by 
Καλημέρα σε όλους.
Μιας και … «επιστρέψαμε» να βάλω ένα ερώτημα, σαν συνέχεια της καλοκαιρινής ενασχόλησης με τα κύματα.
Έστω το στιγμιότυπο ενός κύματος που διαδίδεται προς τα δεξιά, κατά μήκος μιας χορδής.
Πόση είναι η επιτάχυνση του σημείου Β στην κορυφή του όρους;
Είναι μηδενική ή έχει μέγιστο μέτρο;
Και αν ισχύει το δεύτερο, ποια δύναμη είναι αυτή η μέγιστη δύναμη που επιταχύνει μια στοιχειώδη μάζα της χορδής, στην παραπάνω θέση;
Επιστρέφω με κάτι συμπληρωματικό.
Ο Κωνσταντίνος Ευταξίας, δείτε εδώ, πριν προχωρήσει στη μαθηματική μελέτη του κύματος σε χορδή, ορίζει το πρότυπο, στο οποίο δουλεύει:
Με βάση αυτό, δεν έχει νόημα το ερώτημα, είναι ή δεν είναι σταθερό το μέτρο της τάσης (4η πρόταση).
Το μέτρο της τάσης είναι σταθερό, εξ ορισμού, όπως εξ ορισμού η κίνηση κάθε σημείου είναι εγκάρσια και μόνο στον άξονα y (5η πρόταση).
Το τηλεφωνικό ερώτημα αγαπητού φίλου ήταν το εξής:
Διονύση σε ποιο σημείο έχουμε μεγαλύτερη επιτάχυνση, στη θέση Α ή στη θέση Β, όταν αναφερόμαστε στο παρακάτω στιγμιότυπο εγκάρσιου κύματος σε χορδή;
-Στο σημείο Β προφανώς.
-Γιατί στο Β και όχι στο Α;
-Γιατί στο Β έχουμε μεγαλύτερη καμπυλότητα, οπότε και μεγαλύτερη επιτάχυνση, με βάση την εξίσωση του κύματος:
-Ναι αλλά…
-Μια στιγμή. Αν μιλάς για αρμονικό κύμα, μπορούμε να αφήσουμε την δ.ε., αφού y=Α∙ημωt και η επιτάχυνση θα έχει εξίσωση α=-ω2Α∙ημωt=-ω2y, οπότε στη μέγιστη απομάκρυνση έχεις και μέγιστη επιτάχυνση (μιλάμε για τα μέτρα).
-Άρα έχουμε και μέγιστη δύναμη;
-Προφανώς!
-Και πού έχεις μεγαλύτερη παραμόρφωση της χορδής, στο Α ή στο Β;
-Στο Α.
-Αλλά αφού στο Α έχει μεγαλύτερη παραμόρφωση, δεν θα έχεις και μεγαλύτερη δύναμη; Εξάλλου, για σχεδίασε τις τάσεις στο σημείο Β; Δεν θα δώσουν μηδενική συνισταμένη;
-Μην πας να με μπερδέψεις… στο Β έχουμε μεγαλύτερη επιτάχυνση και μεγαλύτερη συνισταμένη δύναμη… αλλά να το δούμε…
Έτσι ή περίπου έτσι, εξελίχθηκε η τηλεφωνική συνομιλία με το φίλο. Απλά δεν έδωσε το παραπάνω σχήμα, αλλά το περιγράψαμε με λέξεις.
Την άλλη μέρα του έστειλα μνμ στο email του:
«Πάνω στο χθεσινό σου ερώτημα, δες κάτι που σχεδίασα.
Αναφερόμαστε για το υλικό σημείο, που καταλαμβάνει μήκος χορδής δx και όχι για (γεωμετρικό) σημείο.
Δεν είναι τυχαίο που ο Παναγιωτίδης με “καταγγέλλει” για οπαδό της σχεδιαστικής σχολής!!!
Έστω δύο τμήματα της χορδής α και β, με μαύρο χρώμα, στο πάνω σχήμα.
