδίο δύναμης, όπως το μάθαμε τουλάχιστον στη θεμελιώδη φυσική, είναι συνάρτηση των x, y, z. Τι θα συνέβαινε αν μια χορδή τεντωμένη στον x- άξονα ακολουθούσε στην κίνησή της κάποιο πεδίο δύναμης; Αυτό θα ήταν ένα πεδίο της μορφής F(y(x)), δηλ. ένα πεδίο με άπειρες ουσιαστικά μεταβλητές, τις y(x1), y(x2),….Αυτό θα διευκόλυνε τη μελέτη γιατί θα μπορούσαμε για παράδειγμα να γράψουμε μια Χαμιλτονιανή.
Αλλά, αν χωρίσουμε τη χορδή σε στοιχειώδη τμήματα, το καθένα από αυτά δεν κινείται σε πεδίο της μορφής F(y(x)). Το όρισμα είναι μια παράγωγός και όχι μια γεωμετρική συντεταγμένη. Αν και πιστεύω ότι μπορούμε να εφαρμόσουμε την Λαγκραντζιανή μεθοδολογία ακόμα κι αν έχουμε πεδία τέτοιας μορφής, δεν το έψαξα καθόλου. Αλλά ενδέχεται να το ψάξω και να επανέλθω.
Αν το κύμα στη χορδή είναι αρμονικό, αυτό διευκολύνει λίγο την κατάσταση γιατί ορίζεται πεδίο δυναμης F(y(x)). Αφού ορίζεται πεδίο δύναμης, ορίζεται και δυναμική ενέργεια για τον ταλαντωτή. Θα έπρεπε να περιμένουμε ότι το ολοκλήρωμα αυτής της ενέργειας σε όλη τη χορδή να είναι η δυναμική ενέργεια της χορδής. Αλλά δεν είναι κι αυτό μου φέρνει σύγχιση.