Η ενέργεια και η ισχύς σε ένα αρμονικό κύμα.

Καλησπέρα συνάδελφοι

Παρόλο που ήθελα να το αποφύγω τέτοιον καιρό, διάφορα σχόλια με ώθησαν να διαβάσω την ανάρτηση και τη συζήτηση.

Έτσι, θέλω να ευχαριστήσω το Διονύση Μάργαρη, το Γιάννη Κυριακόπουλο, το Νίκο Παναγιωτίδη και το Θρασύβουλο Μαχαίρα για όσα αποκομίσαμε από την όρεξή τους να ασχοληθούν με το θέμα. Οπωσδήποτε τα περισσότερα από όσα διδάσκουμε για τα κύματα υπάρχουν μόνο …βαθιά στο κεφάλι των φυσικών της δευτεροβάθμιας και θα ήταν πιο τίμιο το κεφάλαιο να λεγόταν «τριγωνομετρία σε άξονα».

Παρόλο που είμαι «φρέσκος» στο θέμα και μπορεί να διατηρώ ακόμα παλιές προκαταλήψεις και καθώς δεν έχω μαζί μου βιβλία, θα ήθελα να γράψω κάποιες σκέψεις που με απασχόλησαν από χθες το απόγευμα. Εφόσον προκύπτουν αρκετές αντιφάσεις, θεωρώ ότι οι συλλογισμοί μου έχουν κάποιο πρόβλημα. Ποιο όμως είναι το πρόβλημα αυτό;

Πρώτα όμως, αισθάνομαι την ανάγκη για ένα σχόλιο: Με το συνάδελφο Νίκο Παναγιωτίδη έχω πολλές φορές έρθει σε αντίθεση για τις ερμηνείες φαινομένων ή απόψεις σε διάφορα θέματα, αλλά τις επιστημονικές του ικανότητες δεν τις αμφισβήτησα ποτέ ούτε εγώ, ούτε κανένας άλλος. Συνάδελφοι, είναι άλλο οι διαφωνίες στον ορισμό της δυναμικής ενέργειας ή στο αν μια ποσότητα είναι δυναμική ενέργεια ή αν προηγείται η θεωρία ή το πείραμα και άλλο οι διαφωνίες στον υπολογισμό μιας ποσότητας σε ένα συγκεκριμένο πρόβλημα. Κατά τη γνώμη μου και ανεξάρτητα από τον επιθετικό τρόπο που έθεσε το θέμα ή τις διαφωνίες μου μαζί του, οι ενστάσεις σημαίνουν ότι το θέμα παρουσιάζει προβλήματα που δεν θα πρέπει να τα βάζουμε κάτω από το χαλί. Ακόμα και αν τα προβλήματα δεν αποτελούν παρά δικές μας αδυναμίες να κατανοήσουμε τι συμβαίνει.

Οι συλλογισμοί:

• Η χορδή μελετάται ως συνεχής κατανομή μάζας. Η απόδειξη της κυματικής εξίσωσης προκύπτει θεωρώντας ως στοιχειώδες τμήμα της χορδής ένα τμήμα μήκους dl και μάζας dm και όχι υλικό σημείο χορδής και με τις παραδοχές που αναφέρονται (σταθερή τάση κλπ). Έτσι, η κίνηση του υλικού σημείου, η ενέργεια του υλικού σημείου κλπ, δεν έχουν νόημα, ακόμα και αν χρησιμοποιούνται στη διδασκαλία για διευκόλυνση των μαθητών. Κατά συνέπεια, έννοιες όπως «πυκνότητα ενέργειας» δεν αφορούν την ενέργεια του υλικού σημείου στη θέση x, αλλά την ενέργεια ανά μονάδα μήκους σε στοιχειώδες τμήμα μετά το x.

• Η συνισταμένη δύναμη που δέχεται το στοιχειώδες τμήμα της χορδής δεν είναι η τάση της χορδής, αλλά το διανυσματικό άθροισμα: Τ(x+dx)+ T(x). Αλλά το στοιχειώδες τμήμα της χορδής επιταχύνεται κατά τον y. Επομένως, ενώ κατά τον άξονα x η συνισταμένη δύναμη είναι μηδέν, κατά τον άξονα y η συνισταμένη δύναμη δεν μπορεί να είναι μηδενική.