Αν σχεδιάσουμε τις δυνάμεις με τις οποίες τείνονται, στα κάτω σχήματα, βλέπουμε ότι η συνισταμένη είναι μεγαλύτερη για το τμήμα β, οπότε η μάζα του τμήματος αυτού έχει μεγαλύτερη επιτάχυνση.”
Κάπως έτσι η ιστορία την οποία ήθελα να «μοιραστώ» με όλους, θέτοντας το ερώτημα στο φόρουμ.
Ευχαριστώ τους φίλους, που με βοήθησαν παραπάνω με τις τοποθετήσεις τους, τους προβληματισμούς τους ή τις αντιρρήσεις τους, να αναδειχθεί το θέμα.
Και κάτι τελευταίο:
Καλησπέρα σε όλη την παρέα.
Διονύση, νόμιζα ότι κατάλαβα όσα είπες στο τελευταίο σχόλιο, αλλά η αναδιαβάζοντας τα σχόλια, στη σελίδα 2 γράφει ο Μήτσος:
"Άρα όντως η γωνία που σχηματίζουν οι εφαπτομένες στα δυο άκρα για δοσμένο μικρό δL γίνεται μέγιστη στο ανώτερο σημείο."
και απαντά ο Νίκος "τόσο απλά".
Μήπως κάτι έχει γραφεί ανάποδα σε αυτό που έγραψε ο Μήτσος, ή κάτι δεν κατάλαβα από το τελευταίο σου σχόλιο (και το σχήμα);
Καλησπέρα Ελευθερία.
Σε αυτό που ρωτάς, δεν μπορώ να απαντήσω εγώ.
Εγώ έδωσα τα παραπάνω σχήματα, που νομίζω ότι "πλησιάζουν" την πραγματικότητα…
Το τμήμα α, έχει μικρή καμπυλότητα, άρα η γωνία μεταξύ των δύο τάσεων είναι μεγάλη, πλησιάζουσα τις 180° και προκύπτει συνισταμένη μικρού μέτρου.
Στο τμήμα β, έχουμε μεγαλύτερη καμπυλότητα, οπότε μικρότερη γωνία μεταξύ των τάσεων και μεγαλύτερη συνισταμένη δύναμη.
Άρα, Διονύση, μήπως ο Μήτσος έπρεπε να γράψει ότι
"… η γωνία που σχηματίζουν οι εφαπτομένες στα δυο άκρα για δοσμένο μικρό δL γίνεται ελάχιστη στο ανώτερο σημείο";
Να προσθέσω και λίγα ακόμη διευκρινιστικά, πάνω στην καμπυλότητα.
Η καμπυλότητα μιας καμπύλης σε ένα σημείο της, ορίζεται ως το αντίστροφο της ακτίνας καμπυλότητας στο σημείο αυτό. Δηλαδή έχουμε κ=1/R. Ας δούμε τα σχήματα.
Στο σχήμα (α), έχουμε ένα τόξο μήκους s κύκλου ακτίνας R. Το ίδιο μήκος τόξου έχουμε και στο σχήμα (β), σε κύκλο μικρότερης ακτίνας r. Έτσι στο (β) σχήμα η καμπύλη έχει μεγαλύτερη καμπυλότητα.
Ισχύει δηλαδή κ2>κ1.
Αλλά τότε αν πάρουμε τις γωνίες που σχηματίζουν οι εφαπτόμενες στους κύκλους, στα άκρα των δύο τόξων, τις γωνίες θ και φ, θα ισχύει φ<θ.
Στο δεύτερο σχήμα δηλαδή με την μικρότερη ακτίνα, όπου έχουμε μεγαλύτερη καμπυλότητα, θα έχουμε μικρότερη γωνία, που θα σχηματίζουν οι τάσεις στα άκρα των δύο χορδών…
Ελευθερία καλησπέρα.
Καλά έγραψε ο Μήτσος, η γωνία γίνεται μέγιστη. Εννοούμε τη γωνία μεταξύ των εφαπτόμενων διανυσμάτων στα Α και Β. Επειδή τα Α και Β είναι πολύ κοντά, η γωνία αυτή είναι πολύ μικρή.
