by 
Έχουμε ένα σφαιρικό κάτοπτρο κέντρου Κ και δύο σημεία Β και Γ.
Πως θα σχεδιάσουμε την διαδρομή μιας φωτεινής ακτίνας που ξεκινά από το Β, ανακλάται στο κάτοπτρο και διέρχεται έπειτα από το Γ;
Αντιλαμβανόμαστε πως τα Κ, Β, Γ ορίζουν ένα επίπεδο στο οποίο θα εργασθούμε.
Προφανές είναι το ότι οι γωνίες φ και θ πρέπει να είναι ίσες.
Λύση μπορούμε να δώσουμε με χρήση κινηματικής γεωμετρίας.
Φασουλοπουλικόν:
Διαφορικός Φερμά.
Μια πολύ απλή απόδειξη του ότι ο δρόμος είναι ο μέγιστος.
Επομένως,
για δυο σημεία μπρος από ένα επίπεδο κάτοπτρο, όταν η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση με την γωνία ανάκλασης
το φως διανύει ελάχιστο δρόμο και στον ελάχιστο χρόνο, όταν ανακλάται σε επίπεδο ή κυρτό κάτοπτρο,
το φως διανύει μέγιστο δρόμο και στον μέγιστο χρόνο, όταν ανακλάται σε κοίλο κάτοπτρο,
για την περίπτωση ελλειψοειδούς κατόπτρου, ο δρόμος που διανύει το ανακλώμενο φως μεταξύ πομπού και δέκτη είναι ανεξάρτητος από τη γωνία πρόσπτωσης, το ίδιο και ο χρόνος μετάβασης.
και στις τρεις περιπτώσεις ισχύει ο γενικευμένος Fermat
Καλημέρα στην παρέα.
Και μια μαθηματικά απόδειξη ότι η γωνία πρόσπτωσης και η γωνία ανάκλασης είναι ίσες (δηλαδή αντίθετες!) όταν ισχύει ο Fermat.
Η απόδειξη.
Καλημέρα παιδιά.
Κομψή η απόδειξη Νίκο!
Καλημέρα Γιώργο.
Πολύ σημαντικό το αρχείο που μας έδωσες και περισσότερο σημαντικά τα συμπεράσματα που καταλήγεις.
Αυτός ο γενικευμένος νόμος του Fermat μας "έπιασε στον ύπνο"
καλημέρα Διονύση,
η συζήτηση καθοδηγήθηκε από τις εύστοχες και λακωνικές παρατηρήσεις του Νίκου και ίσως και από ένα ξεχασμένο i.p. του Γιάννη.
Ευχαριστώ Γιάννη. Πάντως, αν και η απόδειξη πως ο δρόμος είναι μέγιστος όταν τα Α και Β είναι στην ίδια διάμετρο δεν είναι δύσκολη, δεν ξέρω ακόμα καμιά απόδειξη αυτού του θεωρήματος για τυχαία Α και Β μέσα στον κύκλο. Μπορεί και να μην ισχύει γενικά.
Ωραία συζήτηση
Όμορφες διατυπώσεις και γενικεύσεις , εντυπωσιακές αποδείξεις
Τώρα μια και αρχίσαμε ίσως φθάσουμε και στις εκτροπές και τα σφάλματα των κοίλων κατόπτρων
( και μου έχει κάπου συσκευάσει η γυναίκα μου την Αλεξοπούλεια εκδοχή περί σφαιρικών κατόπτρων και "καρστικών επιφανειών" αν θυμάμαι καλά τον όρο … )
Δίνω μια διανυσματική απόδειξη ότι, αν ισχύει η αρχή του Fermat, οι γωνίες είναι αντίθετες.
Η απόδειξη.
Έκανα μια απόπειρα να αγγίξω το φλέγον θέμα αν για το σημείο Μ του σφαιρικού κατόπτρου που γίνεται η ανάκλαση της ακτίνας σύμφωνα με την αρχή του Fermat η διαδρομή που διατρέχει η ακτίνα είναι μέγιστη. Δε θα δείξω τα μαθηματικά, είναι πολλά και δύσκολα, αλλά το αποτέλεσμα βασίστηκε στον υπολογισμό της δευτερης κατευθυνόμενης παραγώγου του μήκους κατά την εφαπτομένη στο Μ. Κατάληξα ότι η διαδρομή είναι μέγιστη αν ισχύει η σχέση:
1/a+1/b<2/(rcosθ).
Μπορεί κανείς να το επαληθεύσει;