• Μια από τις λύσεις που επιδέχεται η κυματική εξίσωση είναι τα αρμονικά κύματα, που εκτείνονται σε χορδή απείρου μήκους κλπ. Στην περίπτωση αυτή, η απομάκρυνση ενός στοιχειώδους τμήματος της χορδής, από x έως x+dx, είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου. Άρα, η ταχύτητα του στοιχειώδους τμήματος θα είναι υ=ωΑσυνφ(x,t). Έτσι, η κινητική ενέργεια του στοιχειώδους τμήματος θα είναι dΚ=1/2 dm.υ^2 και θα μεταβάλλεται περιοδικά με το χρόνο από μηδέν έως ½ dmω^2Α^2. Εφόσον αρχικά το τμήμα ήταν ακίνητο, η κινητική ενέργεια προσφέρθηκε από την υπόλοιπη χορδή (από το κύμα), μέσω του έργου των δυνάμεων που ασκούνται σ’ αυτό.

• Από την y=Aημφ(x,t) όμως, προκύπτει η επιτάχυνση α=-ω^2.y και ΣF=-dm.ω^2.y.

• Εξαιτίας των εξωτερικών δυνάμεων που δέχεται το στοιχειώδες τμήμα:
  • Η κίνηση που εκτελεί είναι αρμονική ταλάντωση. Αν οι δυνάμεις κατά τον y είναι διατηρητικές, μπορούμε να ορίσουμε τη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης dUταλ=1/2 dm ω^2. y= dUο.ημ^2φ(x,t). Αν οι δυνάμεις δεν είναι διατηρητικές, η ποσότητα αυτή έχει την ίδια αξία με την αντίστοιχη ποσότητα για τις τμηματικές ταλαντώσεις ενός σώματος που ταλαντώνεται στο άκρο ελατηρίου σε οριζόντιο επίπεδο με τριβή και δεν πρέπει να ονομάζεται δυναμική ενέργεια.
  • Μεταβάλλεται το μήκος του. Αν οι εσωτερικές δυνάμεις είναι διατηρητικές, η μεταβολή του μήκους μπορεί να συσχετιστεί με μεταβολή δυναμικής ενέργειας. Αλλά μεταξύ ποιων δομικών λίθων ασκούνται οι δυνάμεις αυτές; Το στοιχειώδες τμήμα έχει εσωτερική δομή και αποτελείται από άλλα …πιο στοιχειώδη τμήματα; Μήπως όμως η μεταβολή του μήκους συνδέεται με την απομάκρυνση με τέτοιο τρόπο, ώστε το τμήμα να αλλάζει θέση ενώ δέχεται διατηρητικές εξωτερικές δυνάμεις; Μα αν η τάση δεν είναι διατηρητική, ακόμα και αν η συνισταμένη των τάσεων στα άκρα του τμήματος μοιάζει να είναι, η «δυναμική ενέργεια» θα είναι και αυτή «οιονεί» δυναμική ενέργεια, όπως και η «ενέργεια ταλάντωσης».

• Αν αγνοήσουμε τα παραπάνω ερωτήματα και αποδεχτούμε δυναμική ενέργεια, η ενέργεια αυτή δεν θα ισούται με το έργο των εξωτερικών δυνάμεων, αφού η ενέργεια που προσφέρουν οι εξωτερικές δυνάμεις μετατρέπεται και σε κινητική.

• Τέλος, δεν μπορώ να αντισταθώ στον πειρασμό να γράψω μια αλχημεία που περνά από το μυαλό μου (παρακαλώ ευγενικά οι κριτικές): Αν αποδεχόμαστε και τις δύο «δυναμικές ενέργειες» (ταλάντωσης και ελαστικότητας), ανεξάρτητα αν είναι εικονικές ή έχουν φυσική σημασία και αν αποδεχτούμε τον υπολογισμό της δεύτερης, η συνολική ενέργεια του στοιχειώδους τμήματος είναι dE=dK+dUταλ+dUπαραμ. =dEταλ+dUπαραμ. Δηλαδή, σε κάθε τμήμα, κάθε στιγμή, βρίσκεται η ενέργεια εξαιτίας της ταλάντωσής του και η ενέργεια λόγω της παραμόρφωσής του. Η πρώτη παραμένει σταθερή, ενώ η δεύτερη είναι η ενέργεια που διαδίδεται με το κύμα.

Γεια σου Διονύση

Είχα δει το παράδειγμά σου με την ενέργεια του ελατηρίου και καθώς έγραφα είδα και την ανάρτηση με το ερώτημα για τις δυνάμεις που εκτείνουν ένα απομονωμένο ελατήριο (και για να πω σύντομα τη γνώμη μου, αν έχει μάζα αρκεί και μία δύναμη, αλλά αν θέλουμε το κέντρο μάζας να μην μετατοπιστεί – όπως συμβαίνει στο εγκάρσιο κύμα κατά τον x – χρειάζονται πάντα δύο (ο τοίχος που ενίοτε ασκεί τη μία "εμείς" είναι πάλι…)) και πριν λίγο είδα τη μελέτη του Σταματόπουλου και διάβασα και τα σχόλια. 