Δηλαδή, Νίκο, στο σχήμα του Διονύση:
ποια γωνία γίνεται μέγιστη στο ανώτερο σημείο;
Εμβαθύνοντας πάνω στα σχήματα με τις δυνάμεις που κάνεις Διονύση, είναι εύκολο να δει κανείς που χωλαίνει η υπόθεση #5 του Ευταξία. Οι δυνάμεις στα μικρά τμήματα της χορδής περιμένουμε να είναι κάθετες σ΄ αυτά τα τμήματα. Πχ οι κορυφές του κύματος οπωσδήποτε κινούνται στον άξονα y γιατί είναι οριζόντιες άρα σ΄ αυτές οι δυνάμεις είναι στον y άξονα. Όμως η δύναμη που ασκείται σε άλλο κομματάκι της χορδής σχηματίζει μια μικρή γωνία με τον y άξονα. Τότε τι είναι αυτό που αναγκάζει όλα τα κομματάκια της χορδής να κινούνται στο y άξονα;
Ελευθερία, στο σχήμα του Διονύση δεν φαίνεται ποιά γωνία γίνεται μέγιστη. Είναι σχήμα με δυνάμεις. Αν σ΄ αυτά τα σχήματα προσθέσεις τις εφαπτόμενες στα άκρα των μαύρων τμημάτων, αυτές σχηματίζουν μέγιστη γωνία στο κορυφαίο τμήμα.
Υπάρχει κι άλλος τρόπος να το δεις. Η καμπυλότητα σε ένα σημείο είναι ο ρυθμός αλλαγής της κατεύθυνσης της εφαπτομένης. Όταν αυτή είναι μεγάλη, η εφαπτομένη αλλάζει γρήγορα κατεύθυνση. Άρα οι εφαπτόμενες στα άκρα του τμήματος σχηματίζουν μεγαλύτερη γωνία.
Καλησπέρα. Βλέποντας Ελευθερία το σχήμα του Δημήτρη και το σχήμα που παραθέτεις αντιλαμβάνομαι αυτό που είπε ο Δημήτρης ως εξης. Αντιστρέφοντας τις αριστερές τασεις προκύπτουν με τις άλλες 2 γωνιες οι παραπληρωματικές τους. Για αυτές πρεπει να μιλά ο Δημήτρης.
"Ελευθερία, στο σχήμα του Διονύση δεν φαίνεται ποιά γωνία γίνεται μέγιστη. Είναι σχήμα με δυνάμεις. Αν σ΄ αυτά τα σχήματα προσθέσεις τις εφαπτόμενες στα άκρα των μαύρων τμημάτων, αυτές σχηματίζουν μέγιστη γωνία στο κορυφαίο τμήμα."
Νίκο, νόμιζα ότι οι δυνάμεις είναι πάνω στις εφαπτόμενες.
……..
Γιώργο, σ΄ευχαριστώ που με παρέπεμψες στο σχήμα του Δημήτρη. Εκεί είναι ξεκάθαρο σε ποια γωνία αναφέρονταν.
Καλησπέρα συνάδελφοι
Συγνώμη για την ταλαιπωρία Ελευθερία.
Όταν έφτιαξα στο graph σκεφτόμουν απλά την καμπυλότητα ως μεταβολή των εφαπτομένων του σχήματος που παρέθεσα.
Μεταβολή κλίσης ανά μήκος, μέγιστη στην ακραία θέση μέγιστης απομάκρυνσης, δηλαδή μεγάλη καμπυλότητα, αλλά …
…αλλά και …
οι εκατέρωθεν τάσεις σχηματίζουν ως διανύσματα μεταξύ τους την μικρότερη κυρτή γωνία στην ακραία θέση μέγιστης απομάκρυνσης ( και έχουν μέγιστη συνισταμένη).
Πράγματι οι δυνάμεις είναι εφαπτόμενες Ελευθερία. Αλλά, αν κάποιος αντί να βάλει τις δυνάμεις στα άκρα, αποφάσιζε να βάλει τα εφαπτόμενα διανύσματα, θα τα έβαζε με την ίδια "έννοια" (πχ να δείχνουν και τα δύο δεξιά).