Νομίζω ότι κι εγώ αποκάλυψα τη δική μου "αμαρτία", τουλάχιστον για …σήμερα…

Ανεξάρτητα από τις προτιμήσεις μας, όμως, νομίζω ότι οι αντιφάσεις ή – τουλάχιστον – τα ερωτήματα παραμένουν… 

Καλησπέρα Θρασύβουλε

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις και για την προσπάθεια να μην επιτεθείς στο συνομιλητή. Ας παραβλέψουμε ότι δεν κατάφερες το δεύτερο ( 🙂 ) και ας ασχοληθούμε με το πρώτο.

Δυστυχώς, επειδή αυτές τις μέρες βρίσκομαι σε κίνηση, θα γράφω τμηματικά και με καθυστέρηση.

Θρασύβουλε, πριν επιτεθούμε ας διαβάζουμε με λίγη προσοχή τα κείμενα που έχουμε μπροστά μας. Η φράση μου «Το στοιχειώδες τμήμα έχει εσωτερική δομή και αποτελείται από άλλα …πιο στοιχειώδη τμήματα;» έχει ερωτηματικό και ΠΡΟΦΑΝΩΣ σημαίνει ότι αυτό δεν γίνεται! Αυτό που γράφω είναι ότι το στοιχειώδες ΔΕΝ υποδιαιρείται σε άλλα «πιο στοιχειώδη»! Άδικα λοιπόν μου εξαπολύεις επίθεση. Θα σε παρακαλέσω λοιπόν να διαβάσεις ξανά το κείμενο, γιατί υπάρχει ο κίνδυνος να έχουν γίνει και άλλες παρανοήσεις… 

Λίγα λόγια για την έννοια του σημείου και την πυκνότητα ενέργειας

Θρασύβουλε, την απόδοση μήκους σε σημείο δεν την έχω ξανασυναντήσει. Υποθέτω ότι χρησιμοποιείς τη φράση «υλικό σημείο» με την έννοια «στοιχείο χορδής» ή κάτι παρόμοιο. Παρόλα αυτά, δεν θα συμφωνήσω (και αν ήμουν εσύ θα σε είχα στείλει για 40 μετάνοιες 🙂 ). Επειδή όλοι ξέρουμε ότι άλλο πράγμα είναι ένα μήκος που τείνει στο μηδέν και άλλο ένα σημείο που έχει εξ ορισμού μηδενικό μήκος, επειδή όλοι ξέρουμε ότι αυτό που τείνει στο μηδέν ΔΕΝ είναι μηδέν, νομίζω ότι έγραψες βιαστικά τις σκέψεις σου…

Από αυτό όμως προκύπτουν και τα υπόλοιπα για την πυκνότητα ενέργειας (για την οποία βέβαια τα εισαγωγικά δεν ήταν για να την υποτιμήσουν). Δεν θα μπορούσα να διαφωνώ με το ότι η πυκνότητα ενέργειας είναι συνάρτηση του x και του t.

Όμως, η διατύπωση «έννοιες όπως «πυκνότητα ενέργειας» δεν αφορούν την ενέργεια του υλικού σημείου στη θέση x, αλλά την ενέργεια ανά μονάδα μήκους σε στοιχειώδες τμήμα μετά το x», εκτός από την προσπάθεια εννοιολογικού διαχωρισμού του συνεχούς μέσου από το σύνολο υλικών σημείων, είχε σκοπό να αποφύγει και μια άλλη παρανόηση: Μεταξύ δύο σημείων Α, Β ενός συνεχούς μέσου, υπάρχουν άπειρα μαθηματικά σημεία. Όταν μιλάμε για πυκνότητα σε ένα σημείο, εννοούμε την ενέργεια ανά μονάδα μήκους, όταν το μήκος τείνει στο μηδέν – όχι όταν το μήκος είναι μηδέν. Είναι το ίδιο;

Από την άλλη βέβαια, έχει καθιερωθεί (κακώς αλλά έχει) να λέμε για συντομία «στοιχειώδες dx», αντί να θεωρήσουμε πεπερασμένο τμήμα Δx και μετά να υπολογίσουμε το όριο όταν το Δx τείνει στο μηδέν και αυτό είναι κάτι που μπορεί να δημιουργήσει παρανοήσεις.